第二章誤差的基本性質(zhì)與處理

第二章

誤差的基本性質(zhì)與處理

本章分別詳細闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數(shù)據(jù)處理中，掌握等精度測量和了解不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使學(xué)生能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進行合理的數(shù)據(jù)處理。教學(xué)目標三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法了解不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法重點與難點

當(dāng)對同一測量值進行多次等精度的重復(fù)測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：

①測量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場變化等。瞄準、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)取５谝还?jié)隨機誤差（P9）一、隨機誤差產(chǎn)生的原因

隨機誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有非正態(tài)分布?，F(xiàn)分析服從正態(tài)分布的隨機誤差的特性。設(shè)被測量值的真值為L0，一系列測得值為li，則測量列的隨機誤差δi可表示為：(2-1)式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為

(2-2)(2-3)

式中：σ—標準差(或均方根誤差)；e—自然對數(shù)的底它的數(shù)學(xué)期望為(2-4)它的方差為：(2-5)第一節(jié)隨機誤差（P9-P10）二、正態(tài)分布

其平均誤差為：(2-6)此外,由可解得或然誤差為：

(2-7)

由式（2-2）可以推導(dǎo)出隨機誤差的幾個特征：

①由,可知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性；

②當(dāng)δ=0時有，即，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；

③雖然函數(shù)f(δ)的存在區(qū)間是[-∞,+∞]，但實際上，隨機誤差δ只是出現(xiàn)在一個有限的區(qū)間內(nèi)，即[-kσ,+kσ],稱為誤差的有界性；

④隨著測量次數(shù)增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨向于零：這稱為誤差的補償性。第一節(jié)隨機誤差（P9-P10）

圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。σ值為曲線上拐點A的橫坐標，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標，ρ值的縱坐標線則平分曲線右半部面積。第一節(jié)隨機誤差（P10）

正態(tài)分布的隨機誤差都具有這四個特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。

對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。

(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為:

(2-8)

第一節(jié)隨機誤差（P10）三、算術(shù)平均值可以證明:當(dāng)測量次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。即

由前面正態(tài)分布隨機誤差的第四特征可知，因此

結(jié)論：當(dāng)測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認為是最接近于真值。但由于實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。第一節(jié)隨機誤差（P10-P11）第一節(jié)隨機誤差

一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機誤差，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差：(2-9)

可用簡便算法求算術(shù)平均值。任選一個接近所有測得值的數(shù)

作為參考值，計算每個測得值與的差值：(2-10)

按上式求算術(shù)平均值比較簡單?！纠?-1】測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第一節(jié)隨機誤差（P11）解：任選參考值=1879.65，計算差值和列于表中,很容易求得算術(shù)平均值:＝1879.64(mm)（二）算術(shù)平均值的計算校核

算術(shù)平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。由，式中的是直接計算得到的，當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準確數(shù)時，則有：(2-11)殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計算的正確性。但當(dāng)實際得到的為經(jīng)過湊整的非準確數(shù)，存在舍入誤差Δ，即有：成立。而

第一節(jié)隨機誤差（P11-P12）

分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為：

①殘差代數(shù)和應(yīng)符合：當(dāng)，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為零；當(dāng)，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為正，其大小為求時的余數(shù)；當(dāng)，求得的為非湊整的準確數(shù)時，為負，其大小為求時的虧數(shù)。

②殘差代數(shù)和絕對值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，。式中的A為實際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實際運算情況選擇一種進行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。第一節(jié)隨機誤差（P12）【例2-2】用例2-1數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進行校核。解：因n為偶數(shù)，A＝0.01，由表2-1知故計算結(jié)果正確。序號

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節(jié)隨機誤差（P12-P13）【例2-3】測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進行校核。解：算術(shù)平均值為：用第一種規(guī)則校核，則有：用第二種規(guī)則校核，則有：故用兩種規(guī)則校核皆說明計算結(jié)果正確。第一節(jié)隨機誤差（P13）?。?000.067(mm)（一）均方根誤差（標準偏差）σ

