結構力學課件：第八章《位移法》

第八章位移法1位移法第八章位移法§8—1概述§8—2等截面直桿的轉角位移方程§8—3位移法的基本未知量和基本結構§8—4位移法的典型方程及計算步驟§8—5直接由平衡條件建立位移法基本方程§8—6對稱性的利用2§8—1概述力法和位移法是分析超靜定結構的兩種基本方法。力法于十九世紀末開始應用，位移法建立于上世紀初。

力法——

位移法——以某些結點位移為基本未知量，由平衡條件建立位移法方程，求出位移后再計算內力。以多余未知力為基本未知量，由位移條件建立力法方程，求出內力后再計算位移。位移法返回3位移法的基本概念以圖示剛架為例予以說明123EI=常數(shù)P剛架在荷載P作用下將發(fā)生如虛線所示的變形。Z1Z1在剛結點1處發(fā)生轉角Z1，結點沒有線位移。則12桿可以視為一根兩端固定的梁（見圖）。1PZ12其受荷載P作用和支座1發(fā)生轉角Z1這兩種情況下的內力均可以由力法求得。同理，13桿可以視為一根一端固定另一端鉸支的梁（見圖）。13Z1

而在固定端1處發(fā)生了轉角Z1，其內力同樣由力法求出。可見，在計算剛架時，如果以Z1為基本未知量，設法首先求出Z1，則各桿的內力即可求出。這就是位移法的基本思路?！小小小小衂1位移法返回4

由以上討論可知，在位移法中須解決以下問題：

（1）用力法算出單跨超靜定梁在桿端發(fā)生各種位移以及荷載等因素作用下的內力。

（2）確定以結構上的哪些位移作為基本未知量。（3）如何求出這些位移。

下面依次討論這些問題。位移法返回5§8—2等截面直桿的轉角位移方程本節(jié)解決第一個問題。用位移法計算超靜定剛架時，每根桿件均視為單跨超靜定梁。計算時，要用到各種單跨超靜定梁在桿端產生位移(線位移、角位移)時,以及在荷載等因素作用下的桿端內力(彎矩、剪力)。為了應用方便，首先推導桿端彎矩公式。如圖所示，兩端固定的等截面梁，ABLEIPt1t2A′B′AB△ABAB除受荷載及溫度變化外，兩支座還發(fā)生位移：轉角A、B及側移△AB

。轉角A、B順時針為正，△AB則以整個桿件順時針方向轉動為正。在位移法中，為了計算方便，彎矩的符號規(guī)定如下：彎矩是以對桿端順時針為正(對結點或對支座以逆時針為正)。圖中所示均為正值。MABAMBAB返回位移法6ABLEIPt1t2A′B′AB△ABAB用力法解此問題，選取基本結構如圖。Pt1t2X1X2X3多余未知力為X1、X2。力法典型方程為11X1+12X2+△1P+△1t+△1△=A21X1+22X2+△2P+△2t+△2△=B為計算系數(shù)和自由項，作、、MP圖。圖1圖1MP圖XAXB由圖乘法算出：，，△ABAB由圖知這里，AB稱為弦轉角，順時針為正?！?t、△2t

由第七章公式計算。位移法返回7將以上系數(shù)和自由項代入典型方程，可解得X1=X2=令稱為桿件的線剛度。此外，用MAB代替X1，用MBA代替X2，上式可寫成MAB=4iA+2iB－MBA=4iB+2iA－(8—1）式中(8—2）是此兩端固定的梁在荷載、溫度變化等外因作用下的桿端彎矩，稱為固端彎矩。位移法返回8MAB=4iA+2iB__MBA=4iB+2iA__(8—1）式(8—1）是兩端固定的等截面梁的桿端彎矩的一般公式，通常稱為轉角位移方程。對于一端固定另一端簡支的等截面梁(見圖)，其轉角位移方程可由式(8—1）導出，設B端為鉸支，則因ABEIPt1t2lMBA=4iB+2iA__=0可見，B可表示為A、△AB的函數(shù)。將此式代入式(8—1)第一式，得MAB=3iA(8—3）（轉角位移方程）式中（8—4）（固端彎矩）桿端彎矩求出后，桿端剪力便不難由平衡條件求出。有位移法返回9§8—3位移法的基本未知量和基本結構在位移法中，基本未知量是各結點的角位移和線位移。計算時，應首先確定獨立的角位移和線位移數(shù)目。

