土木工程測量-第五章測量誤差的基本知識

第五章測量誤差土木工程測量教學(xué)課件的基本知識通過前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，對測量過程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識。本章集中講述有關(guān)測量誤差的基本知識，包括衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)、誤差傳播定律和直接觀測平差。5測量誤差的基本知識對未知量進(jìn)行測量的過程，稱為觀測。測量所獲得的數(shù)值稱為觀測值。進(jìn)行多次測量時，觀測值之間往往存在差異。這種差異實質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值與其真實值(簡稱為真值)之間的差異，這種差異稱為測量誤差或觀測誤差?！?.1

觀測誤差概述5.1.1觀測及觀測誤差觀測觀測值用Li代表觀測值，X代表真值，則有

Δi=Li-X (5-1)式中Δi就是觀測誤差，通常稱為真誤差，簡稱誤差。真誤差一般情況下，只要是觀測值必然含有誤差。5測量誤差的基本知識觀測誤差來源于三個方面：①儀器、工具的精密程度；②觀測者視覺鑒別能力和技術(shù)水平；③觀測時外界條件的好壞。三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果的精度。觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測；觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。§5.1

觀測誤差概述5.1.2觀測誤差的來源觀測條件一般認(rèn)為，在測量中人們總希望測量誤差越小越好，甚至趨近于零。在實際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測量目的，允許含有一定程度的誤差根據(jù)性質(zhì)不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種，即

Δ=Δ1+Δ2+Δ3(5-2)§5.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法⑴粗差——是一種大級量的觀測誤差，例如超限的觀測值中往往含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失誤引起的誤差。產(chǎn)生的原因：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障等。含有粗差的觀測值都不能使用。在觀測中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)粗差，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進(jìn)行必要的重復(fù)觀測，通過多余觀測條件，采用必要而又嚴(yán)密的檢核、驗算等。Δ=Δ1+Δ2+Δ3(5-2)⑵系統(tǒng)誤差——在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測時，符號和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性，對測量結(jié)果影響很大?！?.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法在測量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：①在觀測方法和觀測程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響。如角度測量中盤左、盤右觀測，水準(zhǔn)測量中限制前后視視距差等。②找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的改正。如對距離觀測值進(jìn)行尺長改正、溫度改正和傾斜改正，對豎直角進(jìn)行指標(biāo)差改正等。③將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。有的系統(tǒng)誤差既不便計算改正，又不能采用一定的觀測方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部管水準(zhǔn)器軸不垂直于儀器豎軸的誤差對水平角的影響，對于這類系統(tǒng)誤差，則只能按規(guī)定的要求對儀器進(jìn)行精確檢校，并在觀測中仔細(xì)整平將其影響減小到允許范圍內(nèi)。⑶偶然誤差——在一定的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測時，符號和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。§5.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的和難以控制的，如觀測者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等。不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境也會產(chǎn)生偶然誤差。粗差可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測值中占主導(dǎo)地位從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值180°(表5-1)§5.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法§5.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個數(shù)和頻率相近，最大誤差不超過16″。統(tǒng)計大量的實驗結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：特性1

在一定觀測條件下的有限個觀測中，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值。(范圍)特性2

絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。(絕對值大小)特性3

絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。(符號)特性4

當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差平均值的極限為0，即(抵償性) (5-3)本章此處及以后“[]”表示取括號中下標(biāo)變量的代數(shù)和，即∑Δi=[Δ](5-3)§5.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法用圖示法可以直觀地表示偶然誤差的分布情況。用表5-1的數(shù)據(jù)，以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間dΔ的比值為縱坐標(biāo)，如圖5-1所示。這種圖稱為頻率直方圖?！?.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法可以設(shè)想，當(dāng)誤差個數(shù)n→∞，同時又無限縮小誤差區(qū)間dΔ，圖5-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。該曲線稱為誤差分布曲線。其函數(shù)式為：(5-4)即正態(tài)分布曲線上任一點的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)Δ的函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差大小反映觀測精度的高低，定義為：(5-5)上式可知，σ的大小決定于一定條件下偶然誤差出現(xiàn)的絕對值的大小。§5.1

