數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)緒論

第1章緒論

1.2算法及其描述

1.1什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1.3算法分析

本章小結(jié)1.4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)＋算法＝程序

1.1.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定義1.1.2邏輯結(jié)構(gòu)類型

1.1.3存儲結(jié)構(gòu)類型1.1.4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)類型1.1什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

數(shù)據(jù)：是所有能被輸入到計算機中,且能被計算機處理的符號的集合。它是計算機操作的對象的總稱,也是計算機處理的信息的某種特定的符號表示形式。

數(shù)據(jù)元素：是數(shù)據(jù)(集合)中的一個“個體”,是數(shù)據(jù)的基本單位。

1.1.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定義

數(shù)據(jù)對象：是具有相同性質(zhì)的若干個數(shù)據(jù)元素的集合。

例如,200402班為一個學(xué)生數(shù)據(jù)對象,而其中的“張三”是一個數(shù)據(jù)元素)。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)元素相互之間的聯(lián)系?？梢钥醋魇窍嗷ブg存在著某種特定關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。因此,可時把數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)看成是帶結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)元素的集合。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)包括如下幾個方面：

(1)數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關(guān)系,即數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)。

(2)數(shù)據(jù)元素及其關(guān)系在計算機存儲器中的存儲方式,即數(shù)據(jù)的存儲結(jié)構(gòu),也稱為數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)。

(3)施加在該數(shù)據(jù)上的操作,即數(shù)據(jù)的運算。

例1.1

有一個學(xué)生表如表1.1所示。這個表中的數(shù)據(jù)元素是學(xué)生記錄,每個數(shù)據(jù)元素由四個數(shù)據(jù)項(即學(xué)號、姓別、性別和班號)組成。學(xué)號姓名性別班號1張斌男99018劉麗女990234李英女990120陳華男990212王奇男990126董強男99025王萍女9901表1.1學(xué)生表

該表中的記錄順序反映了數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關(guān)系,用學(xué)號標(biāo)識每個學(xué)生記錄,這種邏輯關(guān)系可以表示為：

<1,8>,<8,34>,<34,20>,<20,12>,<12,26>,<26,5>

其中尖括號“<ai,ai+1>”表示元素ai和ai+1之間是相鄰的,即ai在ai+1之前,ai+1在ai之后。數(shù)據(jù)在計算機存儲器中的存儲方式就是存儲結(jié)構(gòu)。

C/C++語言中，通常采用結(jié)構(gòu)體數(shù)組和鏈表兩種方式實現(xiàn)其存儲結(jié)構(gòu)。存放學(xué)生表的結(jié)構(gòu)體數(shù)組Stud定義為：

struct

{ intno;/*存儲學(xué)號*/ charname[8];/*存儲姓名*/ charsex[2];/*存儲性別*/ charclass[4];/*存儲班號*/}Stud[7]={{1,“張斌”,“男”,“9901”},…,{5,"王萍","女","9901"}};結(jié)構(gòu)體數(shù)組Stud各元素在內(nèi)存中順序存放,即第i(1≤i≤6)個學(xué)生對應(yīng)的元素Stud[i]存放在第i+1個學(xué)生對應(yīng)的元素Stud[i+1]之前,Stud[i+1]正好在Stud[i]之后。9901女王萍5…9901男張斌1Stud[0]Stud[6]Stud數(shù)組起始地址

存放學(xué)生表的鏈表的結(jié)點類型StudType定義為：

typedef

struct

studnode{ intno; /*存儲學(xué)號*/ charname[8]; /*存儲姓名*/ charsex[2]; /*存儲性別*/ charclass[4]; /*存儲班號*/

struct

studnode*next;/*存儲指向下一個學(xué)生的指針*/}StudType；鏈表首結(jié)點地址head1張斌男99018劉麗女990234李英女990120陳華男990212王奇男990126董強男99025王萍女9901∧