(1)獨立角位移數(shù)目的確定由于在同一結點處，各桿端的轉角都是相等的，因此每一個剛結點只有一個獨立的角位移未知量。在固定支座處，其轉角等于零為已知量。至于鉸結點或鉸支座處各桿端的轉角，由上節(jié)可知，它們不是獨立的，可不作為基本未知量。

1.位移法的基本未知量這樣，結構獨立角位移數(shù)目就等于結構剛結點的數(shù)目。例如圖示剛架123456獨立的結點角位移數(shù)目為2。位移法返回10

(2)獨立線位移數(shù)目的確定在一般情況下，每個結點均可能有水平和豎向兩個線位移。但通常對受彎桿件略去其軸向變形，其彎曲變形也是微小的，于是可以認為受彎直桿的長度變形后保持不變，故每一受彎直桿就相當于一個約束，從而減少了結點的線位移數(shù)目，故結點只有一個獨立線位移(側移)。例如(見圖a）1234564、5、6三個固定端都是不動的點，結點1、2、3均無豎向位移。又因兩根橫梁其長度不變，故三個結點均有相同的水平位移△

。P△△△(a)事實上，圖(a)所示結構的獨立線位移數(shù)目，與圖(b)所示鉸結體系的線位移數(shù)目是相同的。因此，實用上為了能簡捷地確定出結構的獨立線位移數(shù)目，可以(b)將結構的剛結點(包括固定支座)都變成鉸結點(成為鉸結體系),則使其成為幾何不變添加的最少鏈桿數(shù)，即為原結構的獨立線位移數(shù)目(見圖b)。位移法返回11

2.位移法的基本結構用位移法計算超靜定結構時，每一根桿件都視為一根單跨超靜定梁。因此，位移法的基本結構就是把每一根桿件都暫時變?yōu)橐桓鶈慰绯o定梁(或可定桿件)。通常的做法是，在每個剛結點上假想地加上一個附加剛臂(僅阻止剛結點轉動),同時在有線位移的結點上加上附加支座鏈桿(阻止結點移動)。123456例如(見圖a)(a)又例如(見圖b)(b)234567共有四個剛結點，結點線位移數(shù)目為二，基本未知量為六個?；窘Y構如圖所示。1基本未知量三個。位移法返回12位移基本未知量的確定舉例1314例8-1：試用位移法計算圖(a)所示連續(xù)梁，并作梁的彎矩圖。

(a)15解1)確定位移法基本未知量(圖(b))

2)寫出各桿端彎矩

(b)16(c)(e)(d)得:173)由結點B的平衡條件建立位移法方程見圖(e)4)計算桿端總彎矩

18作梁的彎矩圖，見圖(f)

(f)19例8-2、試用位移法分析圖示剛架4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）固端彎矩Mi

j計算線性剛度i，設EI0=1，則梁20柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。21(4)解方程(相對值)(5)桿端彎矩及彎矩圖梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M圖22§8—4位移法的典型方程及計算步驟

以圖(a)所示剛架為例，闡述在位移法中如何建立求解基本未知量的方程及具體計算步驟。PL1234EI=常數(shù)基本未知量為:Z1、Z2Z1Z2基本結構如圖(b)所示。(a)(b)基本結構1234=Z1Z2?R1=0=0PR1—附加剛臂上的反力矩R2—附加鏈桿上的反力據(jù)疊加原理,=Z1?R211234?134P?R2P12234則有R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ2位移法返回23R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一個下標表示該反力的位置，第二個下標表示引起該反力的原因。設以r11、r12分別表示由單位位移所引起的剛臂上的反力矩，以r21、r22分別表示由單位位移所引起的鏈桿上的反力，則上式可寫成r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0(8—5)這就是求解Z1、Z2的方程，即位移法基本方程(典型方程)。它的物理意義是：基本結構在荷載等外因和結點位移的共同作用下，每一個附加聯(lián)系中的附加反力矩或反力都應等于零(靜力平衡條件)。對于具有n個獨立結點位移的剛架，同樣可以建立n個方程：r11Z1+···+r1iZi+···+r1nZn+R1P=0····················································ri1Z1+···+ri

iZi+···+ri

nZn+RiP=0····················································rn1Z1+···+rniZi+···+rnnZn+RnP=0(8—6）位移法返回24r11Z1+···+r1iZi+···+r1nZn+R1P=0····················································ri1Z1+···+ri

iZi+···+ri

nZn+RiP=0····················································rn1Z1+···+rniZi+···+rnnZn+RnP=0(8—6）在上述典型方程中，rii

