初二因式分解難題及解析

2017年05月21日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2一．填空題（共10小題）1．已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為．2．兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x﹣2）（x﹣4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)：．．若多項(xiàng)式2+mx+4能用完整平方公式分解因式，則m的值是．3x4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解計(jì)算：2022+202×196+982=．．△三邊，，c知足2+b2+c2，則△的形狀是．6ABCaba=ab+bc+caABC7．計(jì)算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+﹣1002+1012=．8．定義運(yùn)算a★b=（1﹣a）b，下邊給出了關(guān)于這類運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2★（﹣2）=3a★b=b★a③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，則a=1或b=0．此中正確結(jié)論的序號(hào)是（填上你以為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）．．若是2+a3，代數(shù)式2+a3+a4+a5+a6+a7+a8．91+a+a=0a+a=．若多項(xiàng)式x2﹣6x﹣b可化為（x+a）2﹣1，則b的值是．10二．解答題（共20小題）11．已知n為整數(shù)，試說(shuō)明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值必然能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解1）a3﹣ab22）（x﹣y）2+4xy．14．先閱讀下邊的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0m+n=0，n﹣3=0m=﹣3，n=3問(wèn)題：1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且知足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請(qǐng)問(wèn)△ABC是怎樣形狀的三角形？15．若是一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，所以4，12，20這三個(gè)數(shù)都是友善數(shù)．1）36和2016這兩個(gè)數(shù)是友善數(shù)嗎？為何？2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（此中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的友善數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為何？（3）介于1到200之間的所有“友善數(shù)”之和為．16．如圖1，有若干張邊長(zhǎng)為a的小正方形①、長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形②以及邊長(zhǎng)為b的大正方形③的紙片．1）若是現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長(zhǎng)方形②3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖2虛線框中畫(huà)出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式．2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長(zhǎng)方形②的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形②的面積．3）現(xiàn)有三種紙片各8張，此后中拿出若干張紙片，每種紙片最少取一張，把拿出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），求能夠拼成多少種邊長(zhǎng)不同樣的正方形．17．（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2．①用兩種不同樣的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；②由此，你能夠得出的一個(gè)等式為：．2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3所示．①請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完整平方公式，畫(huà)出你的拼圖；②請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫(huà)出你的拼圖．18．已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，，sn=an+bn1）計(jì)算s2；2）請(qǐng)閱讀下邊計(jì)算s3的過(guò)程：因?yàn)閍+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4．3）試寫(xiě)出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之間的關(guān)系式；4）依據(jù)（3）得出的結(jié)論，計(jì)算s6．19．（1）利用因式分解簡(jiǎn)算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．閱讀資料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．依據(jù)你的察看，研究下邊的問(wèn)題：1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且知足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，則a﹣b+c=．21．仔細(xì)閱讀下邊例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m=x2+n+3）x+3nn+3=﹣4m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問(wèn)題：（1）若二次三項(xiàng)式（2）若二次三項(xiàng)式

x2﹣5x+6可分解為（x﹣2）（x+a），則a=2x2+bx﹣5可分解為（2x﹣1）（x+5），則b=

；

；（3）模擬以上方法解答下邊問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x﹣k有一個(gè)因式是（2x﹣3），求另一個(gè)因式以及k的值．22．分解因式：1）2x2﹣x；2）16x2﹣1；3）6xy2﹣9x2y﹣y3；4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三邊，且知足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），試確立三角形的形狀．24．分解因式1）2x4﹣4x2y2+2y42）2a3﹣4a2b+2ab2．25．圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，爾后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）圖②中的暗影部分的面積為；2）察看圖②請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系是．（3）若x+y=7，xy=10，則（x﹣y）2=．4）實(shí)質(zhì)上有好多代數(shù)恒等式能夠用圖形的面積來(lái)表示．如圖③，它表示了．5）試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c知足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且知足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．