畫法幾何-3立體

3立體的投影

常見的基本幾何體平面基本體曲面基本體

立體表面是由若干面所組成。表面均為平面的立體稱為平面立體；表面為曲面或平面與曲面的立體稱為曲面立體。

在投影圖上表示一個(gè)立體，就是把這些平面和曲面表達(dá)出來，然后根據(jù)可見性原理判斷那些線條是可見的或是不可見的，分別用實(shí)線和虛線來表達(dá)，從而得到立體的投影圖。

本章內(nèi)容是在研究點(diǎn)、線、面投影的基礎(chǔ)上進(jìn)一步論述立體的投影作圖問題。平面立體的投影實(shí)質(zhì)是關(guān)于其表面上點(diǎn)、線、面投影的集合，且以棱邊的投影為主要特征，對(duì)于可見的棱邊，其投影以粗實(shí)線表示，反之，則以虛線示之。在投影圖中，當(dāng)多種圖線發(fā)生重疊時(shí)，應(yīng)以粗實(shí)線、虛線、點(diǎn)畫線等順序優(yōu)先繪制。3.1.1棱柱1、棱柱的組成

由兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

如圖,為一正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影重影為一直線。3.1.1平面立體a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

棱柱有六各側(cè)棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影重影為一條直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

棱柱的其它四個(gè)側(cè)棱面均為鉛垂面，其水平投影均重影為直線。正面投影和側(cè)面投影均為類似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三視圖

作投影圖時(shí)，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據(jù)其它投影規(guī)律畫出其它的兩個(gè)投影。如圖3-2所示。棱柱具有這樣的投影特點(diǎn)：一個(gè)投影反映底面實(shí)形，而其余兩投影則為矩形或復(fù)合矩形。（a）投影特點(diǎn)（b）繪圖過程圖2-23棱柱的投影圖aaa棱柱表面上取點(diǎn)(b’)bb’’CC’C’’1、棱錐的組成

由一個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)——錐頂。3.1.1.2、棱錐SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影

如圖3-3所示為一正三棱錐，錐頂為S，其底面為△ABC，呈水平位置，水平投影△abc反映實(shí)形。

棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個(gè)投影均為類似形。

棱面△SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影s”a”c”重影為一直線。2、棱錐的三視圖投影

棱錐處于圖示位置時(shí)，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實(shí)形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個(gè)側(cè)棱面為一般位置平。

底邊AB、BC為水平線，AC為側(cè)垂線，棱線SB為側(cè)平線，SA、SC為一般位置直線，它們的投影可根據(jù)不同位置直線的投影特性進(jìn)行分析。SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影

作圖時(shí)，先畫出底面△ABC的各個(gè)投影，再作出錐頂S的各個(gè)投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。如圖所示。

s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ作圖步驟如下：

連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2

在投影ac上求出Ⅱ點(diǎn)的水平投影2。

連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。

根據(jù)在直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律，求出M點(diǎn)的水平投影m。

再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW3、三棱錐表面上取點(diǎn)1作圖步驟如下：1’1m

過m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。

求出Ⅰ點(diǎn)的水平投影1。

過1作1m∥ac，再根據(jù)點(diǎn)在直線上的幾何條件，求出m。

再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。（具體步驟略)sc’b’正三棱錐的三面投影圖s’abca’a”(b”)c”s”m’s(b)saBacbccsbCASa222Ⅱ3s(b)saBacbccsbCASaⅢ(3)33.1.2回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體（面）的形成

工程中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體，主要有圓柱、圓錐、球、環(huán)等?；剞D(zhuǎn)體是一動(dòng)線（直線、圓弧或其它曲線）繞一定線（直線）回轉(zhuǎn)一周形成的曲面。OO頂圓素線赤道圓喉圓緯圓底圓母線軸線回轉(zhuǎn)面的術(shù)語

回轉(zhuǎn)面用轉(zhuǎn)向輪廓線表示。轉(zhuǎn)向輪廓線是與曲面相切的投射線與投影面的交點(diǎn)所組成的線段。

在投影圖上表示回轉(zhuǎn)體，就是把組成立體的回轉(zhuǎn)面或平面表示出來，然后判斷可見性。如圖所示。轉(zhuǎn)向輪廓線轉(zhuǎn)向輪廓線XZY圓柱的三面投影圖HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”1、圓柱的投影

圓柱表面由圓柱面和頂面、底面所組成。圓柱面是由一直母線繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。

如圖所示，圓柱的軸線垂直于H面，其上下底圓為水平面，水平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影重影為一直線。而圓柱面則用曲面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線表示。