稱為主系數(shù)，rij(i≠j)稱為副系數(shù)。RiP稱為自由項。主系數(shù)恒為正，副系數(shù)和自由項可能為正、負或零。據(jù)反力互等定理副系數(shù)rij=rji

(i≠j)。由于在位移法典型方程中，每個系數(shù)都是單位位移所引起的附加聯(lián)系的反力(或反力矩)，顯然，結構剛度愈大，這些反力(或反力矩)愈大，故這些系數(shù)又稱為結構的剛度系數(shù)。因此位移法典型方程又稱為結構的剛度方程，位移法也稱為剛度法。位移法返回25以及載荷作用下的彎矩圖為了計算典型方程中的系數(shù)和自由項，可借助于表8—1，繪出基本結構在和MP圖：1342134213424i2i3i?PMP圖系數(shù)和自由項可分為兩類：附加剛臂上的反力矩r11、r12、和R1P；????是附加鏈桿上的反力r21、r22和R2P。r21r22R2P(a)(b)(c)可分別在圖(a)、(b)、(c)中取結點1為隔離體，111???r113i4i?r12?0??R1P?0?由力矩平衡方程∑M1=0求得：r11=7i,R1P=。r11=7i,R1P=，對于附加鏈桿上的反力，可分別在圖(a)、(b)、(c）中用截面法割斷兩柱頂端，取柱頂端以上橫梁部分為隔離體，由表10—1查出桿端剪力，121212??0????0由方程∑X=0求得r21=－R2P=－P/2r21r22R2PR1Pr12r11位移法返回26將系數(shù)和自由項代入典型方程(8—5)有解此方程得所得均為正值，說明Z1、Z2與所設方向相同。最后彎矩圖由疊加法繪制：例如桿端彎矩M31為M圖1234PM圖繪出后，Q、N圖即可由平衡條件繪出(略）。位移法返回27最后對內力圖進行校核，包括平衡條件和位移條件的校核。其方法與力法中所述一樣，這里從略。結論由上所述，位移法的計算步驟歸納如下：

(1)確定結構的基本未知量的數(shù)目(獨立的結點角位移和線位移)，并引入附加聯(lián)系而得到基本結構。

(2)令各附加聯(lián)系發(fā)生與原結構相同的結點位移，根據(jù)基本結構在荷載等外因和各結點位移共同作用下，各附加聯(lián)系上的反力矩或反力均應等于零的條件，建立位移法的基本方程。

(3)繪出基本結構在各單位結點位移作用下的彎矩圖和荷載作用下(或支座位移、溫度變化等其它外因作用下)的彎矩圖，由平衡條件求出各系數(shù)和自由項。

(4)結算典型方程，求出作為基本未知量的各結點位移。

(5)按疊加法繪制最后彎矩圖。位移法返回28

例8—3圖示剛架的支座A產生了水平位移a、豎向位移b=4a及轉角=a/L，試繪其彎矩圖。ABCEI2EILLA′a⌒解：基本未知量Z1(結點C轉角)；Z1基本結構如圖示；ABC?Z1基本結構建立位移法典型方程：r11Z1+R1△=0為計算系數(shù)和自由項，作和M△圖(設EI/L=i)ABC?Z1=1b8i4i3iABCM△圖基本結構由于支座位移產生的固端彎矩(由表8—1)查得20i16i12i???8i3i由求得r11=8i+3i=11i由M△圖求得???12i16iR1△=16i+12i=28i?R1△r11R1△位移法返回29將上述系數(shù)和自由項代入典型方程，便有11iZ1+28i=0解得Z1=剛架的最后彎矩圖為ABCABC?Z1=18i4i3iABCM△圖20i16i12i例如：MAC=4i×+20i=M圖?R1△位移法返回30例8-4、試用位移法分析圖示剛架。（1）基本未知量（2）基本體系計算桿件線性剛度i，設EI0=1，則4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Z

1Z2Z3Z1、Z2、Z331Δ

1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程r11Z1+r12Z2+

r13Z3+R1P=0

r21Z1+r22Z2+

r23Z3+R2P=0

r31Z1+r32Z2+

r33Z3+R3P=0

（4）計算系數(shù)：r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33321.53r11=3+4+3=10r12=r21=2r13=r31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ

