量子力學(xué)：00-課程總結(jié)

量子力學(xué)總結(jié)能量量子化，波粒二象性，波函數(shù)及其物理意義，波函數(shù)的歸一化及其物理意義，力學(xué)量的平均值，算符，定態(tài)，量子態(tài)疊加原理，宇稱(chēng)，束縛態(tài)，一維諧振子的能量本征值，隧穿效應(yīng)，算符對(duì)易式，厄密算符平均值的性質(zhì)，量子力學(xué)關(guān)于算符的基本假設(shè)，算符的本征方程、本征值與本征函數(shù)，不確定度關(guān)系的嚴(yán)格表達(dá)，兩個(gè)算符有共同本征態(tài)的條件，力學(xué)量完全集，力學(xué)量完全集共同本征態(tài)的性質(zhì)，守恒量，狄啦克符號(hào)，內(nèi)積及其表示形式，投影算符算符及其性質(zhì)，向左作用角動(dòng)量平方和角動(dòng)量z分量的共同本征函數(shù)，中心力場(chǎng)粒子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，氫原子的能量本征值與能級(jí)簡(jiǎn)并度，正常Zeeman效應(yīng)，電子自旋，關(guān)于電子自旋的Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)，堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)，量子躍遷與選擇定則，禁戒躍遷，微擾論的思想，突發(fā)微擾與絕熱微擾，能量與時(shí)間不確定度，能級(jí)寬度與譜線寬度，半經(jīng)典理論，吸收，受激輻射，自發(fā)輻射4量子力學(xué)習(xí)題課（一）總結(jié)和例題

5總結(jié)

在量子力學(xué)中，描述系統(tǒng)狀態(tài)的物理量：波函數(shù)，體現(xiàn)粒子所具有的波粒二象性。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)?/p>

表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率。6薛定諤方程若不顯含，則其中，滿足的方程稱(chēng)為能量本征方程，稱(chēng)為能量本征函數(shù)，稱(chēng)為能量本征值7能量本征方程也稱(chēng)為定態(tài)薛定諤方程，對(duì)應(yīng)薛定諤方程中在不顯含t時(shí)的形式，是我們后面討論大多數(shù)問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。也稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)，通常將略去中的下標(biāo)E，這樣能量本征方程為8一維能量本征值問(wèn)題能量本征方程、隧穿效應(yīng)定態(tài)及其性質(zhì)、非定態(tài)束縛態(tài)、離散譜簡(jiǎn)并、宇稱(chēng)正交、歸一、完備態(tài)一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)9解題的思路1、根據(jù)題目要求寫(xiě)出哈密頓算符，具體說(shuō)就是寫(xiě)出勢(shì)能項(xiàng)：。2、求解方程。注意：多利用物理?xiàng)l件來(lái)求解。3、對(duì)解的討論。10例題例一、試求在不對(duì)稱(chēng)勢(shì)阱中束縛態(tài)粒子的能級(jí)。

11（1）寫(xiě)出不同區(qū)域的方程

II：

Ⅰ：

III:12（2）求出不同區(qū)域的解

II：

Ⅰ：

III:為什么不是為什么不是13（3）利用波函數(shù)的連續(xù)性條件獲得能級(jí)方程x=0處連續(xù)條件:

x=a處連續(xù)條件:14（3）利用波函數(shù)的連續(xù)性條件獲得能級(jí)方程

15（3）利用波函數(shù)的連續(xù)性條件獲得能級(jí)方程

根據(jù)齊次線性方程組的有解條件：16能級(jí)方程：MathCAD+Origin8.5或數(shù)值計(jì)算求解（如迭代法、二分法等）第一題試計(jì)算受到力作用的一個(gè)粒子的波函數(shù)和能量允許值。

提示：勢(shì)能第二題設(shè)粒子在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中，，如圖所示，求粒子能量所滿足的方程第二題提示分兩種情況討論：先證明粒子的位置幾率密度也是周期性的，即：20第三題粒子做一維運(yùn)動(dòng)，定態(tài)波函數(shù)為，證明:(1)

(2)提示：首先證明第一題解答首先計(jì)算勢(shì)能

作為勢(shì)能零點(diǎn)，得到新的勢(shì)能表達(dá)式第一題解答體系的哈密頓算符寫(xiě)為：定態(tài)薛定諤方程寫(xiě)為：第一題解答化簡(jiǎn)為：線形諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：對(duì)比兩個(gè)方程可得到上面方程的解為：第一題解答能量為：第二題解答首先證明幾率密度也是周期性的，由定態(tài)薛定諤方程作變換，：（1）（2）比較（1）和（2），可知和描述的是粒子的同一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

于是可令：式中：c是常數(shù)因子。?。?）（2）1、區(qū)間-b<x<a內(nèi)：其中：在下一周期a<x<a+d中（d=a+b），根據(jù)前面的證明，有：由在x=0和x=a處的連續(xù)條件可得

為的齊次線性方程組。根據(jù)非零解條件有：分開(kāi)實(shí)部及虛部得到：由以上二式可得到：即時(shí)粒子能量所滿足的方程2、令即時(shí)能量滿足的方程模擬了晶體結(jié)構(gòu)

由于固體中的原子是周期性排列，形成一定的晶格點(diǎn)陣，價(jià)電子為整個(gè)晶體所共有。公有化的電子在所有格點(diǎn)上的離子和其他電子所產(chǎn)生的周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。能量取分段連續(xù)值，為能帶結(jié)構(gòu)：

能帶能級(jí)能帶理論解釋了固體為什么有導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體之分

34第三題粒子做一維運(yùn)動(dòng)，定態(tài)波函數(shù)為，證明:(1)

