第三章 工業(yè)機器人靜力計算及動力學(xué)

前章局限于靜態(tài)位置問題的討論，還未涉及力、速度、加速度。第三章工業(yè)機器人靜力

計算及動力學(xué)分析3.1

工業(yè)機器人速度雅可比與速度分析數(shù)學(xué)上雅可比矩陣(JacobianMatrix)是一個多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個函數(shù)，每個函數(shù)有六個變量，即一、工業(yè)機器人速度雅可比將其微分，得雅可比矩陣二自由度平面關(guān)節(jié)機器人。

端點位置x、y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系為：

J稱為2R機器人速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運動dθ與手部作業(yè)空間微小位移dX的關(guān)系。對于n自由度機器人的情況，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，q=[q1

q2…qn]T。當關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，qi=θi,當關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時，qi=di，dq=[dq1

dq2…dqn]T反映了關(guān)節(jié)空間的微小運動。機器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q),它是一個6維列矢量X=[xyzφxφxφx]T。dX=[dxdydzdφxdφxdφx]T反映了操作空間的微小運動，它又機器人末端微小線位移(dxdydz)和微小轉(zhuǎn)動(dφxdφxdφx)組成。二、工業(yè)機器人速度分析式中：V為機器人末端在操作空間中的廣義速度，V=X；q為機器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)為確定關(guān)節(jié)空間速度q與操作空間速度V之間關(guān)系的雅可比矩陣。二自由度機器人手部速度為：假如已知關(guān)節(jié)上θ1和θ2是時間的函數(shù)，θ1=f1(t),θ2=f2(t)，則可求出該機器人手部在某一時刻的速度V=f(t),即手部瞬時速度。反之，假如給定機器人手部速度，可解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。式中J-1叫稱為機器人逆速度雅可比。我們希望工業(yè)機器人手部在空間按規(guī)定的速度進行作業(yè)，那么可以計算出沿路徑上每一瞬時相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。但是，一般來說，求逆速度雅可比J-1是比較困難的，有時還會出現(xiàn)奇異解，就無法解算關(guān)節(jié)速度。(1)工作域邊界上奇異。當機器人臂全部伸展開或全部折回而使手部處于機器人工作域的邊界上或邊界附近時，出現(xiàn)逆雅可比奇異，這時機器人相應(yīng)的形位叫做奇異形位。

(2)工作域內(nèi)部奇異。奇異并不一定發(fā)生在工作域邊界上，也可以是由兩個或更多個關(guān)節(jié)軸線重合所引起的。當機器人處在奇異形位時，就會產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個或更多的自由度。這意味著在空間某個方向(或子域)上，不管機器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇，手部也不可能實現(xiàn)移動。二自由度機械手速度雅可比為：且vx=1m/s,vy=0因此：在該瞬時，兩關(guān)節(jié)的位置和速度分別為θ1=300，θ2=600，θ1=-2rad/s，θ2=4rad/s，手部瞬時速度為1m/s當l1l2s2=O時，J-1無解。當l1≠O，l2≠O，即θ2=O或θ2=1800時，二自由度機器人逆速度雅可比J-1奇異。這時，該機器人二臂完全伸直，或完全折回，機器人處于奇異形位。在這種奇異形位下，手部正好處在工作域的邊界上，手部只能沿著一個方向(即與臂垂直的方向)運動，不能沿其他方向運動，退化了一個自由度。對于在三維空間中作業(yè)的一般六自由度工業(yè)機器人的情況，機器人速度雅可比J是一個6×6矩陣，q和V分別是6×1列陣。手部速度矢量V是由3×1線速度矢量和3×1角速度矢量組合而成的6維列矢量。關(guān)節(jié)速度矢量q是由6個關(guān)節(jié)速度組合而成的6維列矢量。雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比；后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的每一列則代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度qt對手部線速度和角速度的傳遞比。機器人作業(yè)時與外界環(huán)境的接觸會在機器人與環(huán)境之間引起相互的作用力和力矩。機器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動裝置提供關(guān)節(jié)力矩(或力)，通過連桿傳遞到末端操作器，克服外界作用力和力矩。各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩(或力)與末端操作器施加的力(廣義力，包括力和力矩)之間的關(guān)系，是機器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。3.2

工業(yè)機器人速度雅可比與靜力計算本節(jié)討論操作臂在靜止狀態(tài)下力的平衡關(guān)系。我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住”，機器人成為一個機構(gòu)。這種“鎖定用”的關(guān)節(jié)力矩與手部所支持的載荷或受到外界環(huán)境作用的力取得靜力平衡。求解這種“鎖定用”的關(guān)節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動力矩作用下手部的輸出力就是對機器人操作臂的靜力計算。假定關(guān)節(jié)無摩擦，并忽略各桿件的重力，則廣義關(guān)節(jié)力矩T與機器人手部端點力F的關(guān)系可用下式描述：式中：JT為n×6階機器人力雅可比矩陣或力雅可比，并且是機器人速度雅可比J的轉(zhuǎn)置矩陣。一、工業(yè)機器人力雅可比二、機器人靜力計算的兩類問題從操作臂手部端點力F與廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的關(guān)系式T=JTF，可知，操作臂靜力計算可--分為兩類問題：