一個(gè)投影為圓，其余二投影均為矩形。規(guī)定：回轉(zhuǎn)體對(duì)某投影面的轉(zhuǎn)向輪廓線，只能在該投影面上畫出，而在其它投影面上則不再畫出。3.1.2.1圓柱XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vaba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圓柱的投影圓柱投影圖的繪制：

（1）先繪出圓柱的對(duì)稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）繪出圓柱的頂面和底面。（3）畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線在圓柱表面上取點(diǎn)

已知圓柱表面上的點(diǎn)M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。2、圓柱表面上取點(diǎn)a’a”ab’(b”)bXZY圖3-11圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)1、圓錐的投影

圓錐表面由圓錐面和底圓組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。

如圖所示，圓錐軸線垂直H面，底面為水平面，它的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影重影為一直線。

對(duì)于圓錐面，要分別畫出正面和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線3.1.2.2圓錐體圓錐投影圖的繪制：s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)

（1）先繪出圓錐的對(duì)稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投影和側(cè)面投影積聚為直線。(3)作出錐頂?shù)恼嫱队昂蛡?cè)面投影并畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圓錐表面上取點(diǎn)

在圓錐表面上求點(diǎn)，有兩種方法：一種是素線法，一種是輔助圓法。方法一：素線法

過M點(diǎn)及錐頂S作一條素線SⅠ,先求出素線SⅠ的投影,再求出素線上的M點(diǎn)。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M

已知圓錐表面的點(diǎn)M的正面投影m’,求出M點(diǎn)的其它投影。

過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)圖3-14圓錐的投影及表面上的點(diǎn)ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’

求出素線的水平投影s1及側(cè)面投影s”1”。

求出M點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：輔助圓法

過M點(diǎn)作一平行與底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過m’且平行于a’b’的直線2’3’，它們的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，m在圓周上，由此求出m及m”。mMm’m”m’圓錐的投影及表面上的點(diǎn)s’ss”a’ab’bc”d”mm”

以s為中心，以sm為半徑畫圓，

已知圓錐面上M點(diǎn)的水平投影m，求出其m’和m”。

作出輔助圓的正面投影2’3’。232’3’

求出m’及m”的投影。mmmnn()n()

已知圓錐表面上點(diǎn)M及N的正面投影m′和n′，求它們的其余兩投影。在圓錐表面上定點(diǎn)a’a(a”)

球的表面是球面。球面是一條園母線繞過圓心且在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)而形成的。1、圓球的形成

球的三個(gè)投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個(gè)投影面上的圓是不同的轉(zhuǎn)向輪廓線?；剀?yán)^續(xù)2、球的投影3.1.2.3圓球

已知M點(diǎn)的水平投影，求出其它兩個(gè)投影。121’m’m”

過m作平行于V面的正平圓12。

求正平圓的正面投影。

在輔助正平圓上求出m’和m”。o’o”o球的投影及表面上的點(diǎn)mR3、球面上取點(diǎn)23ⅠⅡⅢ3122""3"12311"12""323′′′圓球的投影（1）圓環(huán)的形成

圓環(huán)面是由一個(gè)完整的圓繞軸線回轉(zhuǎn)一周而形成，軸線與圓母線在同一平面內(nèi)，但不與圓母線相交。3.1.2.4圓環(huán)（2）圓環(huán)的三視圖主、左視圖是極限位置素線（圖）和內(nèi)、外環(huán)分圓的投影；俯視圖是上、下的投影。k’kk’’（3）圓環(huán)表面取點(diǎn)mm'（n'）（n）44453.2截切立體的投影截切：用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一部分。截平面

——用以截切物體的平面。截交線

——截平面與物體表面的交線。截?cái)嗝?/p>

——因截平面的截切，在物體上形成的平面。討論的問題：截交線的分析和作圖。463.2.1

平面立體的截切一、平面截切的基本形式截交線與截?cái)嗝娼仄矫娼亟痪€截?cái)嗝?7截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊形，其形狀取決于平面體的形狀及截平面相對(duì)平面體的截切位置。平面立體的截交線是一個(gè)多邊形，它的頂點(diǎn)是平面立體的棱線或底邊與截平面的交點(diǎn)。截交線的每條邊是截平面與棱面的交線。求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：共有性：截交線既屬于截平面，又屬于立體表面。48二、平面截切體的畫圖⒈求截交線的兩種方法：★求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。⒉求截交線的步驟：☆截平面與體的相對(duì)位置☆截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線的投影特性確定截交線的形狀★空間及投影分析★畫出截交線的投影

