第三章 工業(yè)機(jī)器人靜力計(jì)算及動(dòng)力學(xué)

前章局限于靜態(tài)位置問(wèn)題的討論，還未涉及力、速度、加速度。第三章工業(yè)機(jī)器人靜力

計(jì)算及動(dòng)力學(xué)分析3.1

工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與速度分析數(shù)學(xué)上雅可比矩陣(JacobianMatrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量，即一、工業(yè)機(jī)器人速度雅可比將其微分，得雅可比矩陣二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人。

端點(diǎn)位置x、y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系為：

J稱為2R機(jī)器人速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dθ與手部作業(yè)空間微小位移dX的關(guān)系。對(duì)于n自由度機(jī)器人的情況，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，q=[q1

q2…qn]T。當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，qi=θi,當(dāng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，qi=di，dq=[dq1

dq2…dqn]T反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q),它是一個(gè)6維列矢量X=[xyzφxφxφx]T。dX=[dxdydzdφxdφxdφx]T反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它又機(jī)器人末端微小線位移(dxdydz)和微小轉(zhuǎn)動(dòng)(dφxdφxdφx)組成。二、工業(yè)機(jī)器人速度分析式中：V為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度，V=X；q為機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)為確定關(guān)節(jié)空間速度q與操作空間速度V之間關(guān)系的雅可比矩陣。二自由度機(jī)器人手部速度為：假如已知關(guān)節(jié)上θ1和θ2是時(shí)間的函數(shù)，θ1=f1(t),θ2=f2(t)，則可求出該機(jī)器人手部在某一時(shí)刻的速度V=f(t),即手部瞬時(shí)速度。反之，假如給定機(jī)器人手部速度，可解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。式中J-1叫稱為機(jī)器人逆速度雅可比。我們希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，那么可以計(jì)算出沿路徑上每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。但是，一般來(lái)說(shuō)，求逆速度雅可比J-1是比較困難的，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)奇異解，就無(wú)法解算關(guān)節(jié)速度。(1)工作域邊界上奇異。當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開或全部折回而使手部處于機(jī)器人工作域的邊界上或邊界附近時(shí)，出現(xiàn)逆雅可比奇異，這時(shí)機(jī)器人相應(yīng)的形位叫做奇異形位。

(2)工作域內(nèi)部奇異。奇異并不一定發(fā)生在工作域邊界上，也可以是由兩個(gè)或更多個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合所引起的。當(dāng)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多的自由度。這意味著在空間某個(gè)方向(或子域)上，不管機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇，手部也不可能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。二自由度機(jī)械手速度雅可比為：且vx=1m/s,vy=0因此：在該瞬時(shí)，兩關(guān)節(jié)的位置和速度分別為θ1=300，θ2=600，θ1=-2rad/s，θ2=4rad/s，手部瞬時(shí)速度為1m/s當(dāng)l1l2s2=O時(shí)，J-1無(wú)解。當(dāng)l1≠O，l2≠O，即θ2=O或θ2=1800時(shí)，二自由度機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。這時(shí)，該機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，機(jī)器人處于奇異形位。在這種奇異形位下，手部正好處在工作域的邊界上，手部只能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其他方向運(yùn)動(dòng)，退化了一個(gè)自由度。對(duì)于在三維空間中作業(yè)的一般六自由度工業(yè)機(jī)器人的情況，機(jī)器人速度雅可比J是一個(gè)6×6矩陣，q和V分別是6×1列陣。手部速度矢量V是由3×1線速度矢量和3×1角速度矢量組合而成的6維列矢量。關(guān)節(jié)速度矢量q是由6個(gè)關(guān)節(jié)速度組合而成的6維列矢量。雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比；后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的每一列則代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度qt對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比。機(jī)器人作業(yè)時(shí)與外界環(huán)境的接觸會(huì)在機(jī)器人與環(huán)境之間引起相互的作用力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力矩(或力)，通過(guò)連桿傳遞到末端操作器，克服外界作用力和力矩。各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩(或力)與末端操作器施加的力(廣義力，包括力和力矩)之間的關(guān)系，是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。3.2