2=134221r22=4+3+2=9r23=r32=?32Δ

3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8r33=(1/6)+(9/16)=35/48r31=r13=–9/8r32=r23=–1/2（5）計算自由項：R1P、R2P、R3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40(1/12)×20×52=41.7R1P=40–41.7=–1.7R2P=41.7R3P=033（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求結點位移：（8）繪制彎矩圖ABCDFEM圖（kN?m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核結點及局部桿件的靜力平衡條件的校核。34例5-1用位移法計算下列結構。EI=常數(shù)。

位移法基本方程是：圖?附加剛臂的反力矩和附加鏈桿反力應為零的平衡條件35為計算系數(shù)及自由項，繪出單位位移下的彎矩圖和荷載彎矩圖36繪出如右：37繪出如右：38解算基本方程，求出作為基本未知量的各結點位移。將剛度系數(shù)和自由項代入基本方程，則有:解得：，

39按疊加法繪制最后彎矩圖，即40擴展141擴展242擴展343§8—5直接由平衡條件建立位移法基本方程用位移法計算超靜定剛架時，需加入附加剛臂和鏈桿以取得基本結構，由附加剛臂和鏈桿上的總反力矩(或反力)等于零的條件，建立位移法的基本方程。我們也可以不通過基本結構，直接由平衡條件建立位移法基本方程。舉例說明如下1234PLiii取結點1，由∑M1=0及截取兩柱頂端以上橫梁部分，由∑X=0(見圖)得??M12M13112←←Q24Q13∑M1=M13+M12=0(a)∑X=Q13+Q24=0(b)由轉角位移方程及表10—1得將以上四式代入式(a)、(b)得這與§8—4節(jié)所建立的典型方程完全一樣，可見，兩種方法本質相同，只是處理方法上不同。位移法返回44例1

用位移法計算一個未知數(shù)排架。45按疊加法繪制最后彎矩圖，即按剛度分46擴展47擴展48

擴展

試求圖示剛架的彎矩圖，忽略橫梁的軸向變形。

柱AB、CD、EF是平行的，因而變形時橫梁只有水平移動，橫梁在變形前后保持平行（圖b），所以各柱頂?shù)乃轿灰剖窍嗟鹊?，只有一個獨立的線位移

。

各柱的線剛度為：4950例

2用位移法計算橫梁剛度無窮大一個未知數(shù)

剛架，繪彎矩圖。EI=常數(shù)。

因為橫梁彎曲剛度無窮大，結點處不產生轉動，故本題只有一個線位移未知數(shù)，如圖b所示。5152用疊加法作彎矩圖，即按平衡條件繪出5354擴展引用上面的解題結果,有5556擴展57例3剛度無窮大兩個線位移剛架為計算系數(shù)項和自由項，繪出單位荷載彎矩圖，如下：5859解方程，求出線位移。略按疊加法繪出最后彎矩圖。即略60

超靜定結構當支座產生已知的位移(移動或轉動)時，結構中一般會引起內力。用位移法計算時,基本未知量和基本方程以及作題步驟都與荷載作用時一樣,不同的只有固端力一項，例如由荷載產生的固端彎矩改變成由已知位移產生的固端彎矩，具體計算通過下面的例題來說明。

圖示剛架的A支座產生了水平位移a、豎向位移b=4a及轉角試繪其彎矩圖。

例5支座移動的計算(一個未知數(shù))61

根據(jù)基本結構在及支座位移的共同影向下（圖b），附加剛臂上的反力矩為零的平衡條件，可建立典型方程為計算系數(shù)及自由項，繪出單位彎矩圖及已知位移的彎矩圖。在這里我們將已知位移的彎矩圖由疊加法繪出如下：6263解得：剛架的最后彎矩圖為64判斷題已