觀測誤差概述5.1.3觀測誤差的分類及其處理方法在圖5-1中各矩形的面積是頻率k/n。由概率統(tǒng)計可知，頻率k/n就是真誤差出現(xiàn)在區(qū)間dΔ上的概率p(Δ)(圖5-2)，記為：(5-6)式(5-4)和式(5-6)中f(Δ)是誤差分布的概率的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)?！?.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)在相同觀測條件下，對某一量所進(jìn)行的一組觀測，對應(yīng)著同一種誤差分布，因此，這一組中的每一個觀測值，都具有同樣的精度。為了衡量觀測值的精度高低，顯然可以用前一節(jié)方法，繪出頻率直方圖或誤差分布表加以分析來衡量。但這樣做實際應(yīng)用十分不便，又缺乏一個簡單的關(guān)于精度的數(shù)值概念。這個數(shù)值應(yīng)該能反映誤差分布的密集或離散程度，即應(yīng)反映其離散度的大小，作為衡量精度的指標(biāo)。下面介紹幾種常用的衡量精度的指標(biāo)。§5.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1中誤差由式(5-5)定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，但那是理論上的表達(dá)式。在測量實踐中觀測次數(shù)不可能無限多，因此實際應(yīng)用中定義中誤差m作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)：(5-7)在式(5-4)中，當(dāng)Δ=0時，以中誤差m代替標(biāo)準(zhǔn)差σ（圖5－3）(5-4)§5.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.1中誤差因此在一組觀測值中，當(dāng)小誤差比較集中時，m1較小，則曲線形狀較陡峭，如圖5-3中f1(Δ)，表示該組觀測精度較高；f2(Δ)的曲線形狀較平緩，其誤差分布比較離散，m2較大，表明該組觀測精度低。如果令f(Δ)的二階導(dǎo)數(shù)等于0，可求得曲線拐點的橫坐標(biāo)：Δ=±σ≈±m(xù)也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標(biāo)。Δ=±σ≈±m(xù)(5-8)§5.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.2相對誤差中誤差和真誤差都是絕對誤差。在衡量觀測值精度時，單純用絕對誤差有時不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。例如，分別測量了長度為100m和200m的兩段距離，中誤差皆為±0.02m。顯然不能認(rèn)為兩段距離測量精度相同。為了客觀地反映實際精度，必須引入相對誤差的概念。相對誤差K是誤差m的絕對值與觀測值D的比值：(5-9)上式中當(dāng)m為中誤差時，K稱為相對中誤差。在距離測量中還常用往返觀測值的相對較差來進(jìn)行檢核。相對較差定義為：(5-10)相對較差是相對真誤差，它反映往返測量的符合程度?！?.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3極限誤差和容許誤差⑴極限誤差由偶然誤差的特性1可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差是衡量觀測精度的指標(biāo)，它不能代表個別觀測值真誤差的大小，但從統(tǒng)計意義來講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據(jù)式(5-4)和式(5-6)有：表示真誤差落在(-σ，+σ)內(nèi)的概率等于0.683。同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)§5.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3極限誤差和容許誤差⑴極限誤差上列三式結(jié)果的概率含義是：在一組等精度觀測值中，真誤差在±σ范圍以外的個數(shù)約占誤差總數(shù)的32%；在±2σ范圍以外的個數(shù)約占4.5%；在±3σ范圍以外的個數(shù)只占0.3%。絕對值大于3σ的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認(rèn)為±3σ是真誤差實際出現(xiàn)的極限，即3σ是極限誤差：

Δ極限=3σ (5-14)Δ極限=3σ (5-14)§5.2

衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)5.2.3極限誤差和容許誤差⑵容許誤差測量實踐中，是在極限誤差范圍內(nèi)利用容許誤差對偶然誤差的大小進(jìn)行數(shù)量限制的。在實際應(yīng)用的測量規(guī)范中，常以2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差，即

Δ容=2σ≈2m (5-15)或 Δ容=3σ≈3m (5-16)Δ容=2σ≈2m (5-15)Δ容=3σ≈3m (5-16)前者要求較嚴(yán)，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測。§5.3

誤差傳播定律前面敘述了衡量一組等精度觀測值的精度指標(biāo)，并指出在測量工作中通常以中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計算出來。例如，欲測量不在同一水平面上兩點間的距離D，可以用光電測距儀測量斜距S，并用經(jīng)緯儀測量豎直角α，以函數(shù)關(guān)系D=Scosα來推算。顯然，在此情況下，函數(shù)D的中誤差與觀測值S及α的中誤差之間，必定有一定的關(guān)系。闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。設(shè)有一般函數(shù)