學(xué)生表構(gòu)成的鏈表如右圖所示。其中的head為第一個數(shù)據(jù)元素的指針。學(xué)生表構(gòu)成的鏈表

對于“學(xué)生表”這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),可以進(jìn)行一系列的運算,例如,增加一個學(xué)生記錄、刪除一個學(xué)生記錄、查找性別為“女”的學(xué)生記錄、查找班號為“9902”的學(xué)生記錄等等。從前面介紹的兩種存儲結(jié)構(gòu)看到,同樣的運算,在不同的存儲結(jié)構(gòu)中,其實現(xiàn)過程是不同的。

例如,查找學(xué)號為20的學(xué)生的姓名：對于Stud數(shù)組,可以從Stud[0]開始比較,Stud[0].no不等于20,再與Stud[1].no比較,…,直到Stud[3].no等于20,返回Stud[3].name。對于head為首結(jié)點指針的鏈表,從head所指結(jié)點開始比較,head->no不等于20,從它的next得到下一個結(jié)點的地址,再與下一個結(jié)點的no域比較,…,直到某結(jié)點的no域等于20,返回其name域。

為了更確切地描述一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),通常采用二元組表示：

B=(K,R)

其中,B是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),它由數(shù)據(jù)元素的集合K和K上二元關(guān)系的集合R所組成。其中：

K={ki|1≤i≤n,n≥0}R={rj|1≤j≤m,m≥0}

邏輯結(jié)構(gòu)的描述或表示：

其中：

ki表示集合K中的第i個結(jié)點或數(shù)據(jù)元素。

n為K中結(jié)點的個數(shù),特別地,若n=0,則K是一個空集,因而B也就無結(jié)構(gòu)可言,有時也可以認(rèn)為它具有任一結(jié)構(gòu)。

rj表示集合R中的第j個二元關(guān)系(后面均簡稱關(guān)系)。

m為R中關(guān)系的個數(shù),特別地,若m=0,則R是一個空集,表明集合K中的元結(jié)點間不存在任何關(guān)系,彼此是獨立的。序偶<x,y>(x,y∈K)x為第一結(jié)點,y為第二結(jié)點。

x為y的直接前驅(qū)結(jié)點(通常簡稱前驅(qū)結(jié)點)y為x的直接后繼結(jié)點(通常簡稱后繼結(jié)點)。若某個結(jié)點沒有前驅(qū)結(jié)點,則稱該結(jié)點為開始結(jié)點；若某個結(jié)點沒有后繼結(jié)點,則稱該結(jié)點為終端結(jié)點。說明：<x,y>表示有向關(guān)系，(x,y)表示無向關(guān)系。采用離散數(shù)學(xué)的表示方法。

例如,采用二元組表示例1.1的學(xué)生表。學(xué)生表中共有7個結(jié)點,依次用k1～k7表示,則對應(yīng)的二元組表示為B=(K,R),其中：

K={k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7} R={r}//只有一種關(guān)系

r={<k1,k2>,<k2,k3>,<k3,k4>,<k4,k5>,<k5,k6>,<k6,k7>}又例如,有如下數(shù)據(jù)即一個矩陣：

對應(yīng)的二元組表示為B=(K,R),其中：

K={2,6,3,1,8,12,7,4,5,10,9,11}R={r1,r2}其中,r1表示行關(guān)系,r2表示列關(guān)系

r1={<2,6>,<6,3>,<3,1>,<8,12>,<12,7>,<7,4>,<5,10>,<10,9>,<9,11>}r2={<2,8>,<8,5>,<6,12>,<12,10>,<3,7>,<7,9>,<1,4>,<4,11>}一個二維數(shù)組

可以利用圖形形象地表示邏輯結(jié)構(gòu)。例如，上述“學(xué)生表”數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)用下圖的圖形表示。學(xué)生表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)圖示

(1)線性結(jié)構(gòu)