知

圖

示

結

構

的

支

座

C順

時

針

轉

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弧

度

，

引

起

結

點

D

產

生

角

位

移

弧

度

（

逆

時

針

）

。圖b為圖a的彎矩圖，判斷是否正確？

位移法基本方程為：由題意可知：65繪出圖及圖，再由疊加法可得最后彎矩圖，可驗證所給結果是正確的。66對稱結構的內力與變形特點

對稱結構在對稱荷載作用下產生對稱的內力與變形；對稱結構在反對稱荷載作用下產生反對稱的內力與變形。

半結構的選取原則

利用結構對稱性取半結構(或四分之一結構)進行計算時,其半結構分開處的約束支座是根據(jù)其變形條件來確定的。

§8-6對稱性的利用671.奇數(shù)跨對稱結構（1）對稱荷載（圖a）在對稱軸上的截面C沒有轉角和水平位移，但可有豎向位移。計算中所取半邊結構如圖（b）所示，C處取為滑動支承端。68（2）反對稱荷載（圖a）在對稱軸上的截面C沒有豎向位移，但可有轉角和水平位移。計算中所取半結構如圖（b）所示，C處取為鏈桿支座。692.偶數(shù)跨對稱結構（1）對稱荷載（圖a）在對稱軸上，截面C沒有轉角和水平位移，柱CD沒有彎矩和剪力。因為忽略桿CD的軸向變形，故半邊結構如圖（b）所示，C端為固定支座。70

（2）反對稱荷載（圖a）

在對稱軸上，柱CD沒有軸力和軸向位移。但有彎矩和彎曲變形?？蓪⒅虚g柱分成兩根柱，分柱的抗彎剛度為原柱的一半，這樣問題就變?yōu)槠鏀?shù)跨的問題（圖b），其中在兩根分柱之間增加一跨，但其跨度為零。半邊結構如圖c所示。因為忽略軸向變形的影響，C處的豎向支桿可取消，半邊結構也可按圖d選取。中間柱CD的總內力為兩根分柱內力之和。由于兩根分柱彎矩、剪力相同，故總彎矩總剪力為分柱彎矩和剪力的兩倍。又由于兩根分柱的軸力絕對值相同而正負號相反，故總軸力為零。71例題72用位移法計算圖a所示結構，繪制彎矩圖。E=常數(shù)。根據(jù)正對稱性質，圖a中AB桿不會彎曲而只受軸力。在這里我們又不計軸向變形影響，故將AB桿看作軸向剛度無限的鏈桿，則A，B兩點的豎向位移相同，簡化分析半結構如圖b所示。本題有兩個獨立未知數(shù)，位移法基本方程為例題73按疊加法

74757677

溫度改變時的計算

溫度改變時的計算，與支座位移時的計算基本相同。這里只作一點補充：除了桿件內外溫差使桿件彎曲，因而產生一部分固端彎矩外；溫度改變時桿件的軸向變形不能忽略，而這種軸向變形會使結點產生已知位移，從而使桿端產生相對橫向位移，又產生另一部分固端彎矩。具體計算通過下面的例題來說明。例如圖示剛架EI=常數(shù)，橫梁溫度均勻升高,兩柱溫度不變化，試繪彎矩圖。

78按疊加法繪制最后彎矩圖，即7980補充1剪力靜定桿帶來的簡化例題181桿AB稱為剪力靜定桿，即用靜力平衡條件可直接求得其剪力。

判斷下面哪些結構是屬于剪力靜定結構？82本題特點是：（1）

柱AB的B端雖然有側向線位移，但柱AB的剪力是靜定的，稱它為剪力靜定柱。（2）

橫梁的兩端無垂直于桿軸的相對線位移，稱它為無側移桿?？紤]到上述特點，所以在確定位移法的獨立未知量時，可以不把柱端的側移作為獨立的位移未知量，從而使原來兩個未知量（一個角位移和一個線位移）減為一個角位移未知量，使計算得以簡化。在選取位移法的基本結構時，只須在剛結點B處附加阻止轉動的剛臂約束即可，如圖b所示。在該基本結構中，由于B端無側向約束，柱子兩端有相對線位移，而無角位移，所以AB柱的B端可視為滑動支座，下端為固定支座，從而滿足剪力靜定的要求。各橫梁的梁端雖然有水平位移，但對桿的內力無影響。因此各橫梁可視為一端固定另一端鏈桿支座（圖b）。例題28384例題385868788補充2

有側移的斜柱剛架對于有側移的斜柱剛架在計算上的特點是，確定基本結構發(fā)生線位移時與平行柱的區(qū)別,見圖a和圖b。

對于圖a，在單位線位移作用下，兩平行柱的兩端相對線位移數(shù)值相同，且都等于1，而橫梁僅平行移動，其兩端并無相對線位移，故不彎曲。而對于圖b則就不同了，在單位線位移作用下，桿AB、CD的垂直線位移不等于1，水平桿BC的兩端產生了相對線位移，發(fā)生彎曲變形。因此，在非平行柱剛架中，在單位線位移作用下：（1）柱與橫梁發(fā)生彎曲；（2）各桿端垂直于桿軸線的相對線位移亦各不相同。89

