第三章線性系統(tǒng)時(shí)域分析法 第6講

3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算理解誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的概念掌握典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算方法和計(jì)算結(jié)果熟悉減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能是我們分析系統(tǒng)、評(píng)價(jià)系統(tǒng)和改善系統(tǒng)時(shí)所用的三類重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)穩(wěn)定是前提?？刂葡到y(tǒng)的性能

動(dòng)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差的不可避免性

摩擦，不靈敏區(qū)，零位輸出等非線性因素

輸入函數(shù)的形式不同(階躍、斜坡、或加速度)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（1）穩(wěn)態(tài)誤差的分類原理性穩(wěn)態(tài)誤差和結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差原理性穩(wěn)態(tài)誤差：控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入的作用類型和形式所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差：控制系統(tǒng)由于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，稱為結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差(附加穩(wěn)態(tài)誤差)。給定信號(hào)或擾動(dòng)信號(hào)三種典型外作用元件的不靈敏、零點(diǎn)漂移、老化及機(jī)械間隙、摩擦一、誤差和穩(wěn)態(tài)誤差給定穩(wěn)態(tài)誤差(由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差)和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差(由擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差)系統(tǒng)的性質(zhì)不同兩種誤差在穩(wěn)態(tài)性能分析的地位不同：

隨動(dòng)系統(tǒng)要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。恒值系統(tǒng)需要分析輸出量在擾動(dòng)作用下所受到的影響，因而用擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義

圖控制系統(tǒng)框圖輸出的實(shí)際值

輸出的希望值

在實(shí)際系統(tǒng)中是可以量測(cè)的

(真值很難得到)如果，輸出量的希望值，即為輸入量。由圖可得誤差傳遞函數(shù)輸入端定義：輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差為作用誤差。輸出端定義：輸出端定義：理想輸出值與實(shí)際輸出值的差值為系統(tǒng)誤差。－輸出量的理想值兩種誤差之間的關(guān)系兩種誤差的比較

從輸入端定義的誤差在實(shí)際的物理系統(tǒng)中可以測(cè)量，便于實(shí)施控制，具有一定的物理意義；從輸出端定義的誤差在實(shí)際的物理系統(tǒng)中有時(shí)無法測(cè)量(主要指理想輸出)，因此只具有數(shù)學(xué)意義。公式條件：的極點(diǎn)均位于S左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）輸入形式結(jié)構(gòu)形式開環(huán)傳遞函數(shù)

給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號(hào)的能力來進(jìn)行系統(tǒng)分類是必要的3.6.2系統(tǒng)類型終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差。類型3.6.2系統(tǒng)類型令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷系統(tǒng)類型：(1)看開環(huán)傳遞函數(shù)分母極點(diǎn)為零的個(gè)數(shù)；(2)看誤差傳函的零點(diǎn)為零的個(gè)數(shù)。,)1()1()()(113+P+P=-==mnSTSSKsHsGjnjiminnt注意：系統(tǒng)類型與系統(tǒng)的階數(shù)的區(qū)別令系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算通式則可表示為分別討論階躍、斜坡和加速度函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差情況)()()()(00==nnSKsHsGSKsHsGlim)]([lim010+=?+?nnSKsRSessss階躍信號(hào)輸入令

所以，根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差通式和Kp，有Staticpositionerrorconstant要求對(duì)于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)1)()(lim1)()(1)(lim0000+=+=+=??pssssKRsGsHRsGsHsSRe知：由式(1)令)()(lim0=?sGsHKsplim)]([lim010+=?+?nnSKsRSessss0型系統(tǒng)：1、0型系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，ess越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。結(jié)論2、具有單位負(fù)反饋的1型系統(tǒng)可以準(zhǔn)確跟蹤階躍輸入信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差為0。要準(zhǔn)確跟蹤階躍輸入信號(hào)，必須采用1型及以上系統(tǒng)。step(feedback(tf(1,conv([10],[11])),1))step(feedback(tf(1,[11]),1))step(feedback(tf([21],conv([100],[11])),1))——靜態(tài)速度誤差系數(shù)將R(s)=1/s2代入ess斜坡信號(hào)輸入

0型系統(tǒng)：1型系統(tǒng)：1型以上系統(tǒng)：2、具有單位負(fù)反饋的1型系統(tǒng)可以跟隨斜坡輸入，但有一定的誤差(穩(wěn)態(tài)速度誤差)。結(jié)論3、具有單位負(fù)反饋的2型或2型以上的系統(tǒng)可以準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號(hào)穩(wěn)態(tài)誤差為0。1、0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，不能跟蹤斜坡輸入信號(hào)，最后誤差為∞。要準(zhǔn)確跟蹤速度輸入信號(hào)，必須采用2型及以上系統(tǒng)?！铀俣日`差系數(shù)將R(s)=1/s3代入ess加速度信號(hào)輸入