為什么用σ來作為評定隨機誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度推知：令，則有：

高斯參數(shù)h為精密度。由于h值無法以實驗中得到，故以σ值代之。

第一節(jié)隨機誤差（P13、補充）四、測量的標準差

由于σ值反映了測量值或隨機誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機誤差的評定尺度。σ值愈大，函數(shù)減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如下圖所示。第一節(jié)隨機誤差（P13-P14）標準差σ不是測量列中任何一個具體測量值的隨機誤差，σ的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機誤差δ，一般都不等于σ，但卻認為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個標準差σ的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進行兩個系列的等精度測量，其標準差也不相同。（二）或然誤差ρ

測量列的或然誤差ρ，它將整個測量列的n個隨機誤差分為個數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個）隨機誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ范圍內(nèi)，而另一半隨機誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ范圍以外：，查表，得到時，z=0.6745，故有其實際意義是：若有n個隨機誤差，則有n/2個落在區(qū)間[-ρ,+ρ]之內(nèi)，而另外n/2個隨機誤差則落在此區(qū)間之外。第一節(jié)隨機誤差（補充）（三）算術(shù)平均誤差θ第一節(jié)隨機誤差（補充）測量列算術(shù)平均誤差θ的定義是：該測量列全部隨機誤差絕對值的算術(shù)平均值，用下式表示：由概率積分可以得到θ與σ的關(guān)系：目前世界各國大多趨于采用σ作為評定隨機誤差的尺度。這是因為：①σ的平方恰好是隨機變量的數(shù)字特征之一（方差），σ本身又恰好是高斯誤差方程f(δ)式中的一個參數(shù)，即，所以采用σ，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合；②σ對大的隨機誤差很敏感，能更準確地說明測量列的精度；③極限誤差與標準偏差的關(guān)系簡單：；④公式推導(dǎo)和計算比較簡單。標準偏差的幾種計算方法

第一節(jié)隨機誤差（P14）（一）等精度測量列單次測量標準差２、貝塞爾(Bessel)公式當(dāng)被測量的真值為未知時，按式（2-12）不能求得標準差。實際上，在有限次測量情況下，可用殘余誤差代替真誤差，得到標準差的估計值。

１、直接計算法

應(yīng)用條件：被測量真值已知；測量次數(shù)n應(yīng)充分大。第一節(jié)隨機誤差（P14）２、貝塞爾(Bessel)公式由此可得：式中，稱為算術(shù)平均值誤差，將它和代入上式，則有將上式對應(yīng)相加得：，即若將式(2-14)平方后再相加得：將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時，可以認為趨近于零，并將代入式(2-16)得：(2-17)由于，代入式(2-17)得：，即(2-18)第一節(jié)隨機誤差（P14-P15）3、別捷爾斯法

由貝塞爾公式得：進一步得：則平均誤差有：

由式（2-6）得：故有：

(2-26)

此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差的絕對值之和求出單次測量的標準差，而算術(shù)平均值的標準差為：

(2-27)第一節(jié)隨機誤差（P17-P18）【例2-4】用別捷爾斯法求得表2-3的標準差。

解：計算得到的值分別填于表中，因此有序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第一節(jié)隨機誤差（P18）4、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計算標準差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進行其他運算，計算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡便迅速算出標準差時，可用極差法。第一節(jié)隨機誤差（P18）

若等精度多次測量測得值服從正態(tài)分布，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差，即：

(2-28)根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為因故可得的無偏估計值，若仍以表示，則有(2-30)式中的數(shù)值見表2-4。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節(jié)隨機誤差（P18）【例2-6】仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標準差。

解：5、最大誤差法

在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實際值或約定值），因而能夠算出隨機誤差，取其中絕對值最大的一個值，當(dāng)各個獨立測量值服從正態(tài)分布時，則可求得關(guān)系式：(2-31)

一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標準差，應(yīng)按最大殘余誤差進行計算，其關(guān)系式為：(2-32)式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù)、的倒數(shù)見表2-5。第一節(jié)隨機誤差（P19）

最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng)時，最大誤差法具有一定精度?！纠?-7】仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標準差，則有，而故標準差為n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節(jié)隨機誤差（P19）【例2-8】

某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為，由于某些原因未對此檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長，試求原檢定波長的標準差。

解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認為其測得值為實際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機誤差為：

故標準差為：

第一節(jié)隨機誤差（P19）④用最大誤差法計算σ更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n<10時可用最大誤差法，計算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實驗(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。第一節(jié)隨機誤差（補充）幾種計算方法的優(yōu)缺點①貝塞爾公式的計算精度較高，但計算麻煩，需要乘方和開方等，其計算速度難于滿足快速自動化測量的需要；②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計算σ，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)n<10時可用來計算σ，此時計算精度高于貝氏公式；（二）多次測量的測量列算術(shù)平均值的標準差

