“有限元法基礎(chǔ)及應(yīng)用”補充講義-2008

PAGEPAGE17“有限元法基礎(chǔ)及應(yīng)用”補充講義一、彈簧單元與彈簧系統(tǒng)彈簧單元分析1）單元描述彈性系統(tǒng)受力平衡時，從中隔離出一個典型彈簧單元進行分析。單元節(jié)點編號：節(jié)點位移（基本未知量）：單元節(jié)點力（單元在節(jié)點處受到的作用力）：已知彈簧的物理特性：其中：2）建立彈簧單元的有限元特性方程考慮彈簧元在系統(tǒng)中變形平衡時的條件：力平衡條件和彈簧物理特性，得到下列方程：（1-1）（1-1）寫成矩陣形式：（1-2）（1-2）（1-3）上式的矩陣符號形式為：（1-3）方程（1-2）或（1-3）稱為彈簧單元的剛度方程，反映了單元特性，即節(jié)點力~節(jié)點位移之間的關(guān)系。式（1-3）中：3）彈簧單元剛度方程的討論a.對稱、奇異、主對角元素恒正。b.剛度矩陣元素的大小等于彈簧剛度。從對方程（1-2）分析的分析可以看出，矩陣中某列的各元素代表列序號對應(yīng)節(jié)點有單位位移，其它節(jié)點位移為零時，單元各節(jié)點上的節(jié)點力；某行的各元素分別是單元各節(jié)點的位移對行序號對應(yīng)節(jié)點的節(jié)點力貢獻系數(shù)。因此，矩陣中任意一個元素的物理意義是：節(jié)點的位移對節(jié)點的節(jié)點力貢獻系數(shù)，或者節(jié)點有單位位移，其他節(jié)點位移為零時，節(jié)點上的節(jié)點力。c.單元剛度方程可以求解嗎？為什么？不可以。單元剛度方程僅僅表征一個單元的力學特性，單元水平上無法確定單元節(jié)點位移。只有把系統(tǒng)中所有單元特性集成后，在系統(tǒng)水平上才可能求出所有未知位移和反力。單元水平上，若已知單元的節(jié)點位移，可由剛度方程求出所有單元節(jié)點力分量。若節(jié)點力已知，單元節(jié)點位移不能確定，單元可作剛體運動。這也是單元剛度矩陣奇異性的物理解釋。2、彈簧系統(tǒng)整體分析求解1）建立系統(tǒng)節(jié)點平衡方程以右圖的一個彈簧系統(tǒng)為例，研究如何由單元特性集成系統(tǒng)特性并建立對系統(tǒng)進行求解的控制方程。（1-4）由前面得到的彈簧單元的剛度方程公式（1-2），分別寫出2個彈簧單元的特性方程如下：（1-4）單元1（1-5）單元2（1-5）（注：右端節(jié)點力分量的下標為單元節(jié)點的局部編號，上標是單元編號）下面用兩種方法裝配單元特性、建立系統(tǒng)控制方程，并在特定條件下求解。（1）由系統(tǒng)中節(jié)點平衡條件導出：系統(tǒng)處于平衡時，考慮各節(jié)點（1，2，3節(jié)點）的平衡條件：由于節(jié)點受到的外載荷與節(jié)點受到與其連接的所有單元對其作用力（單元節(jié)點力的反作用力）之和等于零。因此有下列（節(jié)點）平衡方程（組）：（1-6）（1-6）把單元特性（1-4），（1-5）代入（1-6）得到：（1-7）（1-7）寫成矩陣形式：（1-8）（1-8）或矩陣符號形式：（1-9）（1-9）方程（1-8），（1-9）是系統(tǒng)節(jié)點平衡方程，該方程建立了離散系統(tǒng)的外載荷與節(jié)點位移之間的關(guān)系，是求解節(jié)點位移的控制方程。方程（1-9）中：——彈簧系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣——系統(tǒng)節(jié)點位移列陣——系統(tǒng)節(jié)點載荷列陣討論：a．K有那些特點和性質(zhì)？b．上述方程能求解嗎？