Z=f(X1,X2,…，Xn) (5-17)式中X1、X2、…，Xn為可直接觀測的未知量；Z為不便于直接觀測的未知量。其中函數(shù)Z的中誤差為mZ，各獨立變量X1、X2，…Xn對應(yīng)的觀測值中誤差分別為m1,m2,…mn，如果知道了mz與mi之間的關(guān)系，就可由各變量的觀測值中誤差來推求函數(shù)的中誤差。各變量的觀測值中誤差與函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系式，稱為誤差傳播定律。Z=f(X1,X2,…，Xn) (5-17)§5.3

誤差傳播定律設(shè)xi(i=1、2、……、n)的獨立觀測值為li,其相應(yīng)的真誤差為Δxi。由于Δxi的存在，使函數(shù)Z亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差ΔZ。將(5-17)取全微分因誤差Δxi及ΔZ都很小，故在上式中，可近似用Δxi及ΔZ代替dx及dz，于是有式中 為函數(shù)f對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將xi=li代入各偏導(dǎo)數(shù)中，即為確定的常數(shù)，設(shè)則上式可寫成 ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+fnΔxn為了求得函數(shù)和觀測值之間的中誤差關(guān)系式，設(shè)想對各xi進(jìn)行了k次觀測，則可寫出k個類似上式的關(guān)系式ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+fnΔxn§5.3

誤差傳播定律將上式各式等號兩邊平方后，再相加，得上式兩端各除以k§5.3

誤差傳播定律設(shè)對各xi的觀測值li為彼此獨立的觀測，則ΔxiΔxj當(dāng)i≠j時，亦為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性4可知，上式末項當(dāng)k→∞時趨近于零，即故根據(jù)中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）的定義（5-5)，上式可寫成當(dāng)k為有限值時，可寫為：§5.3

誤差傳播定律上式即為計算函數(shù)中誤差的一般形式。應(yīng)用上式時，必須注意：各觀測值是相互獨立的變量，而當(dāng)li為未知量xi的直接觀測值時，可認(rèn)為各li之間滿足相互獨立的條件。利用它不難導(dǎo)出表5-2所列簡單函數(shù)的誤差傳播定律。(5-26)§5.4

等精度直接觀測平差除了標(biāo)準(zhǔn)實體，自然界中任何單個未知量(如某一角度，某一長度等)的真值都是無法確知的，只有通過重復(fù)觀測，才能對其作出可靠的估計。在測量中，重復(fù)測量的目的還在于提高觀測成果的精度，同時也為了發(fā)現(xiàn)和消除粗差。重復(fù)測量形成了多余觀測，加之觀測值必然含有誤差，這就產(chǎn)生了觀測值之間的矛盾。為消除矛盾，必須依據(jù)一定的數(shù)據(jù)處理準(zhǔn)則，采用適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ǎ瑢τ忻艿挠^測值加以必要而又合理的調(diào)整，給以適當(dāng)?shù)母恼瑥亩蟮糜^測值的最佳估值，同時對觀測進(jìn)行質(zhì)量評估。人們把這一數(shù)據(jù)處理的過程稱作測量平差。對一個未知量的直接觀測值進(jìn)行平差，稱為直接觀測平差。據(jù)觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。平差結(jié)果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值)，最接近其真值，稱為“最或是值”。測量平差直接觀測平差最或是值§5.4

等精度直接觀測平差在等精度直接觀測平差中，觀測值的算術(shù)平均值是未知量的最或是值。即 x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n (5-27)5.4.1求最或是值x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n (5-27)觀測值與最或是值之差，稱為“最或是誤差”，用符號vi(i=1,2,…n)來表示。

Vi=li-x(i=1,2,…n) (5-28)將n個最或是誤差vi相加，有：

[v]=[l]-nx=0 (5-29)即最或是誤差的總和為0。式(5-29)可以用作計算中的檢核，若vi值計算無誤，其總和必然為0。顯然當(dāng)觀測次數(shù)n→∞時，vi=Δi（真誤差）。Vi=li-x(i=1,2,…n) (5-28)[v]=[l]-nx=0 (5-29)§5.4