閱讀以下因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2++x（x+1）2004，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是．3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2++x（x+1）n（n為正整數(shù)）．30．關(guān)于多項(xiàng)式x3﹣5x2+x+10，若是我們把x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x3﹣5x2+x+10=0，這時(shí)能夠判斷多項(xiàng)式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多項(xiàng)式能使多項(xiàng)式的值為0，則多項(xiàng)式含有因式（x﹣a）），于是我們能夠把多項(xiàng)式寫(xiě)成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），1）求式子中m、n的值；2）以上這類因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式x3﹣2x2﹣13x﹣的因式．2017年05月21日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2參照答案與試題解析一．填空題（共10小題）．（2016秋望謨縣期末）已知，，則22的值為160．1?x+y=10xy=16xy+xy【解析】第一提取公因式xy，進(jìn)而將已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案為：160．【評(píng)論】此題主要考察了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題重點(diǎn)．2．（2016秋?新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x﹣2）（x﹣4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)：2（x﹣3）2．【解析】依據(jù)多項(xiàng)式的乘法將2（x﹣1）（x﹣9）睜開(kāi)獲得二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；將2（x﹣2）（x﹣4）睜開(kāi)獲得二次項(xiàng)、一次項(xiàng)．進(jìn)而獲得原多項(xiàng)式，再對(duì)該多項(xiàng)式提取公因式2后利用完整平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多項(xiàng)式為2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【評(píng)論】依據(jù)錯(cuò)誤會(huì)法獲得原多項(xiàng)式是解答此題的重點(diǎn)．二次三項(xiàng)式分解因式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次項(xiàng)正確．3．（2015春?昌邑市期末）若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完整平方公式分解因式，則m的值是±4．【解析】利用完整平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab計(jì)算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案為：±4．【評(píng)論】此題主要考察了公式法分解因式，熟記相關(guān)完整平方的幾個(gè)變形公式是解題重點(diǎn)．4．（2015秋?利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【解析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，這類方法的重點(diǎn)是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么能夠直接寫(xiě)成結(jié)果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），進(jìn)而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案為：（2x﹣3）（2x+1）．【評(píng)論】此題主要考察了十字相乘法分解因式，正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題重點(diǎn)．5．（2015春?東陽(yáng)市期末）利用因式分解計(jì)算：2022+202×196+982=90000．【解析】經(jīng)過(guò)察看，顯然吻合完整平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【評(píng)論】運(yùn)用公式法能夠簡(jiǎn)略計(jì)算一些式子的值．三邊2+b2+c2，6．（2015秋?浮梁縣校級(jí)期末）△ABCa，b，c知足a=ab+bc+ca則△ABC的形狀是等邊三角形．【解析】解析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以2，再化簡(jiǎn)得（a﹣b）2+（ac）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即選出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號(hào)兩邊均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【評(píng)論】此題考察了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判斷，化簡(jiǎn)式子得a=b=c，由三邊相等判斷△ABC是等邊三角形．7．（2015秋?鄂托克旗校級(jí)期末）計(jì)算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+﹣1002+1012=5151．【解析】經(jīng)過(guò)察看，原式變成1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），進(jìn)一步運(yùn)用高斯乞降公式即可解決．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）++（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案為：5151．【評(píng)論】此題考察因式分解的實(shí)質(zhì)運(yùn)用，分組分解，利用平方差公式解決問(wèn)題．8．（2015秋?樂(lè)至縣期末）定義運(yùn)算a★b=（1﹣a）b，下邊給出了關(guān)于這類運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2★（﹣2）=3a★b=b★a③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，則a=1或b=0．此中正確結(jié)論的序號(hào)是③④（填上你以為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）．【解析】依據(jù)題中的新定義計(jì)算獲得結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不必然等于b★a，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本選項(xiàng)正確；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，則a=1或b=0，本選項(xiàng)正確，此中正確的有③④．故答案為③④．【評(píng)論】此題考察了整式的混雜運(yùn)算，以及有理數(shù)的混雜運(yùn)算，弄清題中的新定義是解此題的重點(diǎn)．9．（2015春?張掖校級(jí)期末）若是1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．【解析】4項(xiàng)為一組，分成2組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【評(píng)論】此題考察利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問(wèn)題．10．（2015春?昆山市期末）若多項(xiàng)式x2﹣6x﹣b可化為（x+a）2﹣1，則b的值是﹣8．