如何確定對于斜柱剛架在當結點發(fā)生線位移時各桿兩端的相對線位移？以下面圖所示一具有斜柱剛架發(fā)生結點線位移的情為例來說明。

應該注意到，各桿的線位移雖然不同，但它們是互相有關的。確定當結點發(fā)生單位線位移時各桿兩端的相對線位移，可采用作結點位移圖的方法。首先將剛結點改為鉸，然后觀察在單位線位移條件下各結點的新位置及由此所產生的線位移數(shù)值方向。90圖a：結點A的線位移垂直于桿AB，其水平位移分量為1。由此可確定B的新位置。當機構ABCD作機動時，桿CD將繞鉸D轉動，故鉸C的位移必垂直于桿CD。于是在的作用下，桿BC將最終占有位置。桿件BC的運動可分解為平移（從BC到）與轉動（從到）。因此，各桿的相對線位移為（圖b）：作結點位移圖的方法（圖b）如下所述：91

只需直接作出三角形即可。其方法為：任選一點O代表位移為零的點，如A、D點，稱為極點。按適當比例繪出，然后作OB垂直于桿AB；再過B點作桿BC的垂線；又過O點作桿CD的垂線，便得出交點C。在此圖中，向量OB、OC即代表B、C點的位移，而AB、BC、CD則代表AB桿、BC桿、CD桿兩端的相線位移。則圖b稱為結點位移圖。例5-392由圖d得：桿AB兩端相對線位移為，桿CD兩端相對線位移由圖f得：由圖g得：93由圖h得由圖i得由圖j得94將各系數(shù)和自由項代如位移法基本方程，得按疊加法繪最后彎矩圖95試求圖a所示帶斜桿結構的系數(shù)項和自由項

位移法基本方程:

解：圖a所示結構雖然橫梁剛度無限大，但柱子不平行，橫梁不僅能產生線位移，也能產生轉動，也即橫量作平面運動。在小變形情況下結點位移如圖b、c所示，獨立的位移只有一個線位移，因此可取圖d作為基本結構。9697圖示結構在作用下的單位彎矩圖中正確的為：

A.;B.;C.;;

D.。（）98試用位移法計算圖示結構，并作彎矩圖。EI=常數(shù)。99100101補充3聯(lián)合法用位移法計算圖a所示結構，繪制彎矩圖。E=常數(shù)。

聯(lián)合法：上述這種求解同一問題時，聯(lián)合應用力法、位移法求解的方法，稱為聯(lián)合法。102103注意點：用聯(lián)合法求解對稱結構時，每個半結構的計算簡圖的求解是很方便的，但從半結構的結果，利用對稱性和進行疊加時必須細心，否則將前功盡棄。104補充4混合法

前面介紹的超靜定結構的解法，即使是聯(lián)合法，對每一個計算簡圖選用基本結構未知量都是相同性質的，但對圖示結構，不管是用位移法或力法，其位知數(shù)數(shù)目均7個，手算是不可能的。

分析：左邊“主廠房”部分一次超靜定，但獨立位移有5個。由邊“附屬廠房”部分獨立位移只有2個，而超靜定次數(shù)為六次。右邊部分以位移作未知量，混合用兩類未知量的總未知量只有3個，如圖所示。下面說明混合法解題思路105此例說明,解決問題不能墨守成規(guī)，要深刻理解和掌握力學概念、原理和方法，在此基礎上靈活應用知識，才能既好又省地解決問題。106107

思考題及習題課位移法如何體現(xiàn)結構力學應滿足的三個方面條件（平衡條件、幾何條件與物理條件）？答：位移法的兩種計算方法（基本結構法和直接列桿端力建立平衡方程）都是按兩大步驟進行，即單桿分析和整體分析。單桿分析是利用轉角位移方程（式5-1及式5-3，第202頁）和固端力表（表5-1）得到桿端力和桿端位移和荷載的關系，或得到單位、荷載彎矩圖；整體分析得到位移法的基本方程。在整體分析中，確定位移法的基本未知量，考慮了交于結點的諸桿端的變形條件，而基本方程反應了平衡條件。因此，整體分析是在結點處考慮了上述三個方面條件。108109110111由每柱的平衡條件求得桿端剪力為:

位移法基本方程：取柱頂以上橫梁部分為隔離體（圖c），由水平方向的平衡條件，即112單桿分析113

鉸結端角位移和滑動支座線位移為什么不作為位移法的基本未知量？