結(jié)點之間關(guān)系：一對一。

特點：開始結(jié)點和終端結(jié)點都是惟一的,除了開始結(jié)點和終端結(jié)點以外,其余結(jié)點都有且僅有一個前驅(qū)結(jié)點,有且僅有一個后繼結(jié)點。順序表就是典型的線性結(jié)構(gòu)。1.1.2邏輯結(jié)構(gòu)類型

…

(2)樹形結(jié)構(gòu)

結(jié)點之間關(guān)系：一對多。

特點：開始結(jié)點惟一,終端結(jié)點不惟一。除終端結(jié)點以外,每個結(jié)點有一個或多個后續(xù)結(jié)點；除開始結(jié)點外，每個結(jié)點有且僅有一個前驅(qū)結(jié)點。

(3)圖形結(jié)構(gòu)

結(jié)點之間關(guān)系：多對多。

特點：沒有開始結(jié)點和終端結(jié)點，所有結(jié)點都可能有多個前驅(qū)結(jié)點和多個后繼結(jié)點。(2)鏈?zhǔn)酱鎯Ψ椒?/p>

(3)索引存儲方法(4)散列存儲方法

1.1.3存儲結(jié)構(gòu)類型(1)順序存儲方法

(1)數(shù)據(jù)類型高級程序語言中,一般須對程序中出現(xiàn)的每個變量、常量或表達(dá)式,明確說明它們所屬的數(shù)據(jù)類型。不同類型的變量,其所能取的值的范圍不同,所能進(jìn)行的操作不同。

數(shù)據(jù)類型是一個值的集合和定義在此集合上的一組操作的總稱。1.1.4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)類型

如C/C++中的int就是整型數(shù)據(jù)類型。它是所有整數(shù)的集合(在16位計算機中為－32768~32767的全體整數(shù))和相關(guān)的整數(shù)運算(如＋、－、＊、／等)。

(2)抽象數(shù)據(jù)類型

抽象數(shù)據(jù)類型(AbstractDataType簡寫為ADT)指的是用戶進(jìn)行軟件系統(tǒng)設(shè)計時從問題的數(shù)學(xué)模型中抽象出來的邏輯數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和邏輯數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的運算,而不考慮計算機的具體存儲結(jié)構(gòu)和運算的具體實現(xiàn)算法。

抽象數(shù)據(jù)類型=數(shù)據(jù)元素集合＋抽象運算例如,抽象數(shù)據(jù)類型復(fù)數(shù)的定義：ADTComplex{數(shù)據(jù)對象：

D={e1,e2|e1,e2均為實數(shù)}數(shù)據(jù)關(guān)系：

R1={<e1,e2>|e1是復(fù)數(shù)的實數(shù)部分,e2是復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分}e1＋e2i基本操作：

AssignComplex(&Z,v1,v2)：構(gòu)造復(fù)數(shù)Z。

DestroyComplex(&Z):復(fù)數(shù)Z被銷毀。

GetReal(Z,&real):返回復(fù)數(shù)Z的實部值。

GetImag(Z,&Imag):返回復(fù)數(shù)Z的虛部值。

Add(z1,z2,&sum):返回兩個復(fù)數(shù)z1,z2的和。}ADTComplex1.2算法及其描述

1.2.1什么是算法

1.2.2算法描述1.2.1什么是算法

數(shù)據(jù)元素之間的關(guān)系有邏輯關(guān)系和物理關(guān)系,對應(yīng)的操作有邏輯結(jié)構(gòu)上的操作功能和具體存儲結(jié)構(gòu)上的操作實現(xiàn)。通常把具體存儲結(jié)構(gòu)上的操作實現(xiàn)步驟或過程稱為算法。算法的五個重要的特性