工業(yè)機(jī)器人速度雅可比與靜力計(jì)算本節(jié)討論操作臂在靜止?fàn)顟B(tài)下力的平衡關(guān)系。我們假定各關(guān)節(jié)“鎖住”，機(jī)器人成為一個(gè)機(jī)構(gòu)。這種“鎖定用”的關(guān)節(jié)力矩與手部所支持的載荷或受到外界環(huán)境作用的力取得靜力平衡。求解這種“鎖定用”的關(guān)節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動(dòng)力矩作用下手部的輸出力就是對(duì)機(jī)器人操作臂的靜力計(jì)算。假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件的重力，則廣義關(guān)節(jié)力矩T與機(jī)器人手部端點(diǎn)力F的關(guān)系可用下式描述：式中：JT為n×6階機(jī)器人力雅可比矩陣或力雅可比，并且是機(jī)器人速度雅可比J的轉(zhuǎn)置矩陣。一、工業(yè)機(jī)器人力雅可比二、機(jī)器人靜力計(jì)算的兩類問(wèn)題從操作臂手部端點(diǎn)力F與廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的關(guān)系式T=JTF，可知，操作臂靜力計(jì)算可--分為兩類問(wèn)題：

(1)已知機(jī)器人手部端點(diǎn)力F或外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人手部作用力F′(F=-F′)，求相應(yīng)的滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。

(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩T，確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力F或負(fù)荷的質(zhì)量。

這類問(wèn)題是第一類問(wèn)題的逆解：求相應(yīng)于端點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力矩(不考慮摩擦)一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力F=[Fx，F(xiàn)y]T.則該機(jī)械手的力雅可比為：解已知該機(jī)械手的速度雅可比為：

已知二自由度機(jī)械手的雅可比矩陣為

若忽略重力，當(dāng)手部端點(diǎn)力F

=[10]T時(shí)，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩τ。在控制方面，機(jī)器人的動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)控制是機(jī)器人發(fā)展的必然要求。需要對(duì)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析。機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化解的過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間，已是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。3.3工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析工業(yè)機(jī)器人重載、高速、高精度、智能化對(duì)工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)和控制都提出了新的要求動(dòng)力學(xué)研究物體的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類。(1)給出已知的軌跡點(diǎn)上的，即機(jī)器人關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量T。這對(duì)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人動(dòng)態(tài)控制是相當(dāng)有用的。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，求機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的各瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，給出關(guān)節(jié)力矩向量τ，求機(jī)器人所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)。這對(duì)模擬機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)是非常有用的。分析研究機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法，牛頓一歐拉(Newton—Euler)方法，高斯(Gauss)方法，凱恩(Kane)方法等。拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確，對(duì)理解機(jī)器人動(dòng)力學(xué)比較方便。1、拉格朗日函數(shù)令qi(i=1,2，…,n)是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)節(jié)變量，是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié)速度。一、拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)L的定義是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep之差，即2、拉格朗日方程系統(tǒng)的拉格朗日方程為式中：Fi稱為關(guān)節(jié)廣義驅(qū)動(dòng)力。如果是移動(dòng)關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動(dòng)力；如果是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則Fi為驅(qū)動(dòng)力矩。(1)選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi，i=1,2，…，n。(2)選定相應(yīng)的關(guān)節(jié)上的廣義力Fi，當(dāng)qi是位移變量時(shí)，則Fi為力；當(dāng)qi是角度變量時(shí)，則Fi為力矩。3、用拉格朗日法建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟(4)代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。(3)求出機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。桿1質(zhì)心k1的位置坐標(biāo)為：二、二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程1、廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力的選定桿1質(zhì)心k1的速度平方為：桿2質(zhì)心k2的位置坐標(biāo)為：桿2質(zhì)心k2的速度平方為：2、系統(tǒng)動(dòng)能3、系統(tǒng)勢(shì)能4、拉格朗日函數(shù)5、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)拉格朗日方程：關(guān)節(jié)1上的力矩τ1計(jì)算：關(guān)節(jié)2上的力矩τ2計(jì)算：進(jìn)行分析可知以下幾點(diǎn)：(1)含有或的項(xiàng)表示由于加速度引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D11和D22的項(xiàng)分別表示由于關(guān)節(jié)1加速度和關(guān)節(jié)2加速度引起的慣性力矩項(xiàng)；含有D12的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2的加速度對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合慣性力矩項(xiàng)；含有D21的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1的加速度對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合慣性力矩項(xiàng)。

(2)含有

和的項(xiàng)表示由于向心力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D122的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)；含有D211的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。含有D112的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)；含有D212的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。

(3)含有的項(xiàng)表示由于哥氏力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)(4)只含關(guān)節(jié)變量的項(xiàng)表示重力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D1的項(xiàng)表示連桿1、連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)1引起的重力矩項(xiàng)；含有D2的項(xiàng)表示