0型系統(tǒng)：1型系統(tǒng)：2型以上系統(tǒng)：2型系統(tǒng)：結(jié)論3、具有單位負(fù)反饋的3型或3型以上的系統(tǒng)可以準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差為0。2、具有單位負(fù)反饋的2型系統(tǒng)可以跟隨加速度輸入信號(hào)，但有一定的誤差(穩(wěn)態(tài)加速度誤差)。要準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入信號(hào)，必須采用3型及以上系統(tǒng)。1、0型和1型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，不能跟蹤加速度輸入信號(hào)，最后誤差為∞。響應(yīng)時(shí)間為5s時(shí)的響應(yīng)曲線（從圖中可以看出3型系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的能力很強(qiáng)）系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號(hào)之間的關(guān)系型

別

靜態(tài)誤差系數(shù)

階躍輸入

)(1)(tRtr×=斜坡輸入

Rttr=)(

加速度輸入

2)(2Rttr=

n

pK

vK

aK

1PssKRe+=VssKRe=

assKRe=

0

K

0

0

)1(KR+

∞

∞

Ⅰ

∞

K

0

0

KR

∞

Ⅱ

∞

∞

K

0

0

KR

Ⅲ

∞

∞

∞

00

0減小或消除誤差的措施：增加開環(huán)增益

K

、提高系統(tǒng)的型別

。如果系統(tǒng)承受的輸入信號(hào)是多種典型信號(hào)的組合由疊加原理知穩(wěn)態(tài)誤差至少選用2型系統(tǒng)，否則穩(wěn)態(tài)誤差為∞。選擇高型別系統(tǒng)可以較準(zhǔn)確地跟蹤輸入信號(hào)，但在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能要求上不易滿足。例1已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求輸入為r(t)=2+2t+t2時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(1)列勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)特征式為：由勞斯表知系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)增益K=0.1注意要化成尾1形式系統(tǒng)型別υ=2當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(2)求穩(wěn)態(tài)誤差例2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求位置誤差系數(shù)Kp、速度誤差系數(shù)Kv、加速度誤差系數(shù)Ka。解：開環(huán)增益系統(tǒng)型別υ=1所以：Kp=∞，Ka=0利用靜態(tài)誤差系數(shù)求解穩(wěn)態(tài)誤差的前提：（1）系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的；（2）輸入信號(hào)必須是三種典型信號(hào)（階躍信號(hào)、速度信號(hào)、加速度信號(hào)）或是它們的線性組合。靜態(tài)誤差系數(shù)定量描述了系統(tǒng)跟蹤不同形式輸入信號(hào)（三種典型輸入信號(hào)）的能力，但求得的是系統(tǒng)的終值誤差，不能表示穩(wěn)態(tài)誤差隨時(shí)間的變化規(guī)律；當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為其他形式的函數(shù)時(shí)，靜態(tài)誤差系數(shù)不能使用；研究t趨于無窮理論上有意義，實(shí)際上沒有太大意義。為此引入動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的概念

動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法能夠表示誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律。

一般地將在s＝0的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開

則3.6.3動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)

對(duì)上式求拉氏反變換令——稱為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)則其中：C0——?jiǎng)討B(tài)位置誤差系數(shù)；C1——?jiǎng)討B(tài)速度誤差系數(shù)；C2——?jiǎng)討B(tài)加速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差與動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)，輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)的穩(wěn)態(tài)分量有關(guān)。說明：（1）“動(dòng)態(tài)”是描述ess(t)的變化規(guī)律，與瞬態(tài)分量不同（2）用求出的是穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的計(jì)算：（1）按定義計(jì)算（2）用長(zhǎng)除法3.6.4擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差負(fù)載力矩的變化、放大器的零點(diǎn)漂移、電網(wǎng)電壓波動(dòng)和環(huán)境溫度的變化等，這些都會(huì)引起穩(wěn)態(tài)誤差。擾動(dòng)不可避免它的大小反映了系統(tǒng)抗干擾能力的強(qiáng)弱。

擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差控制對(duì)象

控制器干擾信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)擾動(dòng)輸入作用下的傳函：擾動(dòng)輸入作用下的輸出：擾動(dòng)誤差：擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差：如果擾動(dòng)是單位階躍函數(shù)，則在擾動(dòng)作用點(diǎn)以前的系統(tǒng)前向通路環(huán)節(jié)G1(s)的放大系數(shù)(傳遞函數(shù))越大，則由一定擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。擾動(dòng)位置不同引起的誤差可能不同如果在G1(s)或H(s)中包含有積分環(huán)節(jié)，則擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為0。結(jié)論：例3控制系統(tǒng)如圖所示，R(s)=R0/s,N(s)=n0/s，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：在干擾作用下的輸出：系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，對(duì)階躍輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。在干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：3.6.5減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動(dòng)點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通路增益在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)采用串級(jí)控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)采用復(fù)合控制方法增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動(dòng)作用點(diǎn)之前系統(tǒng)前向通路增益

1、減小由給定信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差(增大K)；2、減小由擾動(dòng)信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差(增大K1)。

R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)控制器G1(s)的放大系數(shù)擾動(dòng)誤差阻尼振蕩在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)R(s)-B(s)+N(s)C(s)E(s)在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)比較兩個(gè)系統(tǒng)，在單位階躍輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差。閉環(huán)回路提高穩(wěn)態(tài)精度如果穩(wěn)態(tài)增益G0（0）