2017-2018版高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。2。掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷(證明）函數(shù)單調(diào)性的方法。3.能利用導(dǎo)數(shù)求不超過三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．知識點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系思考觀察下列各圖，完成表格內(nèi)容函數(shù)及其圖像切線斜率k正負(fù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)單調(diào)性正［1,＋∞)上單調(diào)______R上單調(diào)________負(fù)(0,＋∞）上單調(diào)______（0，＋∞）上單調(diào)______(－∞，0）上單調(diào)______梳理一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a,b)上(1)如果f′（x）>0，則f(x)在該區(qū)間上是增加的．（2）如果f′(x）<0，則f(x）在該區(qū)間上是減少的．導(dǎo)數(shù)值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢函數(shù)的單調(diào)性>0____0____角____單調(diào)____<0____0____角____單調(diào)____知識點(diǎn)二函數(shù)的變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系思考我們知道導(dǎo)數(shù)的符號反映函數(shù)y＝f（x）的增減情況，怎樣反映函數(shù)y＝f(x)增減的快慢呢?能否從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化的快慢呢？梳理一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí),函數(shù)的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．類型一原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系例1已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f′（x)的圖像可能是圖中的（)反思與感悟（1）對于原函數(shù)圖像，要看其在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在此區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)值大于零．在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則在此區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)值小于零．根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)可判定導(dǎo)函數(shù)圖像．（2）對于導(dǎo)函數(shù)的圖像可確定原函數(shù)的增減區(qū)間及增減快慢．跟蹤訓(xùn)練1已知y＝f′（x)的圖像如圖所示，則y＝f(x）的圖像最有可能是如圖所示的(）類型二單調(diào)區(qū)間的求解及單調(diào)性證明命題角度1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2求f（x)＝3x2－2lnx的單調(diào)區(qū)間．反思與感悟求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間的步驟（1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域．（2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x)．(3）解不等式f′(x）>0，函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為增函數(shù)．（4）解不等式f′（x）<0,函數(shù)在定義域內(nèi)的解集上為減函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)f(x）＝eq\f（ex,x－2）的單調(diào)區(qū)間．命題角度2證明函數(shù)的單調(diào)性例3證明函數(shù)f（x）＝eq\f（lnx,x）在區(qū)間（0,2）上是單調(diào)遞增函數(shù)．反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一般步驟(1)構(gòu)造函數(shù):F(x)＝f(x）－g(x）．(2）求導(dǎo)：F′(x）＝f′（x）－g′（x)．（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性．（4)若F(x）在區(qū)間上的最小值大于等于0,則f(x）≥g（x）；若F(x）在區(qū)間上的最大值小于等于0，則f(x）≤g（x）．跟蹤訓(xùn)練3證明：函數(shù)f（x）＝eq\f(sinx,x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2），π))上是減少的．類型三含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例4若函數(shù)f（x）＝kx－lnx在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是________．引申探究試求函數(shù)f(x）＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間．反思與感悟(1)討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，通常歸結(jié)為求含參數(shù)不等式的解集的問題，而對含有參數(shù)的不等式要針對具體情況進(jìn)行討論，但始終注意定義域?qū)握{(diào)性的影響以及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)．（2）利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個(gè)基本思路①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′（x)≥0（或f′（x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝"時(shí)是否滿足題意;②先令f′(x）〉0(或f′(x)<0），求出參數(shù)的取值范圍后,再驗(yàn)證參數(shù)取“＝”時(shí)f（x）是否滿足題意．(3)恒成立問題的重要思路①m≥f（x）恒成立?m≥f（x）max；②m≤f(x)恒成立?m≤f(x）min。跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)＝x2＋2alnx.（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2)若函數(shù)g(x）＝eq\f（2,x)＋f（x）在［1，2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．f(x)＝（x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（－∞,2) B．(0,3）C．（1,4） D．(2,＋∞)2．函數(shù)y＝f(x）在定義域(－eq\f（3,2）,3)內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如圖所示，記y＝f（x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′（x）,則不等式f′(x)≤0的解集是（)A．[－eq\f（1,3），1]∪[2，3）B．[－1，eq\f(1，2）]∪［eq\f（4，3)，eq\f（8,3）]C．