（2）由單元剛度方程疊加導出將單元1，2的剛度方程（1-4），（1-5）進行增廣（擴大到系統(tǒng)規(guī)模）：（1-11）（1-10）（1-11）（1-10）注意對單元剛度方程擴大規(guī)模并不改變其表達的關(guān)系。將上述兩個方程疊加，得到：（1-12）（1-12）將系統(tǒng)中節(jié)點的力平衡條件（1-6）代入上式，就得到與（1-8）相同的系統(tǒng)節(jié)點平衡方程。上述兩種建立系統(tǒng)平衡方程的方法都考慮了1）單元特性集成；2）系統(tǒng)中節(jié)點外載荷與系統(tǒng)的節(jié)點力（系統(tǒng)內(nèi)力）的平衡。因此方程（1-8）的本質(zhì)是系統(tǒng)中所有節(jié)點的力平衡關(guān)系，其左邊是由節(jié)點位移表示的系統(tǒng)節(jié)點力，右邊是節(jié)點所受外載荷。不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)總剛度矩陣可以直接由單元剛度矩陣擴大后疊加而得到。總剛度矩陣元素的含義可以由方程（1-12）分析出。2）系統(tǒng)平衡方程求解假如邊界條件為：（1-13）（1-13）則節(jié)點平衡方程（1-8）化為：（1-14）（1-14）將該方程展開為兩部分。第2，3個方程變化為：（1-15）（1-15）第1個方程變化為：（1-16）（1-16）先后解方程（1-15）、（1-16）得：（1-17）（1-17）（1-18）（1-18）從而解出了系統(tǒng)的未知位移和未知反力，并可以進一步求彈簧力。3、例題圖示一個3彈簧的系統(tǒng)。求：（a）系統(tǒng)總剛度矩陣（b）節(jié)點2，3的位移（c）節(jié)點1、4的反力（d）彈簧2中的力解：（a）分別寫出各單元剛度矩陣：參照方程（1-10）、（1-11）中單元剛度矩陣的擴大，用疊加法直接得到系統(tǒng)總剛度矩陣：該總剛度矩陣的特點：對稱性、奇異性、稀疏、非零元素沿主對角線呈帶狀分布。（b）參考方程（1-8），利用求出的總剛度矩陣，寫出系統(tǒng)節(jié)點平衡方程：（1-19）（1-19）考慮到位移邊界條件：則平衡方程組（1-19）第2，3方程化為：求解上式得：（c）由（1-19）的方程1，4得1，4節(jié)點的反力：（d）彈簧2內(nèi)力為：（拉力）（拉力）對圖示彈簧系統(tǒng)，用擴大-疊加法求其總剛度矩陣。并對圖示彈簧系統(tǒng)，用擴大-疊加法求其總剛度矩陣。并根據(jù)節(jié)點平衡方程的含義，直接按行或列寫出總剛度矩陣。二、桿單元目標：通過桿單元特性方程的建立，初步掌握有限元法單元分析的過程和原理。了解桿系結(jié)構(gòu)分析的原理。1、等截面桿單元及其剛度矩陣1）單元描述L—桿長A—截面積E—彈性模量——桿單元位移————桿單元位移——桿單元應(yīng)變——桿單元應(yīng)力應(yīng)變—位移關(guān)系：（2-1）應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：單元節(jié)點位移：單元節(jié)點力：（2-2）2)單元特性方程（1）直接法導出桿單元特性采用材料力學基本知識對單元進行力學分析。桿單元伸長量：（2-3）桿應(yīng)變：（2-4）桿應(yīng)力：（2-5）桿內(nèi)力：（2-6）桿的軸向剛度：（2-7）由于軸向變形模式下，桿單元的行為與彈簧單元相同，因此可比照彈簧單元的剛度方程（1-2），考慮到（2-7），直接寫出桿單元的剛度方程：（2-8）（2-9）寫成符號形式：（2-9）因此桿單元剛度矩陣為：（2-10）（2-10）（2）公式法導出桿單元特性a.