2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率6正態(tài)分布學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE6正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1。利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ］，（μ－2σ,μ＋2σ］，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3。會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)正態(tài)分布1．正態(tài)分布正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為:f(x)＝eq\f（1，σ\r(2π）)·expeq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(－\f(x－μ2，2σ2）)）,x∈（－∞，＋∞)，其中exp{g（x）}＝eg(x），μ表示________，σ2（σ>0)表示________．通常用X~N（μ，σ2）表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布．2．正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì)（1)函數(shù)圖像關(guān)于直線________對(duì)稱．(2）σ(σ〉0)的大小決定函數(shù)圖像的__________．（3）隨機(jī)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ－σ<X<μ＋σ)＝________。②P(μ－2σ〈X<μ＋2σ）＝________.③P（μ－3σ〈X〈μ＋3σ)＝________.通常服從于正態(tài)分布N（μ，σ2)的隨機(jī)變量X在區(qū)間（μ－3σ，μ＋3σ）外取值的概率只有________．類型一正態(tài)曲線的圖像的應(yīng)用例1如圖所示是一個(gè)正態(tài)分布，試根據(jù)該圖像寫出正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體均值和方差．反思與感悟利用圖像求正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對(duì)稱軸為x＝μ，二是最大值為eq\f（1，\r（2π)σ).這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ,σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1,σeq\o\al（2,1))（σ1>0)和N（μ2，σeq\o\al(2，2)）(σ2〉0）的分布密度函數(shù)圖像如圖所示,則有（)A．μ1〈μ2,σ1〈σ2B．μ1〈μ2,σ1>σ2C．μ1〉μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2類型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率例2設(shè)X~N(1，22），試求：（1）P（－1<X〈3）；(2)P（3<X〈5)；（3）P(X>5）．引申探究本例條件不變，若P（X〉c＋1）＝P(X〈c－1)，求c的值．反思與感悟利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法（1）由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故在關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P（X〉a);②P(X〈μ－a)＝P（X>μ＋a)．(2）利用X落在區(qū)間（μ－σ,μ＋σ），(μ－2σ，μ＋2σ），(μ－3σ,μ＋3σ)內(nèi)的概率分別是0.683，0。954，0.997求解．跟蹤訓(xùn)練2(1）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2),且P（ξ〈4）＝0.8，則P(0<ξ〈2）等于（)A．0.6 B．0。4C．0。3 D．0.2（2）設(shè)X～N（6,1)，求P（4〈X〈5）．類型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N（110,202)，已知試卷滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格（即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．反思與感悟解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ）,(μ－2σ，μ＋2σ），(μ－3σ，μ＋3σ）三個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想．跟蹤訓(xùn)練3有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm）服從正態(tài)分布N(20,4）．若這批零件共有5000個(gè)，試求：（1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；（2)若規(guī)定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？1．某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的分布密度曲線如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布），下列說法中正確的是(）A．甲科總體的方差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的方差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實(shí)數(shù)根的概率為eq\f（1，2),則μ等于(）A．