等精度直接觀測平差⑴觀測值中誤差由于獨立觀測中單個未知量的真值X是無法確知的，因此真誤差Δi也是未知的，所以不能直接應(yīng)用(5-7)求得中誤差。但可用有限個等精度觀測值li求出最或是值x后，再按公式(5-28)計算最或是誤差，用最或是誤差vi計算觀測值的中誤差。公式推導(dǎo)從略。5.4.2評定精度(5-34)式(5-34)是等精度觀測中用最或是誤差計算中誤差的公式?！?.4

等精度直接觀測平差⑵最或是值的中誤差設(shè)對某量進(jìn)行n次等精度觀測，觀測值為l1,l2,…，ln,中誤差為m。最或是值x

的中誤差M的計算公式推導(dǎo)如下：5.4.2評定精度根據(jù)誤差傳播定律，有：(5-35)(5-36)所以(5-37)顧及式(5-34)，算術(shù)平均值的中誤差也可表達(dá)如下：(5-38)§5.5

不等精度直接觀測平差在對某一未知量進(jìn)行非等精度觀測時，各觀測結(jié)果的中誤差也各不相同，各觀測值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可靠估值時，就不能像等精度觀測那樣簡單地取算術(shù)平均值，，因為較可靠的觀測值，應(yīng)對最后結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。不等精度觀測值的可靠性，可用稱為觀測值“權(quán)”的數(shù)值來表示?！皺?quán)”是權(quán)衡輕重的意思，觀測值的精度愈高，其權(quán)愈大。例如，對某一未知量進(jìn)行了兩組不等精度觀測，但每組內(nèi)各觀測值是等精度的。設(shè)第一組觀測了4次，其觀測值為l1、l2、l3、l4；第二組觀測了3次，觀測值為l1’、l2’、l3’。這些觀測值的可靠程度都相同，每組分別取算術(shù)平均值作為最后觀測結(jié)果，即(5-39)§5.5

不等精度直接觀測平差對于觀測值L1、L2來說，彼此是不等精度觀測，故最后結(jié)果應(yīng)為：(5-40)權(quán)只有相對意義，起作用的不是其絕對值，而是其比值，權(quán)通常用字母p表示，且恒取正值。§5.5

不等精度直接觀測平差一定的中誤差，對應(yīng)著一個確定的誤差分布，即對應(yīng)著一定的觀測條件。觀測值的中誤差愈小，其值愈可靠，權(quán)就愈大。因此，也可根據(jù)中誤差來定義觀測值的權(quán)。5.5.1權(quán)與中誤差的關(guān)系設(shè)n個不等精度觀測觀測值的中誤差分別為m1，m2，…mn，則權(quán)可以用下式來定義：其中λ可取為任意正常數(shù)。(5-42)前面所舉的例子，l1、l2、l3、l4和l1’、l2’、l3’是等精度觀測，觀測值的中誤差為m，則第1組的算術(shù)平均值L1的中誤差m1可以根據(jù)式(5-37)得：同理，可得第2組算術(shù)平均值L2的中誤差為：§5.5

不等精度直接觀測平差在式(5-42)中分別代入m1和m2，得：5.5.1權(quán)與中誤差的關(guān)系式中λ為任意常數(shù)。設(shè)λ=m2,則L1、L2的權(quán)為由上式可知，權(quán)與中誤差的平方成反比。任意選擇λ值，可以使權(quán)變?yōu)楸阌谟嬎愕臄?shù)值。L1：L2：λ=m2p1=4,p2=3§5.5

不等精度直接觀測平差5.5.1權(quán)與中誤差的關(guān)系[例5－9]對某一角度進(jìn)行了n次觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。由例5－9可知，取一測回角度觀測值之權(quán)為1，則n個測回觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故角度觀測的權(quán)與其測回數(shù)成正比。在不等精度觀測中引入“權(quán)”的概念，可以建立各觀測值之間的精度比值，以便更合理地處理觀測數(shù)據(jù)。解設(shè)一測回角度觀測值的中誤差為m，由式（5－37），算術(shù)平均值的中誤差為M＝m/n1/2。由權(quán)的定義并設(shè)λ＝m2，則一測回觀測值的權(quán)為：