(2)提示：首先證明第三題解答證明:(1)第三題解答證明:(2),已證37量子力學(xué)習(xí)題課（二）總結(jié)和例題38總結(jié)(一)為了在坐標(biāo)表象中計(jì)算動(dòng)量的平均值引入了動(dòng)量算符從而，動(dòng)量平均值可以表示為39總結(jié)(二)

在坐標(biāo)表象中，力學(xué)量具體形式如何寫(xiě)出？經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)動(dòng)能動(dòng)能算符角動(dòng)量角動(dòng)量算符哈密頓量哈密頓算符40總結(jié)(三)坐標(biāo)表象中，力學(xué)量在某個(gè)確定的態(tài)下平均值計(jì)算公式：厄米算符：或體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值都是實(shí)數(shù)。41總結(jié)(四)中心力場(chǎng)：42總結(jié)(五)由于相互對(duì)易，它們擁有共同本征函數(shù)：其中徑向波函數(shù)滿足方程：根據(jù)不同的可以獲得不同情況下（無(wú)限深球方勢(shì)阱，三維各向同性諧振子，氫原子）的能量本征值和徑向波函數(shù)。43例題設(shè)粒子在無(wú)限長(zhǎng)的圓筒中的運(yùn)動(dòng)，筒半徑為，求粒子的能量。

解：柱坐標(biāo)下的薛定諤方程：

分離變量法，代入方程得到：

44徑向方程是一個(gè)柱貝塞爾方程：

方程的通解：

45具有一系列的零點(diǎn)：

第一題設(shè)，求粒子能量本征值。

提示：寫(xiě)出徑向方程。第二題一個(gè)質(zhì)量為的非相對(duì)論粒子在一勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)為其中，是任意的。求能量本征值。提示：，然后寫(xiě)出關(guān)于新變量算符的形式，求解能量本征方程。第一題解答首先取守恒量完全集，共同本征函數(shù)為：

滿足的徑向方程：令：第一題解答方程化為：

能量本征值：

第二題解答令：逆關(guān)系哈密頓量：帶入勢(shì)能有：

關(guān)鍵寫(xiě)出，就是寫(xiě)出關(guān)于新變量算符的形式第二題解答第二題解答同理：關(guān)于新變量的能量本征方程為：分離變量法：第二題解答得到關(guān)于的三個(gè)本征方程：能量本征值54量子力學(xué)習(xí)題課（三）總結(jié)和例題55總結(jié)(一)中心力場(chǎng)：56總結(jié)(二)由于相互對(duì)易，它們擁有共同本征函數(shù)：其中徑向波函數(shù)滿足方程：根據(jù)不同的可以獲得不同情況下（無(wú)限深球方勢(shì)阱，三維各向同性諧振子，氫原子）的能量本征值和徑向波函數(shù)。57總結(jié)(三)設(shè)代表一組力學(xué)量完全集，即是的共同本征函數(shù)，一般代表一組量子數(shù)。設(shè)代表一組力學(xué)量完全集，即是的共同本征函數(shù)，一般代表一組量子數(shù)。設(shè)是體系的一個(gè)量子態(tài)，根據(jù)態(tài)疊加原理，有：同時(shí)稱(chēng)(1)和(2)式分別為態(tài)在和表象中的展開(kāi)式。表象變換：58總結(jié)(四)所謂表象，就是量子態(tài)的具體表示方式。稱(chēng)和為態(tài)在和表象中的表示因?yàn)樗院捅囟ㄓ幸欢ǖ年P(guān)系，這種變換關(guān)系即為表象變換。59總結(jié)(五)任一量子態(tài)在表象中的表示可以通過(guò)矩陣變換成表象中的表示

其中：，即可證明：即變換矩陣是幺正矩陣。稱(chēng)上述變換為幺正變換60總結(jié)(六)設(shè)為某一力學(xué)量的算符，量子態(tài)經(jīng)過(guò)運(yùn)算后變成另一量子態(tài)，即，設(shè)在表象的基矢為

，將和用展開(kāi)，有，其中列向量和分別為和在表象中的表示。其中：為在表象中的表示。61總結(jié)(七)為在表象中的表示。矩陣

就是在表象中的矩陣表示。在表象中，同樣有：矩陣

就是在表象中的矩陣表示。62總結(jié)(八)對(duì)量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有對(duì)量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通過(guò)幺正變換相聯(lián)系，即幺正矩陣可證明，矩陣和可以通過(guò)幺正矩陣相似變換相聯(lián)系：63總結(jié)(九)：右矢，代表量子態(tài)：左矢，代表量子態(tài)的共軛態(tài)即是的共軛態(tài)矢。若是力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)，則，如球諧函數(shù)是的共同本征函數(shù)，稱(chēng)為本征矢的封閉性。狄拉克符號(hào)：64總結(jié)(十)自旋：1921－1922年間史特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)氫、銀或鈉電子爐（只有一個(gè)價(jià)電子）65總結(jié)(十一)66總結(jié)(十二)在電子自旋假設(shè)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的量子理論，不僅可以解釋史特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)，而且可以解釋堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)等，終為人們所接受。它揭示出電子具有自旋這種內(nèi)稟屬性，是一種量子效應(yīng)，沒(méi)有經(jīng)典對(duì)應(yīng)。就是說(shuō)，電子的自旋是量子概念，不能同宏觀粒子的自旋機(jī)械運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)。67總結(jié)(十三)68總結(jié)(十四)69總結(jié)(十五)70總結(jié)(十六)71總結(jié)(十七)矩陣表示：72第一題

化簡(jiǎn)