（－eq\f（3，2）,eq\f(1,2)）∪［1，2]D．（－eq\f（3，2),－1）∪［eq\f(1，2)，eq\f（4,3)]∪［eq\f(8,3)，3]3．若函數(shù)f（x)＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）上是增加的，則m的取值范圍是(）A．m≥eq\f（4,3) B．m>eq\f（4，3)C．m≤eq\f（4，3) D．m<eq\f(4,3）4．若函數(shù)y＝f（x）＝a(x3－x）的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3),3）,\f(\r（3）,3））)，則a的取值范圍是________．5．已知a>0且a≠1，證明：函數(shù)y＝ax－xlna在(－∞，0)上是減少的．1．導(dǎo)數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)附近變化的快慢程度．2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟:(1）確定函數(shù)f（x)的定義域;(2）求導(dǎo)數(shù)f′(x）;（3）在函數(shù)f（x)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）>0和f′(x）〈0；（4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考正遞增正正遞增負(fù)遞減負(fù)負(fù)遞減負(fù)負(fù)遞減梳理(2)>銳上升遞增〈鈍下降遞減知識點(diǎn)二思考如圖所示,函數(shù)y＝f(x)在（0，b）或（a,0）內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,圖像“陡峭”，在(b,＋∞）或（－∞，a）內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，圖像“平緩”．題型探究例1C[由函數(shù)y＝f(x）的圖像的增減變化趨勢判斷函數(shù)y＝f′（x）的正、負(fù)情況如下表：x(－1，b）（b，a)(a,1)f(x)f′(x)－＋－由表可知函數(shù)y＝f′(x)的圖像，當(dāng)x∈（－1，b）時(shí)，函數(shù)圖像在x軸下方;當(dāng)x∈(b，a)時(shí)，函數(shù)圖像在x軸上方；當(dāng)x∈（a，1）時(shí),函數(shù)圖像在x軸下方．故選C.］跟蹤訓(xùn)練1C［由f′(x)>0（f′（x）<0)的分界點(diǎn)判斷原函數(shù)在此分界點(diǎn)兩側(cè)的圖像的上升和下降趨勢．由已知可得x的取值范圍和f′(x）的正、負(fù),f（x)的增減變化情況如下表所示:x(－∞，0）（0，2)(2，＋∞）f′（x）＋－＋f（x)由表可知f(x）在（－∞，0)上是增加的，在（0，2)上是減少的，在(2，＋∞)上是增加的，滿足條件的只有C，故選C。]例2解f(x）＝3x2－2lnx的定義域?yàn)椋?，＋∞)．f′（x)＝6x－eq\f(2,x）＝eq\f（23x2－1，x)＝eq\f（2\r（3）x－1\r(3)x＋1,x)，由x>0，解f′（x）>0，得x〉eq\f（\r(3），3).由x<0，解f′（x)<0，得0〈x<eq\f（\r(3),3）.∴函數(shù)f(x)＝3x2－2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\f（\r(3）,3)，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，eq\f（\r(3)，3))．跟蹤訓(xùn)練2解函數(shù)f（x)的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（2，＋∞)．f′(x)＝eq\f(exx－2－ex，x－22)＝eq\f（exx－3，x－22）.因?yàn)閤∈（－∞，2）∪(2，＋∞)，所以ex〉0，（x－2）2〉0.由f′(x）〉0,得x>3,所以函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,＋∞)；由f′（x)〈0,得x<3。又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，2）∪(2，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，2）和（2，3）．例3證明由題意，得f′（x)＝eq\f(\f(1,x）·x－lnx,x2）＝eq\f（1－lnx，x2).∵0〈x<2，∴l(xiāng)nx<ln2<1,1－lnx>0，∴f′(x)＝eq\f（1－lnx,x2)>0.根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,可得函數(shù)f(x)＝eq\f（lnx，x）在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3證明f′(x)＝eq\f（xcosx－sinx,x2),又x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2），π))，則cosx<0,所以xcosx－sinx<0，所以f′(x)〈0，所以f(x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π）)上是減少的．例4[1,＋∞）解析由于f′（x)＝k－eq\f(1,x)，f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1,＋∞）上單調(diào)遞增?f′(x)＝k－eq\f(1，x)≥0在(1，＋∞）上恒成立．由于k≥eq\f（1，x)，而0〈eq\f（1，x)<1，所以k≥1。即k的取值范圍為[1，＋∞)．引申探究解f（x)＝kx－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞),f′（x)＝k－eq\f（1,x），當(dāng)k≤0時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，＋∞)；當(dāng)k〉0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\f（1,k）,＋∞）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,eq\f(1，k)）．跟蹤訓(xùn)練4解（1)f′(x）＝2x＋eq\f(2a，x）＝eq\f(2x2＋2a,x），函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?,＋∞)．①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x）〉0，f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞）；②當(dāng)a<0時(shí)，f′（x）＝eq\f（2x＋\r（－a）x－\r（－a),x),當(dāng)x變化時(shí)，f′(x）,f（x)的變化情況如下表：x(0,eq\r(－a）)eq\r（－a）（eq\r（－a），＋∞）f′(x）－0＋f（x）遞減遞增由上表可知,函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,eq\r（－a）)；單調(diào)遞增區(qū)間是(eq\r(－a）,＋∞)．(2）由g(x）＝eq\f（2,x)＋x2＋2alnx,得g′(x)＝－eq\f(2,x2）＋2x＋eq\f(2a，x），由已知函數(shù)g(x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，則g′(x）≤0在[1，2]上恒成立，即－eq\f（2,x2)＋2x＋eq\f（2a,x)≤0在［1，2]上恒成立，即a≤eq\f(1,x)－x2在[1，2]上恒成立．令h（x)＝eq\f（1,x）－x2，則h′(x)＝－eq\f(1,x2)－2x＝－(eq\f（1,x2）＋2x)<0，x∈［1,2]，所以h(x)在[1,2］上為減函數(shù)，h（x）min＝h(2)＝－eq\f(7，2），所以a≤－eq\f(7，2）.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－eq\f（7，2)｝．當(dāng)堂訓(xùn)練1．D