2023屆湖北省咸寧市重點(diǎn)中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.2.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競(jìng)賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī):555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī),運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.123.雙曲線(xiàn)C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為,則雙曲線(xiàn)C的焦距為()A.3 B. C.6 D.4.已知橢圓,直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.5.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種6.在中,為邊上的中點(diǎn),且,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù)是上的減函數(shù),當(dāng)最小時(shí),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.9.復(fù)數(shù)().A. B. C. D.10.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最小值為()A. B. C. D.11.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.16012.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則的值是______.14.設(shè)f(x)=etx(t>0),過(guò)點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)Q的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.15.甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽,有兩人獲獎(jiǎng).在比賽結(jié)果揭曉之前,四人的猜測(cè)如下表,其中“√”表示猜測(cè)某人獲獎(jiǎng),“×”表示猜測(cè)某人未獲獎(jiǎng),而“○”則表示對(duì)某人是否獲獎(jiǎng)未發(fā)表意見(jiàn).已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的,那么兩名獲獎(jiǎng)?wù)呤莀______.甲獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)丙獲獎(jiǎng)丁獲獎(jiǎng)甲的猜測(cè)√××√乙的猜測(cè)×○○√丙的猜測(cè)×√×√丁的猜測(cè)○○√×16.雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)為,以為直徑作圓,為雙曲線(xiàn)右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為,若,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),是橢圓上異于,的一點(diǎn),且,所在直線(xiàn)斜率之積為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn),分別交橢圓于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)).當(dāng)直線(xiàn),的斜率之和為定值時(shí),直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理.18.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線(xiàn):與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于,兩點(diǎn),已知,求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).19.(12分)如圖,在平面四邊形中,,,.(1)求;(2)求四邊形面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)為何值時(shí),軸為曲線(xiàn)的切線(xiàn);(2)用表示、中的最大值,設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21.(12分)已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿(mǎn)足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對(duì)任意的恒成立.22.(10分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程即可求出雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng),進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸,所以,得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績(jī)大于等于90的人數(shù),的取值為成績(jī)大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).3、A【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線(xiàn)則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程,以及之間的關(guān)系,識(shí)記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),判斷出直線(xiàn)過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出,判斷出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn),所以.直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線(xiàn)的離心率,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.5、B【解析】

分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A(yíng)、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A(yíng)、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A(yíng)、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.6、A【解析】

由為邊上的中點(diǎn),表示出,然后用向量模的計(jì)算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點(diǎn),,故選:A【點(diǎn)睛】在三角形中,考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.7、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù),列出不等式組,求得,所以當(dāng)最小時(shí),,之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)出圖形,數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù),則有,可得,所以當(dāng)最小時(shí),,函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下,而函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn),數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為.故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題目.8、D【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,所?.綜上;故選D.9、A【解析】試題分析:,故選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.10、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當(dāng)時(shí),,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時(shí),,故,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問(wèn)題的解法,涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.11、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】

令,進(jìn)而求得,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來(lái)表示和是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由題得,解不等式得解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解析】

計(jì)算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過(guò)Q的切線(xiàn)斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時(shí),S′>0,當(dāng)0<t<1時(shí),S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目分為四種情況,然后對(duì)四種情況依次進(jìn)行分析,觀(guān)察四人所猜測(cè)的結(jié)果是否沖突,最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知,若甲猜測(cè)正確,則乙,丙,丁猜測(cè)錯(cuò)誤,與題意不符,故甲猜測(cè)錯(cuò)誤;若乙猜測(cè)正確,則依題意丙猜測(cè)無(wú)法確定正誤,丁猜測(cè)錯(cuò)誤;若丙猜測(cè)正確,則丁猜測(cè)錯(cuò)誤;綜上只有乙,丙猜測(cè)不矛盾,依題意乙,丙猜測(cè)是正確的,從而得出乙,丁獲獎(jiǎng).所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的合情推理題,能否根據(jù)“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過(guò)推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,是簡(jiǎn)單題.16、【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點(diǎn),所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點(diǎn),所以易知:即.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線(xiàn)中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見(jiàn)二級(jí)結(jié)論,此題可以簡(jiǎn)化計(jì)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)【解析】

(1),再由,解方程組即可;(2)設(shè),,由,得,由直線(xiàn)MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,代入計(jì)算即可.【詳解】(1)由題意知:,又,且解得,,∴橢圓方程為,(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,設(shè),,由,得.則,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)的方程為,,,其中,∴,由,得,所以∴當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)也過(guò)定點(diǎn)綜上所述,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問(wèn)題,在處理直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的大題時(shí),一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解,本題是一道中檔題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析;定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時(shí)滿(mǎn)足∴∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.19、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得,結(jié)合正弦和角公式求得,即可求得,進(jìn)而由三角函數(shù)(2)設(shè)根據(jù)余弦定理及基本不等式,可求得的最大值,結(jié)合三角形面積公式可求得的最大值,即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】(1),則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得,則,則,所以.(2)設(shè)在中由余弦定理可得,代入可得,由基本不等式可知,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),由三角形面積公式可得,所以四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦和角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用,余弦定理及不等式式求最值的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,然后根據(jù)可解得實(shí)數(shù)的值;(2)令,,然后對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合和的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線(xiàn)與軸相切于點(diǎn),則,即,解得.所以,當(dāng)時(shí),軸為曲線(xiàn)的切線(xiàn);(2)令,,則,,由,得.當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù).,.①當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);③當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn);④當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);⑤當(dāng),即當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,當(dāng)或時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線(xiàn)方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想的應(yīng)用,屬難題.21、(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.【解析】

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