分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。49作圖方法:1求棱線與截平面的共有點(diǎn)2連線3根據(jù)可見性處理輪廓線1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線[例題1]求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影50例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性截平面與體的幾個(gè)棱面相交？截交線在俯、左視圖上的形狀？51我們采用的是哪種解題方法？棱線法！52例3、求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。平面與三棱錐相交s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv與s’a’、s’b’、s’c’的交點(diǎn)1’、2’、3’為截平面與各棱線的交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根據(jù)線上取點(diǎn)的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)連接各點(diǎn)的同面投影即等截交線的三個(gè)投影。(4)補(bǔ)全棱線的投影。3”具體步驟如下：531’2’3’(4’)1”3”4”1243

例4求做立體被截切后的投影54例5：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。121(2)Ⅰ、Ⅱ兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面上。三面共點(diǎn)：2●1●

注意：要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。55561’2’(3’)4’(5’)6’(7’)6”7”1”3”2”5”4”67例6補(bǔ)全俯視圖和左視圖的投影

573.2.2回轉(zhuǎn)體的截切一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線截平面截平面截交線58截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及

截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。截交線都是封閉的平面圖形。59二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟

⒈空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀?！罘治鼋仄矫媾c投影面的相對(duì)位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，予見未知投影。⒉畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：☆將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性?！钕日姨厥恻c(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。60截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜PVPPVPPVP3.2.2.1圓柱體的截切61例1、如圖所示，圓柱被正垂面截切，求出截交線的另外兩個(gè)投影。平面與圓柱相交

由于平面與圓柱的軸線斜交，因此截交線為一橢圓。截交線的正面投影重影為一直線，水平投影與圓柱面的投影重影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點(diǎn)的方法求出。具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點(diǎn)。（2）再作出適當(dāng)數(shù)量的一般點(diǎn)。（3）將這些點(diǎn)的投影依次光滑的連接起來。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）補(bǔ)全側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ62比較不同角度的正垂面截交圓柱所得的截交線的投影。平面與圓柱相交﹥45°﹤45°=45°63例2：求左視圖虛實(shí)分界點(diǎn)646566

在形狀較為復(fù)雜的機(jī)件上，有時(shí)會(huì)見到由平面與曲面立體相交而形成的具有缺口的曲面立體和穿孔的曲面立體，只要逐個(gè)作出各個(gè)截平面與曲面立體的截交線，并畫出截平面之間的交線，就可以作出這些曲面立體的投影圖。676869分析：該立體是在圓柱筒的上部開出一個(gè)方槽后形成的。構(gòu)成方槽的平面為垂直于軸線的水平P和兩個(gè)平行于軸線的側(cè)平面Q。它們與圓柱體和孔的表面都有交線，平面P與圓柱的交線為圓弧，平面Q與圓柱的交線為直線，平面Ｐ和Q彼此相交于直線段。例2、補(bǔ)畫被挖切后立體的投影。平面與圓柱相交70作圖步驟如下：（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。(3)作出穿孔的三面投影圖。QP71平面截切圓錐有四種情況，如圖所示。平面與圓錐相交3.2.2.2圓錐體的截切72737475

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀。過錐頂兩相交直線PV圓PVθθ=90°PV橢圓αθθ＞α拋物線PVθαθ=α雙曲線PVαθ=0°＜α767778798081例1、如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截交線的另外兩個(gè)投影。平面與圓柱相交

此種截交線為一橢圓。由于圓錐前后對(duì)稱，故橢圓也前后對(duì)稱。橢圓的長軸為截平面與圓錐前后對(duì)稱面的交線——正平線，橢圓的短軸是垂直與長軸的正垂線。ⅠⅡⅢⅣ正平線正垂線82ⅠⅡⅢⅣ正平線正垂線平面與圓錐相交具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點(diǎn)。1’2’121”2”3’4’345’6’65（2）再作一般點(diǎn)。（3）依次光滑連接各點(diǎn)，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。（4）補(bǔ)全側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。3”4”5”6”7’8’787”8”8384平面與圓錐相交例2、如圖所示，圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個(gè)投影。342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊點(diǎn)。（2）再求一般點(diǎn)。（3）依次光滑連接各點(diǎn)。5”31524具體步驟如下：85例3:求圓錐被截切后的正面投影.分析:截交線的正面投影為雙曲線.作圖:1求特殊點(diǎn)。最高點(diǎn)最低點(diǎn)2求一般點(diǎn)。3連線。8687

平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對(duì)位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。3.2.2.3球體的截切平面與球相交8889909192939495969798例1：求半球體