(1)已知機器人手部端點力F或外界環(huán)境對機器人手部作用力F′(F=-F′)，求相應(yīng)的滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。

(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩T，確定機器人手部對外界環(huán)境的作用力F或負荷的質(zhì)量。

這類問題是第一類問題的逆解：求相應(yīng)于端點力F的關(guān)節(jié)力矩(不考慮摩擦)一個二自由度平面關(guān)節(jié)機械手，已知手部端點力F=[Fx，F(xiàn)y]T.則該機械手的力雅可比為：解已知該機械手的速度雅可比為：

已知二自由度機械手的雅可比矩陣為

若忽略重力，當手部端點力F

=[10]T時，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩τ。在控制方面，機器人的動態(tài)實時控制是機器人發(fā)展的必然要求。需要對機器人的動力學(xué)進行分析。機器人是一個非線性的復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)。動力學(xué)問題的求解比較困難，而且需要較長的運算時間。因此，簡化解的過程，最大限度地減少工業(yè)機器人動力學(xué)在線計算的時間，已是一個受到關(guān)注的研究課題。3.3工業(yè)機器人動力學(xué)分析工業(yè)機器人重載、高速、高精度、智能化對工業(yè)機器人設(shè)計和控制都提出了新的要求動力學(xué)研究物體的運動和作用力之間的關(guān)系。機器人動力學(xué)問題有兩類。(1)給出已知的軌跡點上的，即機器人關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量T。這對實現(xiàn)機器人動態(tài)控制是相當有用的。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，求機器人系統(tǒng)相應(yīng)的各瞬時的運動。也就是說，給出關(guān)節(jié)力矩向量τ，求機器人所產(chǎn)生的運動。這對模擬機器人的運動是非常有用的。分析研究機器人動力學(xué)特性的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法，牛頓一歐拉(Newton—Euler)方法，高斯(Gauss)方法，凱恩(Kane)方法等。拉格朗日方法不僅能以最簡單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確，對理解機器人動力學(xué)比較方便。1、拉格朗日函數(shù)令qi(i=1,2，…,n)是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)節(jié)變量，是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié)速度。一、拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)L的定義是一個機械系統(tǒng)的動能Ek和勢能Ep之差，即2、拉格朗日方程系統(tǒng)的拉格朗日方程為式中：Fi稱為關(guān)節(jié)廣義驅(qū)動力。如果是移動關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動力；如果是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動力矩。(1)選取坐標系，選定完全而且獨立的廣義關(guān)節(jié)變量qi，i=1,2，…，n。(2)選定相應(yīng)的關(guān)節(jié)上的廣義力Fi，當qi是位移變量時，則Fi為力；當qi是角度變量時，則Fi為力矩。3、用拉格朗日法建立機器人動力學(xué)方程的步驟(4)代入拉格朗日方程求得機器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程。(3)求出機器人各構(gòu)件的動能和勢能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。桿1質(zhì)心k1的位置坐標為：二、二自由度平面關(guān)節(jié)機器人動力學(xué)方程1、廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力的選定桿1質(zhì)心k1的速度平方為：桿2質(zhì)心k2的位置坐標為：桿2質(zhì)心k2的速度平方為：2、系統(tǒng)動能3、系統(tǒng)勢能4、拉格朗日函數(shù)5、系統(tǒng)動力學(xué)方程根據(jù)拉格朗日方程：關(guān)節(jié)1上的力矩τ1計算：關(guān)節(jié)2上的力矩τ2計算：進行分析可知以下幾點：(1)含有或的項表示由于加速度引起的關(guān)節(jié)力矩項，其中：含有D11和D22的項分別表示由于關(guān)節(jié)1加速度和關(guān)節(jié)2加速度引起的慣性力矩項；含有D12的項表示關(guān)節(jié)2的加速度對關(guān)節(jié)1的耦合慣性力矩項；含有D21的項表示關(guān)節(jié)1的加速度對關(guān)節(jié)2的耦合慣性力矩項。

(2)含有

和的項表示由于向心力引起的關(guān)節(jié)力矩項，其中：含有D122的項表示關(guān)節(jié)2速度引起的向心力對關(guān)節(jié)1的耦合力矩項；含有D211的項表示關(guān)節(jié)1速度引起的向心力對關(guān)節(jié)2的耦合力矩項。含有D112的項表示哥氏力對關(guān)節(jié)1的耦合力矩項；含有D212的項表示哥氏力對關(guān)節(jié)2的耦合力矩項。

(3)含有的項表示由于哥氏力引起的關(guān)節(jié)力矩項(4)只含關(guān)節(jié)變量的項表示重力引起的關(guān)節(jié)力矩項，其中：含有D1的項表示連桿1、連桿2的質(zhì)量對關(guān)節(jié)1引起的重力矩項；含有D2的項表示