在單元上定義近似位移場把一個單元上的位移分布假設(shè)為簡單多項式函數(shù)。有限元法中用插值法通過節(jié)點位移分量作為待定參數(shù)來構(gòu)造單元位移函數(shù)。對圖2-1的桿單元，方便起見引入局部坐標:由于該桿單元只有2個未知節(jié)點位移分量，因此單元上假設(shè)的簡單位移函數(shù)采用一次多項式，故對單元的節(jié)點位移進行線性插值。（2-11）節(jié)點的插值函數(shù)如下：（2-11）因此單元上近似位移函數(shù)的插值形式為：（2-12）（2-12）該位移函數(shù)也稱為單元的位移模式，這里是線性位移模式。式（2-11）中的插值函數(shù)又稱為形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)。（2-13）式（2-12）寫成矩陣形式為：（2-13）上式中稱為單元的形函數(shù)矩陣。式（2-13）是有限元法中最重要的關(guān)系式之一，通過該式把單元上的近似位移分布函數(shù)用節(jié)點位移來表示，為進行單元層次上的分析打下了基礎(chǔ)。b.單元應(yīng)變和單元應(yīng)力由桿一維變形的應(yīng)變——位移方程（2-1）和單元的位移函數(shù)（2-13）求出單元的應(yīng)變分布和節(jié)點位移的關(guān)系：（2-14）式中：（2-15）稱為單元的位移——應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，簡稱應(yīng)變矩陣。由一維桿的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系（2-2），得單元應(yīng)力和單元節(jié)點位移的關(guān)系：（2-16）c.用彈性體的虛位移原理導出桿單元剛度方程變形體的虛位移：假想在彈性體上發(fā)生的，滿足位移許可條件（內(nèi)部連續(xù)，邊界協(xié)調(diào)）的微小、任意位移場。可以理解為某個位移場的微小擾動（變分）。虛位移的特征：1）假想的，與真實位移無關(guān)；2）幾何上是許可的：連續(xù)、協(xié)調(diào)；3）微小、任意大小。虛位移原理：彈性體受力平衡時，若發(fā)生虛位移，則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能（應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛功）。下面把虛位移原理應(yīng)用在所研究的桿單元上。定義桿單元的虛位移：節(jié)點虛位移單元虛位移單元虛應(yīng)變那么，節(jié)點力（外力）虛功為：單元虛應(yīng)變能：對桿單元應(yīng)用虛功原理，那么上述節(jié)點力（外力）虛功等于虛應(yīng)變能，因此有下列關(guān)系：（2-17）考慮到的任意性，從上式可以得到：（2-18）上式就是桿單元的剛度方程，桿單元的剛度矩陣為：（2-19）其導出原理和計算方法可推廣到其他類型的實體單元。具體計算式如下：（2-20）（2-20）顯然，與前面直接法得到的單元剛度矩陣（2-8）式相同。3）桿單元討論單元自由度只有拉伸、壓縮變形的桿單元在局部坐標系下是一維問題，其2節(jié)點單元只有2個節(jié)點位移分量——單元有2個自由度，單元剛度方程、剛度矩陣為2階。單元剛度矩陣元素的物理意義：設(shè)單元剛度方程為：（2-22）（2-21）令：（2-22）（2-21）（2-23）上式代入（2-21）得到：（2-23）上式表明，單元剛度矩陣第一列元素就是當單元節(jié)點位移滿足式（2-22）時的單元節(jié)點力分量。