在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評定標準。如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個算術(shù)平均值，由于隨機誤差的存在，各個測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標準差則是表征同一被測量的各個獨立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評定標準。算術(shù)平均值為：取方差得因故有第一節(jié)隨機誤差（P15-P16）

所以(2-21)

即在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標準差為單次測量標準差的，當(dāng)n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動。由圖2-3可知,σ一定時，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊?，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。第一節(jié)隨機誤差（P16）第一節(jié)隨機誤差（P16）評定算術(shù)平均值的精度標準，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為：若用殘余誤差表示，則有：【例2-4】用游標卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：

75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08。求算術(shù)平均值及其標準差。

解：算術(shù)平均值為:因為:第一節(jié)隨機誤差（P16-P17）序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

與表中的結(jié)果一致，故計算正確。根據(jù)上述各個誤差計算公式可得：第一節(jié)隨機誤差（P17）（一）單次測量的極限誤差第一節(jié)隨機誤差（P20）當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-δ,+δ）之間的概率時，則得：五、測量的極限誤差測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。

正態(tài)分布曲線和橫坐標軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：進行變量置換，設(shè)經(jīng)變換，前式成為：(2-34)

第一節(jié)隨機誤差（P20）表2-6列出t=0.67,1,2,3,4等幾個特殊值的積分值，并求出隨機誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p’=1-2φ(t)。此函數(shù)φ(t)稱為概率積分。為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為正態(tài)分布積分表（見教材附錄１）。當(dāng)t給定時，φ(t)值可由該表查出。當(dāng)t=2，即|δ|=2σ時，在22次測量中只有1次的誤差絕對值超出2σ范圍；t超出的概率測量次數(shù)n超出的測量次數(shù)0.67σ12340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.0001111112322370156260.6７1234不超出的概率第一節(jié)隨機誤差（P20）由表可以看出，隨著t的增大，超出|δ|的概率減小得很快。當(dāng)t=3，即|δ|=3σ時，在370次測量中只有1次誤差絕對值超出3σ范圍。由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即當(dāng)t＝3時，對應(yīng)的概率p＝99.73％。

t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％；t＝1.96，p＝95％等。第一節(jié)隨機誤差（P21）

在實際測量中，有時也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如取一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：若已知測量的標準差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。

t--為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標準差。第一節(jié)隨機誤差（P21）（二）算術(shù)平均值的極限誤差測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差，即:當(dāng)多個測量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布時，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達式為：

通常取t＝3，則

式中：為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來確定，見附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)；為n次測量的算術(shù)平均值標準差。第一節(jié)隨機誤差（P21）

實際測量中，有時也取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student”distribution)或稱t分布來計算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即

對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同?！纠?-9】對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。

第一節(jié)隨機誤差（P20-P22）解：算術(shù)平均值則有：標準差

因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計算算術(shù)平均值的極限誤差。已知取則由附錄表3查得若按正態(tài)分布計算，取，相應(yīng)的置信概率，由附錄表1查得:t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：第一節(jié)隨機誤差（P22）由此可見，當(dāng)測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結(jié)果有明顯的差別。六、不等精度測量第一節(jié)隨機誤差（P22）在不同的測量條件下，用不同的儀器、不同的測量方法、不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量和對比，這種測量稱為不等精度測量。實際測量中，由于客觀條件限制，所進行的測量往往是不等精度測量。對于精密科學(xué)實驗，為得到準確的測量結(jié)果，常采用不等精度測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的，那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。在一般測量工作中，常遇到的不等精度測量的兩種情況：用不同測量次數(shù)進行對比測量；用不同精度的儀器進行對比測量。這些情況下，該如何求得最后的測量結(jié)果和精度？（一）權(quán)的概念

第一節(jié)隨機誤差（P22）

在等精度測量中，各個測量值認為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個測量結(jié)果的可靠程度不一樣，不能簡單地取各測量結(jié)果的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”?？梢岳斫鉃楫?dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。（二）“權(quán)”的確定方法

第一節(jié)隨機誤差（P22）測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)。即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即。由此得:或表示為:(2-42)因為故上式又可寫成第一節(jié)隨機誤差（P23）