(1)有窮性:在有窮步之后結(jié)束。(2)確定性:無二義性。

(3)可行性:可通過基本運算有限次執(zhí)行來實現(xiàn)。(4)有輸入

(5)有輸出

例1.2

考慮下列兩段描述：(1)描述一

voidexam1() { n＝2; while(n%2＝＝0) n＝n+2;

printf("%d\n",n); }華中科大考研題

(2)描述二

voidexam2() { y=0; x=5/y;

printf(“%d,%d\n”,x,y); }

這兩段描述均不能滿足算法的特征,試問它們違反了哪些特征？

解：(1)算法是一個死循環(huán),違反了算法的有窮性特征。

(2)算法包含除零錯誤,違反了算法的可行性特征。

1.2.2算法描述

本書中采用C/C++語言描述算法。說明：C++語言中提供了一種引用運算符“&”,引用是個別名,當(dāng)建立引用時,程序用另一個已定義的變量或?qū)ο?目標(biāo))的名字初始化它,從那時起,引用作為目標(biāo)的別名而使用,對引用的改動實際就是對目標(biāo)的改動。注意：TurboC不支持引用類型。編寫一個函數(shù)swap1(x,y)，當(dāng)執(zhí)行語句swap1(a,b)時,交換a和b的值。

voidswap1(intx,inty){

int

tmp;

tmp=x;x=y;y=tmp;}

注意：a和b的值不會發(fā)生了交換。為此，采用指針的方式來回傳形參的值，需將上述函數(shù)改為：

voidswap2(int*x,int*y){

int

tmp;

tmp=*x; /*將x的值放在tmp中*/ *x=*y; /*將x所指的值改為*y*/*y=tmp；/*將y所指的值改為tmp*/}

上述函數(shù)的調(diào)用改為swap2(&a,&b)，顯然遠(yuǎn)不如采用引用方式簡潔。所以本書后面很多算法都采用引用形參。引入“引用”的概念例如：

inta=4; /*a為普通的整型變量*/

int&b=a;/*b是a的引用變量*/

這里說明b變量是變量a的引用,b也等于4,之后這兩個變量同步改變。當(dāng)a改變時b也同步改變，同樣，當(dāng)b改變時a也同步改變。難點main(){

inta=2;

int&b=a;

printf("a=%d,b=%d\n",a,b);/*輸出：a=2,b=2*/b++;

printf("a=%d,b=%d\n",a,b);/*輸出：a=3,b=3*/a++;

printf("a=%d,b=%d\n",a,b);/*輸出：a=4,b=4*/}

引用常用于函數(shù)形參中,采用引用型形參時,在函數(shù)調(diào)用時將形參的改變回傳給實參,例如,有如下函數(shù)(其中的形參均為引用型形參)：

voidswap(int&x,int&y)/*形參前的“&”符號不是指針運算符*/{

int

tmp=x;x=y;y=tmp}

當(dāng)用執(zhí)行語句swap(a,b)時,a和b的值發(fā)生了交換。

例1.3

編寫一個算法,讀入三個整數(shù)x,y和z的值,要求從大到小輸出這三個數(shù)。解：依次輸入x,y和z這三個整數(shù),通過比較交換后,使得x≥y≥z,然后輸出x,y,z。在算法中應(yīng)考慮對這三個元素作盡可能少的比較和移動,如下述算法在最壞的情況下只需進(jìn)行3次比較和7次移動。voidDescending(){printf("輸入x,y,z");

scanf("%d,%d,%d",&x,&y,&z);if(x<y){temp=x;x=y;y=temp；/*交換x,y,使x>=y*/}if(y<z){temp=z;z=y;/*使temp>z*/if(x>=temp)y=temp；

else{y=x;x=temp;}}

printf("%d,%d,%d\n",x,y,z);}1.3算法分析

1.3.1算法時間復(fù)雜度分析

1.3.2算法空間復(fù)雜度分析

一個算法是由控制結(jié)構(gòu)(順序、分支和循環(huán)三種)和原操作(指固有數(shù)據(jù)類型的操作)構(gòu)成的,則算法時間取決于兩者的綜合效果。1.3.1算法時間復(fù)雜度分析

