2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用,會(huì)用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程。2。掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法。3。掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會(huì)利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.4。掌握簡(jiǎn)單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法．知識(shí)點(diǎn)一橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于｜F1F2|)的點(diǎn)的集合平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于|F1F2|）的點(diǎn)的集合平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的集合標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1或eq\f(y2,a2）＋eq\f(x2，b2）＝1（a>b〉0)eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝1或eq\f（y2，a2）－eq\f（x2,b2）＝1（a>0，b〉0）y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py（p>0）關(guān)系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2圖形封閉圖形無限延展,但有漸近線y＝±eq\f(b,a)x或y＝±eq\f(a，b）x無限延展,沒有漸近線變量范圍|x|≤a,｜y｜≤b或|y｜≤a，｜x|≤b|x|≥a或|y｜≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0對(duì)稱性對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心兩條對(duì)稱軸一條對(duì)稱軸頂點(diǎn)四個(gè)兩個(gè)一個(gè)離心率e＝eq\f（c,a)，且0〈e〈1e＝eq\f(c，a），且e>1e＝1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小知識(shí)點(diǎn)二橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè)P為橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a>b>0）上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且∠F1PF2＝α,則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形（如圖)．(1)焦點(diǎn)三角形的面積S＝b2taneq\f（α,2)。（2)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L＝2a＋2c.知識(shí)點(diǎn)三雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧1．由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時(shí)，最簡(jiǎn)單實(shí)用的辦法是：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0,即可得到兩條漸近線的方程．如雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0,b〉0）的漸近線方程為eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝0(a〉0，b>0），即y＝______________；雙曲線eq\f(y2,a2）－eq\f(x2，b2)＝1（a〉0，b〉0)的漸近線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0（a〉0，b〉0)，即y＝__________.2．如果雙曲線的漸近線為eq\f（x，a)±eq\f（y,b)＝0時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為__________________．知識(shí)點(diǎn)四求圓錐曲線方程的一般步驟一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形,后定式,再定量"的步驟．（1)定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置．(2)定式——根據(jù)“形"設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m〉0，n>0)．(3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大?。R(shí)點(diǎn)五三法求解離心率1．定義法:由橢圓（雙曲線）的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f（c，a)，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法．2．方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．3．幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓（雙曲線）的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀．知識(shí)點(diǎn)六直線與圓錐曲線位置關(guān)系1．直線與雙曲線、直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)應(yīng)有兩種情況:一是相切；二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行．2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識(shí)，形成了求軌跡、最值、對(duì)稱、取值范圍、線段的長(zhǎng)度等多種問題．解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，根與系數(shù)的關(guān)系以及“點(diǎn)差法”等．類型一圓錐曲線定義的應(yīng)用例1若F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9）－eq\f(y2，16）＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，且｜PF1|·|PF2｜＝32,試求△F1PF2的面積．引申探究將本例的條件|PF1|·|PF2|＝32改為｜PF1｜∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面積．反思與感悟涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決．跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓eq\f（x2，m）＋y2＝1(m〉1)和雙曲線eq\f(x2,n)－y2＝1（n〉0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2,P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則△F1PF2的形狀是（)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨m，n變化而變化類型二圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用例2（1）已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1,C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3)，2)，則C2的漸近線方程為(）A．x±eq\r(2）y＝0 B。eq\r(2）x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0（2)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f（x2，a2）－y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形,則該雙曲線的離心率是________．反思與感悟有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等問題是考試中常見的問題，只要掌握基本公式和概念,并且充分理解題意，大都可以順利解決．跟蹤訓(xùn)練2如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f（x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A。eq\r（2)B.eq\r(3）C.eq\f（3，2）D.eq\f(\r(6），2)類型三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3已知橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b〉0）上的點(diǎn)P到左，右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2eq\r(2),離心率為eq\f（\r（2）,2）.