【解析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案為：﹣8．【評(píng)論】此題主要考察了配方法的應(yīng)用，依據(jù)題意正確配方是解題重點(diǎn)．二．解答題（共20小題）11．已知n為整數(shù)，試說(shuō)明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值必然能被20整除．【解析】用平方差公式睜開(kāi)（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有沒(méi)有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值必然能被20整除．【評(píng)論】主要考察利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋?農(nóng)安縣校級(jí)期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【解析】先提取公因式y(tǒng)，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完整平方公式持續(xù)分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【評(píng)論】此題考察了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式第一提取公因式，爾后再用其余方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要完全，直到不能夠分解為止．13．（2015秋?成都校級(jí)期末）因式分解1）a3﹣ab22）（x﹣y）2+4xy．【解析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完整平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【評(píng)論】此題考察了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解此題的重點(diǎn)．14．（2015春?甘肅校級(jí)期末）先閱讀下邊的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0m+n=0，n﹣3=0m=﹣3，n=3問(wèn)題：1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且知足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請(qǐng)問(wèn)△ABC是怎樣形狀的三角形？【解析】（1）第一把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方獲得（x﹣y）2+（y+2）2=0，再依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)獲得x=y=﹣2，代入求得數(shù)值即可；2）先把a(bǔ)2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方獲得（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)獲得a=b=c=3，得出三角形的形狀即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0x=y=﹣2∴；2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0a=b=c=3∴三角形ABC是等邊三角形．【評(píng)論】此題考察了配方法的應(yīng)用：經(jīng)過(guò)配方，把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，爾后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)獲得幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問(wèn)題．15．（2015秋?太和縣期末）若是一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“友善數(shù)”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，所以4，12，這三個(gè)數(shù)都是友善數(shù)．1）36和2016這兩個(gè)數(shù)是友善數(shù)嗎？為何？2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（此中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的友善數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為何？（3）介于1到200之間的所有“友善數(shù)”之和為2500．【解析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032說(shuō)明36是“友善數(shù)”，2016不是“友善數(shù)”；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2（n為自然數(shù)），則“友善數(shù)”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式睜開(kāi)獲得（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），爾后利用整除性可說(shuō)明“友善數(shù)”必然是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“友善數(shù)”中，最小的為：22﹣02=4，最大的為：502﹣482=196，將它們所有列出不難求出他們的和．【解答】解：（1）36是“友善數(shù)”，2016不是“友善數(shù)”．原因以下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（n為自然數(shù)），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），4（2k+1）能被4整除，∴“友善數(shù)”必然是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“友善數(shù)”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）++（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【評(píng)論】此題考察了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，進(jìn)而達(dá)到使計(jì)算簡(jiǎn)化．16．（2015春?興化市校級(jí)期末）如圖1，有若干張邊長(zhǎng)為a的小正方形①、長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形②以及邊長(zhǎng)為b的大正方形③的紙片．1）若是現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長(zhǎng)方形②3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖2虛線框中畫(huà)出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式．2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長(zhǎng)方形②的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形②的面積．3）現(xiàn)有三種紙片各8張，此后中拿出若干張紙片，每種紙片最少取一張，把拿出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），求能夠拼成多少種邊長(zhǎng)不同樣的正方形．