假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，它們是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因為單次測量精度皆相同，其標準差均為σ，則各組算術(shù)平均值的標準差為：結(jié)論：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標準偏差平方成反比。

【例2-10】對一級鋼卷尺的長度進行了三組不等精度測量，其結(jié)果為第一節(jié)隨機誤差（P23）求各測量結(jié)果的權(quán)。解：由式(2-42）得：因此各組的權(quán)可取為（三）加權(quán)算術(shù)平均值

第一節(jié)隨機誤差（P23-P24）

若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為，設(shè)相應(yīng)的測量次數(shù)為n1,n2,…,nm，即：根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)平均值應(yīng)為：將式(2-43)代入上式得：或簡寫為:(2-44)當(dāng)各組的權(quán)相等，即時，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為：第一節(jié)隨機誤差（P24）上式求得的結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值。由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46)式中的為接近的任選參考值。【例2-11】工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：選則有：第一節(jié)隨機誤差（P24）利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等精度測量問題化為具有單位權(quán)的等精度測量問題來處理。第一節(jié)隨機誤差（P24）(四)單位權(quán)的概念由式（2-41）知此式又可表示為式中:為等精度單次測量值的標準差。因此，具有同一方差的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知，只要確定，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差。由于測得值的方差的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而為具有單位權(quán)的測得值方差，為具有單位權(quán)的測得值標準差。例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，此時得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。第一節(jié)隨機誤差（P25）單位權(quán)化的實質(zhì)，是使任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值z的權(quán)數(shù)

為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。證明：設(shè)取方差以權(quán)數(shù)來表示上式中的方差，則對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為：若已知單位權(quán)測得值的標準差σ，則有：第一節(jié)隨機誤差（P25）（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標準差全部（m×n個）測得值的算術(shù)平均值的標準差為：因為比較上面兩式可得：代入式（2-48）得當(dāng)各組測量的總權(quán)數(shù)為已知時，可由任一組的標準差和相應(yīng)的權(quán)，或者由單位權(quán)的標準差σ求得加權(quán)算術(shù)平均值的標準。當(dāng)各組測量結(jié)果的標準差為未知時，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余誤差來計算加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。第一節(jié)隨機誤差（P25-P26）將各組單位權(quán)化，則有：已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為：上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導(dǎo)得到：用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標準差，但是只有組數(shù)m足夠多時，才能得到較為精確的值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計值。第一節(jié)隨機誤差（P26）【例2-12】求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標準差。解：前已計算出加權(quán)算術(shù)平均值：又已知：可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為：代入式(2-51)得將式（2-50）代入式（2-49）得：七、隨機誤差的其他分布

第一節(jié)隨機誤差（P26）正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布

在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布。其主要特點是（參見圖2-5）：①誤差有一確定的范圍；②在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等。故又稱均勻分布為矩形分布或等概率分布。均勻分布的分布密度（圖2-5）和分布函數(shù)分別為：第一節(jié)隨機誤差（P27）它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標準差分別為：數(shù)據(jù)計算中的舍入誤差、儀器刻度盤刻度誤差引起的誤差、數(shù)字式儀器在±1單位以內(nèi)不能分辨的誤差均可看作均勻分布。(二)反正弦分布第一節(jié)隨機誤差（P27-P28）

其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。例如儀器盤偏心引起的角度測量誤差、電子測量中諧振中的振幅誤差等。反正弦分布的分布密度（圖2-6）和分布函數(shù)分別為：它的數(shù)學(xué)期望為：

它的方差和標準差分別為：（三）三角形分布

當(dāng)兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。第一節(jié)隨機誤差（P28-P29）三角形分布的分布密度和分布函數(shù)分別為：它的方差和標準差分別為：它的數(shù)學(xué)期望為：在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做敘述。下面再介紹幾種隨機變量分布分布、t分布和Ｆ分布，它們在后面章節(jié)里有應(yīng)用。第一節(jié)隨機誤差（P30）（四）分布

令為個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標準化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量

隨機變量稱為自由度為ν的卡埃平方變量。自由度ν表示上式中項數(shù)或獨立變量的個數(shù)。

分布的分布密度

（如圖2-8）第一節(jié)隨機誤差（P30）由圖2-8的兩條曲線看出，當(dāng)逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當(dāng)足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。需要指出，稱為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。

