數(shù)值分析(25) 非線性方程組的數(shù)值方法

數(shù)值分析數(shù)值分析第三節(jié)非線性方程組的簡(jiǎn)單迭代法一、引言數(shù)值分析數(shù)值分析非線性方程組解的復(fù)雜性數(shù)值分析數(shù)值分析clear,clfx1=-2:.2:2;y2=-2:.2:2;y1=f1(x1);x2=f2(y2);plot(x1,y1,'r:',x2,y2,'b')xlabel('x'),ylabel('y')(3)a=0(4)a=-1(1)a=1(2)a=1/4數(shù)值分析數(shù)值分析幾類典型非線性問題數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析例：半線性橢圓型邊值問題解:(1)剖分求解域.YN+1N:210012….NN+1X數(shù)值分析數(shù)值分析(2)對(duì)微分算子進(jìn)行離散.在每個(gè)點(diǎn)(xi,yj)上的有限差分方程為在邊界上數(shù)值分析數(shù)值分析對(duì)非邊界點(diǎn)進(jìn)行編號(hào):

順序?yàn)?----從下往上,從左往右相應(yīng)的解向量和右端向量分別為

數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析多元實(shí)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值分析數(shù)值分析

研究非線性方程組解的存在唯一性問題可轉(zhuǎn)化為研究不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性。二、壓縮映射與不動(dòng)點(diǎn)迭代（簡(jiǎn)單迭代法）

數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析二、局部收斂性原理原理的局限性：（1）收斂域很難找（2）對(duì)非線性問題這是一個(gè)充分性原理，不是充分必要的，只有對(duì)線性問題，才是充分必要條件.如：數(shù)值分析數(shù)值分析P=1，C<1為線性收斂，P=2為平方收斂。三、收斂速度

數(shù)值分析數(shù)值分析第四節(jié)非線性方程組的Newton型算法

一、Newton-Raphson方法的迭代格式

數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析二、Newton迭代法的收斂性由迭代收斂階的定義，Newton迭代法是平方收斂的。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析二、同倫算法數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析

求解非線性方程組的同倫算法%文件名：Homotopy.mfunctionroot=Homotopy(funcF,funcH,x,N,tol,Nmax)%功能:求解非線性方程組的同倫算法%輸入:%funcF-----原始方程函數(shù)句柄%funcH-----同倫方程函數(shù)句柄%x----初始迭代點(diǎn)%N(可選)----同倫參數(shù)t的劃分?jǐn)?shù)（默認(rèn)是10）%tol(可選)---精度要求（默認(rèn)是1e-4）%Nmax(可選)---最大迭代次數(shù)（默認(rèn)100次）%輸出:%root----解向量數(shù)值分析數(shù)值分析

ifsize(x,1)==1;x=x';endifnargin<6;Nmax=100;endifnargin<5|isempty(tol);tol=1e-4;endifnargin<4|isempty(N);N=10;endk=0;x0=x;n=length(x);dx=tol+1;f0=tol+1;form=1:Nt=m/N;while(norm(dx)>tol&norm(f0)>tol)&k<Nmax[jac,f0]=JacobianH(x,funcF,funcH,x0,t);

dx=jac\(-f0);x=x+dx;

k=k+1;Enddx=tol+1;f0=tol+1;root=x;k=0;end數(shù)值分析數(shù)值分析

function[jac,f0]=JacobianH(x,func1,func2,x0,t)%計(jì)算同倫函數(shù)的Jacobian矩陣和函數(shù)值h=1.0e-6;n=length(x);jac=zeros(n);f0=feval(func2,x,func1,x0,t);fori=1:ntemp=x(i);

x(i)=temp+h;f1=feval(func2,x,func1,x0,t);

x(i)=temp;

jac(:,i)=(f1-f0)/h;end數(shù)值分析數(shù)值分析例利用同倫算法求非線性方程組取初值x(0)=(10,5)’，t的劃分?jǐn)?shù)N=4，精度tol=10-3。首先定義方程函數(shù)functionf=fex8_6(x)%定義方程F(x)=0f(1)=x(1)^2+x(2)^2-5;f(2)=x(1)^2-x(2)^2+3;f=f';再定義同倫函數(shù)f=HomotopyH(x,func,x0,t)%同倫函數(shù)f0=feval(func,x0);f=feval(func,x)+(t-1)*f0;然后運(yùn)行以下主程序x0=[10,5]';tol=1e-3;N=4;root=Homotopy(@fex8_6,@HomotopyH,x0,N,tol)root=1.00002.0000

數(shù)值分析數(shù)值分析三、擬牛頓法

數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析

求解非線性方程組的Broyden秩1算法%文件名：QuasiNewton.mfunctionroot=QuasiNewton(myfun,x,tol,N)%功能：Broyden秩1擬牛頓法求解非線性方程組%輸入:%myfun----方程函數(shù)句柄%x----初始迭代點(diǎn)%tol(可選)-精度要求（默認(rèn)是1e-4）%Nmax(可選)-最大迭代次數(shù)（默認(rèn)100次）%輸出:%root---解向量n=length(x);ifsize(x,1)==1,x=x';endh=1e-4;B0=zeros(n);B1=zeros(n);數(shù)值分析數(shù)值分析f0=feval(myfun,x);fori=1:ntemp=x(i);x(i)=x(i)+h;f1=feval(myfun,x);B0(:,i)=(f1-f0)/h;x(i)=temp;Enddx=B0\(-f0);k=0;whilenorm(dx)>tol&k<Nx1=x+dx;s=dx;f1=feval(myfun,x1);y=f1-f0;B1=B0+(y-B0*s)*s'/(s'*s);B0=B1;f0=f1;x=x1;dx=B0\(-f0);k=k+1;endroot=x;ifk==N,warning('已達(dá)最大迭代次數(shù)');endfprintf('迭代次數(shù)為:k=%d\n',k);數(shù)值分析數(shù)值分析例用Broyden秩1擬牛頓法求解如下非線性方程組在（1.5，0.75）附近的解首先定義方程函數(shù)functiony=fex8_5(x)y(1)=x(1)+2*x(2)-3;y(2)=2*x(1)^2+x(2)^2-5;y=y';然后運(yùn)行以下主程序x0=[1.5,0.75]';root=QuasiNewton(@fex8_5,x0)迭代次數(shù):k=1root=