如果能設(shè)法求出此時的節(jié)點力，就得到第一列的剛度元素。一般地，單元剛度矩陣的第i列元素表示當維持單元的第i個自由度位移為１，其它自由度位移為0時，單元上的節(jié)點力分量?？梢杂么朔椒ㄖ苯忧髼U單元的剛度矩陣元素。單元剛度矩陣性質(zhì)單元剛度矩陣對稱、奇異、主元恒正。4）例題例1求圖示桿中的應(yīng)力。解：結(jié)構(gòu)劃分為２個桿單元。根據(jù)桿單元剛度矩陣公式（2-10）分別寫出兩個單元的剛度矩陣為：（2-24）參照前面彈簧系統(tǒng)的分析方法，裝配系統(tǒng)的有限元方程（節(jié)點平衡方程）如下：（2-24）考慮結(jié)構(gòu)的約束和載荷，方程（2-24）化為：（2-25）（2-25）上式的第2個方程為：（2-26）（2-26）求解該方程后得到系統(tǒng)的位移解：（2-27）（2-27）計算單元應(yīng)力：單元1單元25）幾點提示例中單元應(yīng)力的計算采用了材料力學中的方法,與采用有限元單元應(yīng)力公式的結(jié)果相同，請驗證。錐形桿，單元截面積可以用平均值，從而轉(zhuǎn)化為類似本題的問題求解。求應(yīng)力之前需要先求出節(jié)點位移，因此本方法稱為有限元位移法。如果桿上受連續(xù)分布的軸向載荷或節(jié)點之間受軸向集中載荷，分析時可以按照虛功相等的原則先把單元上的載荷等效移置到節(jié)點上。2、二維空間桿單元（平面桁架單元）2-D空間中建立桿單元的基本思路是根據(jù)前面在桿的一維局部坐標系下建立的單元特性方程通過坐標變換，轉(zhuǎn)換為2-D總體坐標系下節(jié)點分量的方程，同時得到坐標變換后的單元剛度矩陣。而系統(tǒng)整體分析的原理和方法與一維情況相同。（1）單元向量坐標變換上圖為一個桿單元及其局部坐標系與2-D總體坐標的關(guān)系。節(jié)點的位移分量和節(jié)點力分量在2-D局部坐標系x-y下描述，桿節(jié)點i具有2個自由度：位移分量為，；節(jié)點力分量為，其中只有x方向的位移分量和節(jié)點力分量用來描述單元特性。節(jié)點上的位移和節(jié)點力向量在2-D局部坐標系與2-D總體坐標系下的變換如下：上述變換的矩陣形式：（2-28）（2-28）（2-29）矩陣符號形式：（2-29）其中：（2-30）（2-30）上式中稱為向量的坐標變換矩陣，是單元特性坐標變換的基本元素。顯然是正交矩陣，即：（2-31）（2-31）因此，由（2-28）可得單元節(jié)點位移向量的坐標變換式如下：（2-32）（2-32）（2-33）符號形式：（2-33）其中（2-34）（2-34）同理也可得到單元節(jié)點力的坐標變換式：（2-35）（2）2-D空間剛度矩陣下面導出單元剛度方程和單元剛度矩陣的坐標變換式。已知桿單元在一維局部坐標系下的剛度方程為：（2-36）（2-36）把該方程擴充到2-D局部坐標系x-y下的4階形式：（2-37）（2-37）符號形式：（2-38）（2-38）引入單元向量變換式（2-33），（2-35）得：（2-39）（2-39）（2-40）考慮到變換矩陣的正交性，得到：（2-40）（2-41）或?qū)懗桑海?-41）（2-42）其中：（2-42）式（2-41）就是2-D總體坐標系下桿單元剛度方程，是二維空間桿單元剛度矩陣，由（2-42）可計算出：（2-43）（2-43）（3）單元應(yīng)力由單元應(yīng)力計算公式（2-16）和位移向量變換式（2-32）得：即：（2-44）（2-44）（4）思考與討論如何從二維空間總體坐標系下桿單元剛度方程（2-41），根據(jù)剛度矩陣元素的物理意義，直接求出總體坐標系下桿單元剛度矩