控制語句1原操作控制語句n原操作…一個算法同一問題可以采用多種算法實現(xiàn)。如何比較算法執(zhí)行效率？

?算法描述的語言不同

?算法執(zhí)行的環(huán)境不同

?其他因素

所以不能用絕對執(zhí)行時間進(jìn)行比較為了便于比較同一問題的不同算法,通常從算法中選取一種對于所研究的問題來說是基本運算的原操作(以下將基本運算的原操作簡稱為基本運算)。算法執(zhí)行時間大致為基本運算所需的時間與其運算次數(shù)(也稱為頻度)的乘積。被視為算法基本運算的一般是最深層循環(huán)內(nèi)的語句。

在一個算法中,進(jìn)行基本運算的次數(shù)越少,其運行時間也就相對地越少；基本運算次數(shù)越多,其運行時間也就相對地越多。所以,通常把算法中包含基本運算次數(shù)的多少稱為算法的時間復(fù)雜度,也就是說,一個算法的時間復(fù)雜度是指該算法的基本運算次數(shù)。

算法中基本運算次數(shù)T(n)是問題規(guī)模n的某個函數(shù)f(n),記作：

T(n)=O(f(n))

記號“O”讀作“大O”,它表示隨問題規(guī)模n的增大算法執(zhí)行時間的增長率和f(n)的增長率相同?！癘”的形式定義為：

若f(n)是正整數(shù)n的一個函數(shù),則T(n)=O(f(n))表示存在一個正的常數(shù)M,使得當(dāng)n≥n0時都滿足：

|T(n)|≤M|f(n)|

也就是只求出T(n)的最高階,忽略其低階項和常系數(shù),這樣既可簡化T(n)的計算,又能比較客觀地反映出當(dāng)n很大時,算法的時間性能。例如,T(n)=3n2-5n+10000=O(n2)本質(zhì)上講，是一種最高數(shù)量級的比較

一個沒有循環(huán)的算法的基本運算次數(shù)與問題規(guī)模n無關(guān),記作O(1),也稱作常數(shù)階。一個只有一重循環(huán)的算法的基本運算次數(shù)與問題規(guī)模n的增長呈線性增大關(guān)系,記作O(n),也稱線性階。其余常用的還有平方階O(n2)、立方階O(n3)、對數(shù)階O(log2n)、指數(shù)階O(2n)等。

各種不同數(shù)量級對應(yīng)的值存在著如下關(guān)系：

O(1)<O(log2n)<O(n)<O(n*log2n)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)

例1.4

求兩個n階方陣的相加C=A+B的算法如下,分析其時間復(fù)雜度。

#defineMAX20/*定義最大的方階*/voidmatrixadd(int

n,intA[MAX][MAX],

int

B[MAX][MAX],intC[MAX][MAX]){ inti,j; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];}

該算法中的基本運算是兩重循環(huán)中最深層的語句C[i][j]=A[i][j]+B[i][j],分析它的頻度,即：

T(n)==O(n2)例1.5

分析以下算法的時間復(fù)雜度。

int

fun(intn){

inti,j,k,s;s=0;for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=i;j++) for(k=0;k<=j;k++)s++;return(s);}基本語句或基本操作

解：該算法的基本操作是語句s++,其頻度：

T(n)==O(n3)則該算法的時間復(fù)雜度為O(n3)。例1.6

分析以下算法的時間復(fù)雜度。voidfunc(intn){

inti=0,s=0;while(s<n){i++; s=s+i;}}基本語句解：對于while循環(huán)語句，設(shè)執(zhí)行的次數(shù)為m，i從0開始遞增1，直到m為止，有：

s=0+1+2+…+m-1=m(m-1)/2，并滿足s=m(m-1)/2<n，則有m＜。

T(n)=O()