式中的為Γ函數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標準差分別為：在本書最小二乘法中要用到分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。令和是獨立的隨機變量，具有自由度為的分布函數(shù)，具有標準化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為

第一節(jié)隨機誤差（P30-P31）（五）t分布可以證明，當(dāng)自由度較小時，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度時，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。隨機變量t稱自由度為的學(xué)生氏t變量。t分布的分布密度為（圖2-9）：它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標準差分別為：F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第一節(jié)隨機誤差（P31-P32）（六）F分布若具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為隨機變量F稱為自由度為、的F變量。F分布的分布密度如圖2-10所示。它的數(shù)學(xué)期望為：它的方差和標準差分別為：第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法研究系統(tǒng)誤差的重要意義第二節(jié)系統(tǒng)誤差

實際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機誤差同時存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機誤差具有更大的危險性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。

系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準確度。一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：

①測量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測量方法的因素

④

測量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類和特征

特征:

在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變(不具有補償性);或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

圖2-11為不同特征的系統(tǒng)誤差曲線。a為不變的系統(tǒng)誤差，b為線性變化的系統(tǒng)誤差，c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，e為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。圖2-11不同特征的系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）不變系統(tǒng)誤差

固定系統(tǒng)誤差是指在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。

如：千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標準件尺寸的偏差等。誤差為常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差

指在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。又可分為以下幾種：①線性變化的系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。

例如，量塊中心長度隨溫度Ｔ的變化：第二節(jié)系統(tǒng)誤差

②周期變化的系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。

例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個偏心量e

，則指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差為。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律。

③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差

在整個測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

例如：微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差

由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是……可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，按照下述兩類方法加以識別：

1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差

包括：三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法計算數(shù)據(jù)比較法秩和檢驗法t檢驗法實驗對比法殘余誤差觀察法殘余誤差校核法不同公式計算標準差比較法2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量列間的系統(tǒng)誤差

包括：第二節(jié)系統(tǒng)誤差

1、實驗對比法

實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。

這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法可以證明，若系統(tǒng)誤差顯著大于隨機誤差，則有：

3、殘余誤差校核法第二節(jié)系統(tǒng)誤差

式（2-83）說明：顯著含有系統(tǒng)誤差的測量列，其任一測量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)誤差平均值之差。①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差設(shè)有測量列，它們的系統(tǒng)誤差為，它們不含系統(tǒng)誤差之值為。（2-83）式中：為系統(tǒng)誤差平均值．若將測量列中前K個殘余誤差相加，后(n-K)個殘余誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)。當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，可以推得下式：第二節(jié)系統(tǒng)誤差

若上式的兩部分差值Δ顯著不為O，則有理由認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時按殘余誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。

②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測量列，接測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為，可用統(tǒng)計準則進行判斷，令第二節(jié)系統(tǒng)誤差若(2-85)則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特準則（Abbe-Helmert準則），它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。

4、不同公式計算標準差比較法

在判斷含有系統(tǒng)誤差時，違反“準則”時就可以直接判定，而在遵守“準則”時，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因為每個準則均有局限性，不具有“通用性”。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差對等精度測量，按貝塞爾公式：按別捷爾斯公式：令若(2-86)則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。

若對同一量獨立測量得

m組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標準差為：(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法則任意兩組結(jié)果與間不存在系統(tǒng)誤差的標志是：第二節(jié)系統(tǒng)誤差(2-87)而任意兩組結(jié)果之差為：其標準差為：1、計算數(shù)據(jù)比較法解：兩者差值第二節(jié)系統(tǒng)誤差因為兩種方法所得結(jié)果的差值Δ遠遠大于兩倍標準差，故兩種方法間存在系統(tǒng)誤差?！纠?-15】

雷萊用不同方法制取氮，測得氮氣相對密度平均值及其標準差如下。由化學(xué)法制取氮：

由大氣中提取氮：

用計算數(shù)據(jù)比較法檢驗兩種方法間是否存在系統(tǒng)誤差？而標準差2、秩和檢驗法

第二節(jié)系統(tǒng)誤差

若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為：

將它們混和以后，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，數(shù)出它的測得值在混合后的次序（即秩），再將所有測得值的次序相加，即為秩和

