廣東省東莞市市樟木頭職業(yè)高級中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣東省東莞市市樟木頭職業(yè)高級中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x－3y的最小值為（

）A.-5 B.-1 C.5 D.11參考答案：A【分析】作可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)所表示的直線確定最優(yōu)解，解得結(jié)果.【詳解】作出可行域，當(dāng)直線經(jīng)過點時，.選A.【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.2.已知向量，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知，，則B等于（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：A【分析】根據(jù)正弦定理求得，根據(jù)大邊對大角的原則可求得B.【詳解】由正弦定理得：

本題正確選項：A【點睛】本題考查正弦定理解三角形，易錯點是忽略大邊對大角的特點，屬于基礎(chǔ)題.4.已知點A(1，1),B（-1，）直線過原點，且與線段AB有交點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.設(shè)，若，則的值是（

）A.

B．

C.

D．參考答案：D略6.在等差數(shù)列{an}中，已知與的等差中項是15，，則（

）A.24 B.18 C.12 D.6參考答案：A【分析】由題得的方程組求解即可，得的通項公式，則可求【詳解】由題得,解得,則故答案為:A【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，熟記公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7.已知函數(shù)f（x）=1﹣（x＞0），若存在實數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域為（a，b）時，值域為（ma，mb），則實數(shù)m的取值范圍是(

)A． B． C．且m≠0 D．參考答案：B【考點】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】首先判斷出給出的函數(shù)的單調(diào)性，然后由定義域和值域列式，進(jìn)一步說明關(guān)于x的一元二次方程由兩個不等的實根，結(jié)合原題給定的區(qū)間可得m的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=1﹣（x＞0）為定義域內(nèi)的增函數(shù)，要使y=f（x）的定義域為（a，b）時，值域為（ma，mb），則，即a，b為方程的兩個實數(shù)根．整理得mx2﹣x+1=0有兩個不等的實數(shù)根．∴m≠0．則△=（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜．又由原題給出的區(qū)間可知m＞0．∴實數(shù)m的取值范圍是．故選B．【點評】本題考查了函數(shù)的定義域及其值域，考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值域的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程的判別式與根的關(guān)系，是中檔題．8.已知數(shù)列{an}滿足：，則{an}的前10項和為A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用裂項求和法求得數(shù)列前10項的和.【詳解】依題意，故.【點睛】本小題主要考查裂項求和法求數(shù)列的前項和，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)在實數(shù)集上是減函數(shù)，則 （

）A、

B、

C、 D、參考答案：B10.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為

(

)

(A)(0，1)

(B)(1，2)

(C)(2，3)

(D)(3，4)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實數(shù)滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值等于______．參考答案：5略12.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是__________．參考答案：(0,2)本題主要考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)．因為可知當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，即實數(shù)的取值范圍是．故本題正確答案為．13.正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于____．參考答案：45o

14.如圖，正方體，為直線上一動點，則下列四個命題：①三棱錐的體積為定值；②直線與平面所成角的大小為定值；③二面角的大小為定值；④異面直線與所成角的大小為定值.其中真命題的編號是

.（寫出所有真命題的編號）參考答案：①③④略15.設(shè)，不等式對滿足條件的，恒成立，則實數(shù)m的最小值為________．參考答案：【分析】將不等式對滿足條件的，恒成立，利用，轉(zhuǎn)化為不等式對滿足條件的恒成立，即不等式對滿足條件的恒成立，然后用二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值即可?！驹斀狻恳驗?，所以，因為不等式對滿足條件的，恒成立，所以不等式對滿足條件的恒成立，即不等式對滿足條件的恒成立，令，所以，，所以實數(shù)m的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，還考查了換元的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16.函數(shù)的最大值為________.參考答案：

解析：17.（5分）已知a∈{x|（）x﹣x=0}，則f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）的減區(qū)間為