【解析】（1）依據(jù)小正方形①1張，大正方形③2張，長(zhǎng)方形②3張，直接畫(huà)出圖形，利用圖形分解因式即可；2）由長(zhǎng)方形②的周長(zhǎng)為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形①與大正方形③的面積之和為a2+b2=169，將a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得ab的值，進(jìn)而可求得長(zhǎng)方形②的面積；3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb），此中（n、m為正整數(shù)）由完整平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各8張，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）進(jìn)而可知n≤2，m≤2，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：（1）如圖：拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長(zhǎng)方形a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵長(zhǎng)方形②的周長(zhǎng)為34，a+b=17．∵小正方形①與大正方形③的面積之和為169，a2+b2=169．將a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，2ab=289﹣169，ab=60．∴長(zhǎng)方形②的面積為60．（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb），此中（n、m為正整數(shù)）∴正方形的面積=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵現(xiàn)有三種紙片各8張，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）n≤2，m≤2．∴共有以下四種狀況；n=1，m=1，正方形的邊長(zhǎng)為a+b；②n=1，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為a+2b；③n=2，m=1，正方形的邊長(zhǎng)為2a+b；④n=2，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為2a+2b．【評(píng)論】此題考察因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問(wèn)題，解題的重點(diǎn)是靈便運(yùn)用完整平方公式．17．（2014秋?萊城區(qū)校級(jí)期中）（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2．①用兩種不同樣的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；②由此，你能夠得出的一個(gè)等式為：a2+2a+1=（a+1）2．2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3所示．①請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完整平方公式，畫(huà)出你的拼圖；②請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫(huà)出你的拼圖．【解析】（1）要能依據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同樣的計(jì)算面積的方法，來(lái)推導(dǎo)公式；2）要能依據(jù)等式畫(huà)出適合的拼圖．【解答】解：（1）①長(zhǎng)方形的面積=a2+2a+1；長(zhǎng)方形的面積=（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；2）①如圖，可推導(dǎo)出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【評(píng)論】此題考察運(yùn)用正方形或長(zhǎng)方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運(yùn)用圖形的面積計(jì)算的不同樣方法獲得多項(xiàng)式的因式分解．18．（2013秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，，sn=an+bn1）計(jì)算s2；2）請(qǐng)閱讀下邊計(jì)算s3的過(guò)程：因?yàn)閍+b=1，ab=﹣1，所以s33+b3（）（2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣）2=a=a+ba1=s+1=4你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4．3）試寫(xiě)出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之間的關(guān)系式；4）依據(jù)（3）得出的結(jié)論，計(jì)算s6．【解析】（1）（2）利用完整平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，爾后代入a+b，ab的值，即可推出結(jié)論；3）依據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；4）依據(jù)（3）的結(jié)論，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，a3+b3=4，即S3=4；S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【評(píng)論】此題主要考察整式的混雜運(yùn)算、完整平方公式的運(yùn)用，重點(diǎn)在于依據(jù)題意推出S2=3，S3=4，S4=7，解析歸納出規(guī)律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．19．（2013春?重慶校級(jí)期末）（1）利用因式分解簡(jiǎn)算：9.82+0.4×9.8+0.042）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【解析】（1）利用完整平方公式因式分解計(jì)算即可；2）先利用提取公因式法，再利用完整平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【評(píng)論】此題考察因式分解的實(shí)質(zhì)運(yùn)用，掌握平方差公式和完整平方公式是解決問(wèn)題的重點(diǎn)．20．（2013春?惠山區(qū)校級(jí)期末）閱讀資料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．依據(jù)你的察看，研究下邊的問(wèn)題：1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且知足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值．3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，則a﹣b+c=7．【解析】（1）將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完整平方公式化簡(jiǎn)，依據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x﹣y的值；2）將已知等式25分為9+16，重新結(jié)合后，利用完整平方公式化簡(jiǎn)，依據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，依據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長(zhǎng)；3）由a﹣b=4，獲得a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完整平方公式化簡(jiǎn)，依據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0x+y=0y+1=0解得x=1，y=﹣1x﹣y=2；2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形兩邊之和＞第三邊c＜a+b，c＜3+4c＜7，又c是正整數(shù)，c最大為6；3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，則a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案為：7．【評(píng)論】此題考察了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完整平方公式是解此題的重點(diǎn)．