1 B．2C．4 D．不能確定3．已知服從正態(tài)分布N（μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ）和(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率分別為68.3％,95。4％和99。7%。若某校高一年級(jí)1000名學(xué)生的某次考試成績(jī)X服從正態(tài)分布N（90，152），則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間（60，120）內(nèi)的學(xué)生大約有（)A．997人 B．972人C．954人 D．683人4．設(shè)X~Neq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－2，\f(1，4))），則X落在（－3.5，－0。5)內(nèi)的概率是（）A．95。4% B．99。7％C．4.6% D．0。3%5．設(shè)隨機(jī)變量X~N（0，1），求P(X〈0)，P(－2〈X<2）．1．理解正態(tài)分布的概念和分布密度曲線的性質(zhì)．2．正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1)熟記P(μ－σ<X〈μ＋σ)，P（μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X〈μ＋3σ）的值．(2)充分利用分布密度曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1這兩個(gè)特點(diǎn)．①分布密度曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱,從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．②P（X〈a）＝1－P（X>a），P（X〈μ－a)＝P(X>μ＋a),若b〈μ，則P(X<μ－b）＝eq\f(1－Pμ－b〈X〈μ＋b，2）。

答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1．均值方差2．（1）x＝μ(2）“胖”“瘦"（3）①68.3％②95.4％③99。7%0.3％題型探究例1解從給出的分布密度曲線可知它關(guān)于直線x＝20對(duì)稱，最大值是eq\f（1,2\r（π))，所以μ＝20。由eq\f（1,\r（2π)σ）＝eq\f(1,2\r（π))，解得σ＝eq\r（2).于是該正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式是f（x）＝eq\f（1，2\r(π)）,x∈（－∞,＋∞），隨機(jī)變量總體的均值是μ＝20,方差是σ2＝(eq\r(2)）2＝2。跟蹤訓(xùn)練1A［分布密度曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)曲線．當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭．故選A。]例2解因?yàn)閄～N(1,22），所以μ＝1，σ＝2.(1）P(－1〈X〈3)＝P（1－2<X<1＋2)＝P（μ－σ<X〈μ＋σ)＝0。683。(2）因?yàn)镻（3<X<5）＝P(－3<X〈－1),所以P（3〈X<5）＝eq\f（1，2)[P(－3<X〈5)－P（－1〈X〈3）］＝eq\f（1，2）[P（1－4〈X〈1＋4)－P(1－2〈X〈1＋2）]＝eq\f（1,2)［P（μ－2σ〈X<μ＋2σ）－P(μ－σ〈X〈μ＋σ）］＝eq\f（1，2)×(0.954－0。683）≈0.136。(3）P（X>5）＝P（X<－3)＝eq\f(1,2）［1－P(－3<X<5)］＝eq\f(1,2）[1－P(1－4<X<1＋4）］＝0。023。引申探究解因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,22），所以對(duì)應(yīng)的分布密度曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱．又P（X>c＋1）＝P(X〈c－1)，因此eq\f(c＋1＋c－1，2）＝1,即c＝1.跟蹤訓(xùn)練2(1)C(2)解由已知得μ＝6，σ＝1.∵P(5<X<7）＝P（μ－σ<X〈μ＋σ）＝0。683，P（4<X〈8）＝P(μ－2σ<X〈μ＋2σ)＝0。954.如圖，由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，P(4<x〈5）＝P（7<x<8)，∴P(4〈x〈5）＝eq\f(1,2)[P（4<x〈8)－P（5<x〈7)］＝eq\f(1，2）×0.271≈0。136。例3解由題可知μ＝110，σ＝20，P（X〉90）＝P(X－110〉－20)＝P（X－μ〉－σ）,∵P（X－μ<－σ)＋P（－σ<X－μ〈σ）＋P(X－μ>σ）＝2P(X－μ〈－σ)＋0.683＝1,∴P(X－μ〈－σ）＝0.159，∴P(X〉90）＝1－P(X－μ〈－σ）＝1－0.159＝0。841.∴54×0.841≈45（人），即及格人數(shù)約為45.∵P（X>130)＝P（X－110〉20)＝P(X－μ〉σ），∴P（X－μ<－σ)＋P(－σ<X－μ〈σ)＋P(X－μ>σ)＝0.683＋2P(X－μ〉σ）＝1，∴P（X－μ>σ）≈0.159，即P（X>130）≈0.159.∴54×0。159≈8（人），即130分以上的人數(shù)約為8.跟蹤訓(xùn)練3解(1）∵X~N（20，4),∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，∴尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比大約是68.3％。(2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24,∴尺寸在14～26mm間的零件所占的百分比大約是99.7％，而尺寸在16~24mm間的零件所占的百分比大約是95。4%.∴尺寸在24～26mm間的零件所占的百分比大約是eq\f(99.7％－95。4%，2）＝2。