所以，該算法的時間復(fù)雜度為O()。

例1.7

有如下算法：

voidfun(int

a[],int

n,intk)/*數(shù)組a共有n個元素*/{

inti; if(k==n-1) for(i=0;i<n;i++)

printf("%d\n",a[i]); else {for(i=k;i<n;i++) a[i]=a[i]+i*i; fun(a,n,k+1); }}

調(diào)用上述算法的語句為fun(a,n,0)，求其時間復(fù)雜度。解：設(shè)fun(a,n,0)的時間復(fù)雜度為T(n),則fun(a,n,k)的執(zhí)行時間為T1(n,k)，由fun()算法可知：

T1(n,k)=n 當(dāng)k=n-1時

T1(n,k)=(n-k)+T1(n,k+1)其他情況

則

T(n)=T1(n,0)=n+T1(n,1)=n+(n-1)+T1(n,2)

=…=n+(n-1)+…+2+T1(n,n-1)

=n+(n-1)+…+2+n

=O(n2)

所以調(diào)用fun(a,n,0)的時間復(fù)雜度為O(n2)。

空間復(fù)雜度是對一個算法在運行過程中臨時占用的存儲空間大小的量度,一般也作為問題規(guī)模n的函數(shù),以數(shù)量級形式給出,記作：

S(n)=O(g(n))

若所需額外空間相對于輸入數(shù)據(jù)量來說是常數(shù),則稱此算法為原地工作。若所需存儲量依賴于特定的輸入,則通常按最壞情況考慮。1.3.2算法空間復(fù)雜度分析

返回

例1.8

分析例1.4和例1.5的空間復(fù)雜度。解：由于這兩個算法中臨時變量的個數(shù)與問題規(guī)模n無關(guān),所以空間復(fù)雜度均為O(1)。1.4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)＋算法＝程序

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)對算法的影響主要在兩方面（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的存儲能力數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲能力強、存儲信息多＝＞算法將會較好設(shè)計（時間少），存儲空間大。時間和空間的平衡（2）定義在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的操作在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上定義基本操作＝＞算法調(diào)用這些基本操作?；静僮髟酵暾?，算法設(shè)計就越容易算法基本操作基本算法應(yīng)用程序應(yīng)用程序是通過調(diào)用基本算法實現(xiàn)的選擇數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)需要考慮的幾個方面：（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)要適應(yīng)問題的狀態(tài)描述（2）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)應(yīng)與所選擇的算法相適應(yīng)（3）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的選擇同時要兼顧程序設(shè)計的方便（4）靈活應(yīng)用已有知識例如，有若干學(xué)生數(shù)據(jù)（學(xué)生數(shù)小于50），每個學(xué)生數(shù)據(jù)包含學(xué)號（每個學(xué)生學(xué)號是惟一的，但學(xué)生記錄不一定按學(xué)號順序存放）、姓名、班號和若干門課程成績（每個學(xué)生所選課程數(shù)目可能不等，但最多不超過6門）。要求設(shè)計一個程序輸出每個學(xué)生的學(xué)號、姓名和平均分以及每門課程（課程編號從1～6）的平均分。

設(shè)計方案1：將學(xué)生的全部數(shù)據(jù)項放在一個表中，一個學(xué)生的全部數(shù)據(jù)對應(yīng)一條記錄。由于課程最多可選6門，對應(yīng)的成績項也應(yīng)有6個。對應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：

structstud

{

intno; /*學(xué)號*/

charname[10]; /*姓名*/

int

bno; /*班號*/

intdeg1; /*課程1分?jǐn)?shù)*/

intdeg2; /*課程2分?jǐn)?shù)*/

intdeg3; /*課程3分?jǐn)?shù)*/

intdeg4; /*課程4分?jǐn)?shù)*/

intdeg5; /*課程5分?jǐn)?shù)*/

intdeg6; /*課程6分?jǐn)?shù)*/

};nonamebnodeg1deg2deg3deg4deg5deg61張斌99017882639285838劉麗9902659572788079………………………特點：存儲空間：中（若學(xué)生沒有選該課程，對應(yīng)空間仍存在）算法時間：少算法簡潔性差：算法完全依賴數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)