T。

1）兩組的測量次數(shù)，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1

和測量次數(shù)較多的組的次數(shù)n2，由秩和檢驗表2-10查得T-

和T+

（顯著度0.05），若

則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。

243112531326414274162841829420210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127第二節(jié)系統(tǒng)誤差2）當(dāng)，秩和T近似服從正態(tài)分布（括號中第一項為數(shù)學(xué)期望，第二項為標準差，此時T-

和T+

可由正態(tài)分布算出）根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標準差σ，則：選取概率，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得t，若，則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表

【例2-16】對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6

;

yj：14.6,15.0,15.1

i1234567xi14.714.815.215.6yj14.615.015.1第二節(jié)系統(tǒng)誤差

已知:計算秩和:T=1+4+5=10

查表2-10得:

因故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。

注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個次序的平均值計算。3、t檢驗法

令變量第二節(jié)系統(tǒng)誤差

當(dāng)兩組測量值服從正態(tài)分布，可用t檢驗法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。

設(shè)獨立測得兩組數(shù)據(jù)為：

其中：

由數(shù)理統(tǒng)計知，新變量t是服從自由度為(

)的t分布變量。

取顯著性水平α，由t分布表查出中的。若，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。

注意:(2-89)式中使用的和,不是方差的無偏估計，若將貝塞爾計算的和用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動。解：計算兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值及偏差平方和的平均值第二節(jié)系統(tǒng)誤差【例2-17】

對某量測得兩組數(shù)據(jù)為：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4

y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0

用t檢驗法判斷兩組數(shù)據(jù)是否含有系統(tǒng)誤差？則

由及取，查t分布表(附錄表3)得，又因，故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消除誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個環(huán)節(jié)作仔細分析，并在正式測量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：

①所用基準件、標準件（如量塊、刻尺等）是否準確可靠；

②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；

③儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；

④所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；

⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求；

⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差。如視差、視力疲勞等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差（二）加修正值法

這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要殘留少量的系統(tǒng)誤差。采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律。第二節(jié)系統(tǒng)誤差1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

第二節(jié)系統(tǒng)誤差在使用絲杠轉(zhuǎn)動機構(gòu)測微小位移時，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結(jié)果，以補償定回誤差的影響。（三）改進測量方法

在沒有條件或無法獲之基準測量的情況下，必須設(shè)計適當(dāng)?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除。常用的方法有：

①反向補償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果。這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計算中互相抵消了。

②代替法：其實質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個標準量代替被測量，放到測量裝置上再次進行測量，從而求出被測量與標準量的差值，即：被測量＝標準量＋差值

第二節(jié)系統(tǒng)誤差③抵消法：這種方法要求進行兩次測量，以便使兩次讀數(shù)時出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測得值的平均值，作為測量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補償法相似。④交換法：根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。等臂天平稱重,先將被測量X放于天平一側(cè)，標準砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至平衡，則有。若將X與P交換位置，由于，天平將失去平衡。原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有

2、消除線性誤差的方法——對稱法

如圖2-19所示。隨著時間的變化，被測量作線性增加，若選定某時刻為對稱中點，則此對稱點的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即利用這一特點，可將測量對稱安排，取各對稱點兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。例如測定量塊平面平行性時（見圖2-20）,先以標準量塊A的中心0點對零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點檢定，再按相反順序進行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差

對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為：設(shè)時，誤差為：當(dāng)時，即相差半周期的誤差為：取兩次讀數(shù)平均值則有由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。第二節(jié)系統(tǒng)誤差3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法—半周期法第二節(jié)系統(tǒng)誤差構(gòu)造數(shù)學(xué)模型回歸統(tǒng)計補償和修正如:用于檢定線紋尺的組合定標法和度盤測量中的定角組合測量法以及力學(xué)計量中檢定砝碼的組合測量法等。方法1:方法2:組合測量

使系統(tǒng)誤差以盡可能多的組合方式出現(xiàn)于被測量中，使之具有偶然誤差的抵償性，即以系統(tǒng)誤差隨機化的方式消除其影響，這種方法叫組合測量法。4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法

在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有個別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則或它們很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)。如果不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)（異常值），未加剔除，必然會造成測量精密度偏低的后果。因此，對數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個重要方法。一、粗大誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為：