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M(0，eq\f（\r(3),7）)滿足｜MA|＝｜MB|，求直線l的斜率k的值．反思與感悟解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法：（1）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解．(2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練3如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，且eq\o(AB,\s\up6（→))與n＝(eq\r(2）,－1)共線．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．1．雙曲線x2－eq\f（y2,m)＝1的離心率大于eq\r(2）的充要條件是(）A．m>eq\f（1,2） B．m≥1C．m>1 D．m>22．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是(）A。eq\f（x2,81）＋eq\f(y2,72）＝1 B。eq\f(x2,81)＋eq\f（y2,9)＝1C.eq\f（x2,81）＋eq\f(y2，25）＝1 D.eq\f(x2，81)＋eq\f（y2，36)＝13．設(shè)橢圓eq\f(x2，m2）＋eq\f（y2，n2)＝1(m>0,n〉0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為eq\f（1,2),則此橢圓的方程為（）A。eq\f(x2，12)＋eq\f(y2,16)＝1 B。eq\f(x2，16）＋eq\f（y2,12)＝1C.eq\f（x2,48)＋eq\f(y2，64)＝1 D。eq\f(x2，64)＋eq\f(y2,48)＝14．已知點(diǎn)A（－2,3）在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為（)A.eq\f（1，2） B。eq\f（2，3)C.eq\f（3，4） D.eq\f(4,3）5．點(diǎn)P（8,1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是________________．在解決圓錐曲線問題時(shí),待定系數(shù)法，“設(shè)而不求”思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是最常用的幾種思想方法，設(shè)而不求，在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題中匠心獨(dú)具，很好地解決了計(jì)算的繁雜、瑣碎問題．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)三1．±eq\f(b，a）x±eq\f(a，b）x2。eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝λ（λ≠0)題型探究例1解由雙曲線方程eq\f(x2,9）－eq\f(y2，16）＝1,可知a＝3,b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5。由雙曲線的定義，得||PF1|－｜PF2｜|＝6，將此式兩邊平方，得｜PF1|2＋｜PF2|2－2|PF1｜·|PF2|＝36，所以|PF1｜2＋｜PF2|2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100.如圖所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1｜2＋｜PF2|2－|F1F2｜2，2｜PF1｜｜PF2｜）＝eq\f（100－100,2|PF1｜|PF2|)＝0,所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝eq\f(1，2）|PF1|·|PF2｜·sin∠F1PF2＝eq\f（1，2）×32×1＝16。引申探究解由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜PF2|＝3｜PF1｜，，|PF2｜－|PF1｜＝2a＝6，））所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（|PF1｜＝3，,｜PF2｜＝9，）)所以cos∠F1PF2＝eq\f（|PF1｜2＋|PF2|2－|F1F2|2，2｜PF1||PF2|）＝eq\f（9＋81－100,2×3×9)＝－eq\f(5，27）。所以sin∠F1PF2＝eq\f（8\r(11）,27），所以S△F1PF2＝eq\f(1，2）|PF1｜｜PF2|sin∠F1PF2＝eq\f（1，2)×3×9×eq\f（8\r(11)，27）＝4eq\r(11）.即△F1PF2的面積為4eq\r(11)。跟蹤訓(xùn)練1B［設(shè)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)．對(duì)橢圓eq\f（x2，m)＋y2＝1（m>1)，c2＝m－1，|PF1｜＋|PF2｜＝2eq\r(m），對(duì)雙曲線eq\f（x2,n)－y2＝1，c2＝n＋1,｜PF1｜－|PF2|＝2eq\r（n）,∴|PF1|＝eq\r（m)＋eq\r(n），|PF2|＝eq\r(m）－eq\r（n)，|F1F2｜2＝(2c）2＝2(m＋n)，而|PF1｜2＋|PF2|2＝2(m＋n）＝（2c）2＝｜F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，故選B.]例2(1）A（2）eq\r（6)解析(1）a＞b＞0，橢圓C1的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1，C1的離心率為eq\f(\r（a2－b2),a)，雙曲線C2的方程為eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1,C2的離心率為eq\f（\r(a2＋b2)，a).∵C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3)，2)，∴eq\f(\r（a2－b2）,a）·eq\f（\r（a2＋b2）,a）＝eq\f（\r（3)，2),∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（b,a))）2＝eq\f（1,2)，eq\f（b,a)＝eq\f(\r（2），2)，∴C2的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2）x，即x±eq\r(2）y＝0.（2）拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，又△FAB為直角三角形，則只有∠AFB＝90°,如圖,則A(－1,2)應(yīng)在雙曲線上,代入雙曲線方程可得a2＝eq\f(1，5），于是c＝eq\r(a2＋1)＝eq\r(\f(6,5)).故e＝eq\f（c，a)＝eq\r（6).跟蹤訓(xùn)練2D[由橢圓可知｜AF1｜＋|AF2｜＝4，|F1F2｜＝2eq\r（3)?！咚倪呅蜛F1BF2為矩形，∴|AF1|2＋|AF2｜2＝|F1F2｜2＝12，∴2｜AF1||AF2｜＝(｜AF1|＋|AF2|)2－（｜AF1|2＋|AF2|2）＝16－12＝4，∴（|AF2｜－｜AF1|）2＝|AF1|2＋｜AF2｜2－2｜AF1｜|AF2｜＝12－4＝8,∴｜AF2|－｜AF1|＝2eq\r（2）。因此對(duì)于雙曲線C2有a＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，∴C2的離心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f(\r(6),2）.]例3解（1）由題意知，|PF1｜＋｜PF2|＝2a＝2eq\r（2）,所以a＝eq\r（2)。又因?yàn)閑＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(2）,2），所以c＝eq\f（\r(2),2）×eq\r（2）＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1。（2)已知F2（1,0），直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為y＝k(x－1），A（x1，y1)，B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，,\f(x2，2）＋y2＝1，)）化簡(jiǎn)得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0,所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2）－2k＝eq\f(－2k，1＋2k2）.所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f（2k2,1＋2k2）,eq\f(－k，1＋2k2)）．①當(dāng)k≠0時(shí),AB的中垂線方程為y－eq\f（－k，1＋2k2)＝－eq\f（1，k）（x－eq\f（2k2,1＋2k2）)，因?yàn)閨MA｜＝｜MB|，所以點(diǎn)M在AB的中垂線上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得，eq\f(\r(3),7)＋eq\f(k,1＋2k2）＝eq\f（2k,1＋2k2），即2eq\r(3）k2－7k＋eq\r（3）＝0，解得k＝eq\r(3）或k＝eq\f(\r（3)，6)；②當(dāng)k＝0時(shí)，AB的中垂線方程為x＝0,滿足題意．所以斜率k的取值為0，eq\r（3)或eq