21．（2012秋?溫嶺市校級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下邊例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m=x2+n+3）x+3nn+3=﹣4m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一個(gè)因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問(wèn)題：1）若二次三項(xiàng)式x2﹣5x+6可分解為（x﹣2）（x+a），則a=﹣3；2）若二次三項(xiàng)式2x2+bx﹣5可分解為（2x﹣1）（x+5），則b=9；3）模擬以上方法解答下邊問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x﹣k有一個(gè)因式是（2x﹣3），求另一個(gè)因式以及k的值．【解析】（1）將（x﹣2）（x+a）睜開(kāi)，依據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）睜開(kāi)，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，既而即可求出b的值；3）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x3n，可知2n﹣3=5，k=3n，既而求出n和k的值及另一個(gè)因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x3n，則2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一個(gè)因式為（x+4），k的值為12．故答案為：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個(gè)因式是x+4，k=12（6分）．【評(píng)論】此題考察因式分解的意義，解題重點(diǎn)是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，兩者是一個(gè)式子的不同樣表現(xiàn)形式．22．（2012春?郯城縣期末）分解因式：1）2x2﹣x；2）16x2﹣1；3）6xy2﹣9x2y﹣y3；4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【解析】（1）直接提取公因式x即可；2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；3）先提取公因式﹣y，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完整平方公式持續(xù)分解；4）把（x﹣y）看作整體，利用完整平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【評(píng)論】此題考察了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點(diǎn)在（3），提取公因式﹣y后，需要持續(xù)利用完整平方公式進(jìn)行二次因式分解．23．（2012春?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c是三角形的三邊，且知足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），試確立三角形的形狀．【解析】將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，a=b=c，故△ABC為等邊三角形．【評(píng)論】此題考察了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷．重點(diǎn)是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．24．（2011秋?北辰區(qū)校級(jí)期末）分解因式1）2x4﹣4x2y2+2y42）2a3﹣4a2b+2ab2．【解析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完整平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【評(píng)論】此題考察了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，提取公因式后利用公式進(jìn)行二次分解，注意分解要完全．25．（2011秋?蘇州期末）圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，爾后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．1）圖②中的暗影部分的面積為（m﹣n）2；2）察看圖②請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．3）若x+y=7，xy=10，則（x﹣y）2=9．4）實(shí)質(zhì)上有好多代數(shù)恒等式能夠用圖形的面積來(lái)表示．如圖③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．5）試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【解析】（1）可直接用正方形的面積公式獲得．2）掌握完整平方公式，并掌握和與差的差別．3）此題可參照第（2）題．4）可利用各部分面積和=長(zhǎng)方形面積列出恒等式．5）可參照第（4）題畫(huà)圖．【解答】解：（1）暗影部分的邊長(zhǎng)為（m﹣n），暗影部分的面積為（m﹣n）2；2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；5）答案不唯一：比方：．【評(píng)論】此題考察了因式分解的應(yīng)用，解題重點(diǎn)是仔細(xì)察看題中給出的圖示，用不同樣的形式去表示面積，熟練掌握完整平方公式，并能進(jìn)行變形．26．（2009秋?海淀區(qū)期末）已知a、b、c知足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【解析】此題乍看下沒(méi)法代數(shù)求值，也沒(méi)法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個(gè)式子進(jìn)行適合變形后，即可找到此題的打破口．由a﹣b=8可得a=b+8；將其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此時(shí)可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好吻合完整平方公式，所以可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；爾后代值運(yùn)算即可．【解答】解：因?yàn)閍﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，則b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【評(píng)論】此題既考察了對(duì)因式分解方法的掌握，又考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．27．（2010春?北京期末）已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且知足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積．【解析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變成（a+1）（b+1）（c+1）1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，因?yàn)閍、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222．便可求出長(zhǎng)方體體積abc了．【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，1+b）（c+1+a+ac）=2007，1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只好分解為3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只好分別為3、3、223∴a、b、c也只好分別為