①測量人員的主觀原因

②客觀外界條件的原因責(zé)任感不強、疲勞、缺乏經(jīng)驗、操作不當(dāng)，不小心、不耐心、不仔細等，造成錯誤的讀數(shù)。測量條件意外地改變（如機械沖擊、外界振動、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差二、判別粗大誤差的準則第三節(jié)粗大誤差測量中確實是因讀錯記錯數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。有時，測量完成后也不能確知數(shù)據(jù)是否含粗大誤差，可用統(tǒng)計方法判別。在判別某個測得值是否含有粗大誤差時，要特別慎重，應(yīng)作充分的分析和研究，并根據(jù)判別準則予以確定。常用的判別準則有：（一）準則(萊以特準則)

準則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則，它是以測量次數(shù)充分大為前提。實際測量中，常以貝塞爾公式算得，以代替真值。對某個可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：(2-90)

則可認為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。在測量次數(shù)n≤10的情形，最好不要選用3σ準則。序號ν12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121第三節(jié)粗大誤差表2-11【例2-18】對某量進行15次等精度測量，測得值如下表2-11所列，設(shè)這些測得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測量列中是否含有粗大誤差的測得值。

由表2-11可得根據(jù)3σ準則，第8測得值的殘余誤差為：即它含有粗大誤差,故將此測得值剔除。再根據(jù)剩下的14個測得值重新計算，得：

由表2-11知，剩下的14個測得值的殘余誤差均滿足,故可以認為這些測得值不再含有粗大誤差。第三節(jié)粗大誤差并求得測量列的標準差(計算時不包括)：

當(dāng)測量次數(shù)較少時，按t分布的實際誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合理。羅曼諾夫斯基準其特點是首先剔除一個可疑的測得值，然后按t分布檢驗被剔除的值是否是含有粗大誤差。（二）羅曼諾夫斯基準則－

t檢驗準則第三節(jié)粗大誤差設(shè)對某量作多次等精度測量，得，若認為測量值為可疑數(shù)據(jù)，將其剔除后計算平均值為(計算時不包括xj)：

K

n0.050.01

K

n0.050.01

K

n0.050.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81第三節(jié)粗大誤差若：根據(jù)測量次數(shù)n和選取的顯著度α，即可由表2-14查得t分布的檢驗系數(shù)。

則認為測量值含有粗大誤差，剔除是正確的，否則認為不含有粗大誤差，應(yīng)予保留?！纠?-19】

試判斷例2-18中測量列是否含有粗大誤差。

第三節(jié)粗大誤差解：首先懷疑測量列中殘余誤差最大者含有粗大誤差。第８個測得值殘余誤差最大，先將其剔除。再分析剩下的14個測量值計算平均值和標準差。選取顯著度，已知n＝15，查表2-14得：則因故第八組測量值含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。然后對剩下的14個測得值進行判別，可知這些測得值不再含有粗大誤差。第三節(jié)粗大誤差（三）格拉布斯準則

1950年格拉布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的準則。

設(shè)對某量作多次等精度獨立測量，得，當(dāng)服從正態(tài)分布時，計算得

為了檢驗中是否含有粗大誤差，將按大小順序排列成順序統(tǒng)計量，而

顯然，若測量列有粗大誤差存在，則首先應(yīng)懷疑為可疑數(shù)據(jù)。若認為可疑，則有若可疑，則有格拉布斯準則認為：當(dāng)，即判別該測得值含有粗大誤差。0.050.010.050.013456789101112131415161.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.441.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.75171819202122232425303540501002.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.172.782.822.852.882.912.942.962.993.013.103.183.243.343.59第三節(jié)粗大誤差

格拉布斯導(dǎo)出了及的分布，取定顯著度α（一般為0.05或0.01），可得如表2-12所列的臨界值，而故應(yīng)先懷疑是否含有粗大誤差，計算

第三節(jié)粗大誤差【例2-20】用例2-18測得值，判別該測量列中的測得值是否含有粗大誤差。解：前已計算得出：按測得值的大小，順序排列得今有兩測得值，可懷疑，但由于

查表2-13得

故表2-11中第8個測得值含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。

則

剩下的14個數(shù)據(jù)，再重復(fù)上述步驟，判別是否含有粗大誤差。（四）狄克松準則

第三節(jié)粗大誤差構(gòu)造檢驗高端異常值和低端異常值的統(tǒng)計量分別為