．參考答案：（3，+∞）考點： 函數(shù)的值域．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 本題可以先將已知集合時行化簡，得到參數(shù)a的取值范圍，再求出函數(shù)f（x）的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)律，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，得到本題結(jié)論．解答： ∵（）x﹣x=0∴（）x=x，當(dāng)x＞1時，，方程（）x=x不成立，當(dāng)x=1時，方程（）x=x顯然不成立，當(dāng)x＜0時，方程（）x＞0，方程（）x=x不成立，當(dāng)x=0時，方程（）x=x顯然不成立，∴0＜x＜1．∵函數(shù)f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）中，x2﹣2x﹣3＞0，∴x＜﹣1或x＞3．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時，y=x2﹣2x﹣3單調(diào)遞減，f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（3，+∞）時，y=x2﹣2x﹣3單調(diào)遞增，f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）單調(diào)遞減．∴f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）的減區(qū)間為（3，+∞）．故答案為：（3，+∞）．點評： 本題考查了指數(shù)方程、函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（Ⅰ）求f(x)最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值為，最小值為0試題分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)基本公式將函數(shù)式整理化簡為，函數(shù)的周期為；（Ⅱ）由定義域得到的取值范圍，借助于三角函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的最大值和最小值試題解析：（Ⅰ）的最小正周期（Ⅱ）考點：1．三角函數(shù)式化簡；2．三角函數(shù)性質(zhì)19.（本題滿分12分）化簡參考答案：原式=

略20.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，，，且.（1）設(shè)，求證：{cn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{bn}的通項公式.參考答案：（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先根據(jù)和項與通項公式得遞推關(guān)系式，再根據(jù)等比數(shù)列定義證明，（2）先根據(jù)等比數(shù)列通項公式求，得，代入得數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）因為

①，所以

②，②?①得，所以，所以，所以，所以是等比數(shù)列．因為首項，，所以，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，所以．故當(dāng)時，．又代入上式也符合，所以．【點睛】給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.21.（12分）已知函數(shù)f（x）=x+（m為正的常數(shù)），它在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)變化是：在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增．其第一象限內(nèi)的圖象形如一個“對號”．請使用這一性質(zhì)完成下面的問題．（1）若函數(shù)g（x）=2x+在（0，1]內(nèi)為減函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0與直線l：y=kx相交于P、Q兩點，點M（0，b）且MP⊥MQ．求當(dāng)b∈[1，+∞）時，k的取值范圍．參考答案：考點： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的圖象．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)．進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解得正數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由MP⊥MQ，可得：kMP?kMQ=﹣1，進(jìn)而由韋達(dá)定理，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，解得k的取值范圍．解答： （1）由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)．依題意，，故得a≥2∴a的取值范圍是[2，+∞）．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）∵M(jìn)P⊥MQ，∴kMP?kMQ=﹣1∴，即x1x2+（y1﹣b）（y2﹣b）=0又y1=kx1，y2=kx2∴x1x2+（kx1﹣b）（kx2﹣b）=0，即（*）由得：（1+k2）x2﹣2（1+k）x+1=0由△=[2（1+k）]2﹣4（1+k2）=8k＞0得k＞0①且，代入（*）中得即．由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，在b∈[1，+∞）時為增，故．∴，得k≥1②由①②得k≥1．點評： 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線垂直的充要條件，是函數(shù)與解析幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．22.（13分）定義在區(qū)間上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，當(dāng)x∈時，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在的表達(dá)式；（Ⅱ）求方程f（x）=的解；（Ⅲ）是否存在常數(shù)m的值，使得|f（x）﹣m|＜2在x∈上恒成立；若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：考點： 函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的零點．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （Ⅰ）當(dāng)x∈時，由圖象可求得f（x），由y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，則f（x）=f（﹣x），當(dāng)時，易求f（﹣x）；（Ⅱ）分﹣，兩種情況進(jìn)行討論可解方程；（Ⅲ）由條件得：m﹣2＜f（x）＜m+2在x上恒成立，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決，而最值可借助圖象求得；解答： （Ⅰ）x∈，A=2，，∴T=2π，ω=1，且f（x）=2sin（x+φ）過（﹣，2），∵0＜φ＜π，∴﹣φ=，φ=，f（x）=2sin（x+），當(dāng)時，﹣，f（﹣x）=2sin（﹣x+）=2sin（π﹣x）=2sinx，而函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x