第4章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

第一篇理論力學(xué)第4章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

第4章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)前面我們研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于慣性參考坐標(biāo)系，當(dāng)所研究的點(diǎn)相對(duì)于不同參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)（即它們之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)），就形成了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)。本節(jié)主要學(xué)習(xí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于不同參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度之間的幾何關(guān)系。

4.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成在工程和實(shí)際生活中物體相對(duì)于不同參考系運(yùn)動(dòng)的例子很多，例如沿直線滾動(dòng)的車輪，在地面上觀察輪邊緣上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是旋輪線，但車廂上觀察是一個(gè)圓，如圖4.1所示，又如在雨天觀察雨滴的運(yùn)動(dòng)，如果在地面上觀察（不計(jì)自然風(fēng)的干擾）雨滴鉛錘下落，而行駛的汽車上，雨滴在車窗上留下傾斜的痕跡，如圖4.2所示。

圖4.1點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)例圖4.2點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)例

從上面的兩個(gè)例子看出物體相對(duì)于不同參考系的運(yùn)動(dòng)是不同的，它們之間存在運(yùn)動(dòng)的合成和分解的關(guān)系。一般情況下，將研究的物體看成是動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)，其中建立在不動(dòng)物體上的坐標(biāo)系稱為定參考坐標(biāo)系（簡稱定系），如建立在地面上的坐標(biāo)系。另一個(gè)坐標(biāo)系是相對(duì)定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，稱為動(dòng)參考坐標(biāo)系（簡稱動(dòng)系）。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)可以看成是動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)系相對(duì)定系的運(yùn)動(dòng)的合成。上面的例子中，定系建立在地面上，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是旋輪線，動(dòng)系建立在車廂上，點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，而車廂是作平移的運(yùn)動(dòng)。即動(dòng)點(diǎn)的旋輪線可以看成圓的運(yùn)動(dòng)和車廂平移運(yùn)動(dòng)的合成。

研究點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)必須要選定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)參考坐標(biāo)系，三種運(yùn)動(dòng)，即一點(diǎn)、兩系三運(yùn)動(dòng)。一點(diǎn)即所研究的動(dòng)點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)物體上的點(diǎn)）；兩系即動(dòng)系（與動(dòng)點(diǎn)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)）和定系；三運(yùn)動(dòng)即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。下面說明一下這三個(gè)運(yùn)動(dòng)：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)即動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)即動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)即動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)。一般來講，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)看成是運(yùn)動(dòng)的合成，相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)看成是運(yùn)動(dòng)的分解，合成與分解是研究點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方面，切不可孤立看待，必須用聯(lián)系的觀點(diǎn)去學(xué)習(xí)。

動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系可以通過動(dòng)點(diǎn)在定參考坐標(biāo)系和動(dòng)參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換得到。以平面運(yùn)動(dòng)為例，設(shè)為定系，為動(dòng)系，為動(dòng)點(diǎn)，如圖4.3所示，圖4.3坐標(biāo)變換關(guān)系M點(diǎn)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

（4-1）M點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

（4-2）牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為

（4-3）由圖4-3得坐標(biāo)變換

（4-4）由此可見，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是由相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的。

例題4-1半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖4.4所示，已知輪心C的速度為

，試求輪緣上的點(diǎn)M絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)輪心C的運(yùn)動(dòng)方程和牽連運(yùn)動(dòng)方程。圖4.4

解：沿輪子滾動(dòng)的方向建立定系oxy，初始時(shí)設(shè)輪緣上的點(diǎn)M位于y軸上Mo處。在圖示瞬時(shí)，點(diǎn)M和輪心C的連線與CH所的夾角為

在輪心C建立動(dòng)系

，點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

（1）點(diǎn)M相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

（2）由式（2）知點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓。牽連運(yùn)動(dòng)為動(dòng)系

相對(duì)于定系oxy的運(yùn)動(dòng)，其牽連運(yùn)動(dòng)方程為

（3）其中，由于動(dòng)系作平移，因此動(dòng)系坐標(biāo)軸

與定系坐標(biāo)軸的夾角

。

由式(4-4)得點(diǎn)M絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

（4）點(diǎn)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為式（4）表示的旋輪線。例題4-2用車刀切削工件直徑的端面時(shí)，車刀沿水平軸z作往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，如圖4.5所示。設(shè)定系為oxyz，刀尖在oxy面上的運(yùn)動(dòng)方程為

，工件以勻角速度繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)系建立在工件上為

，試求刀尖在工件上畫出的痕跡。

圖4.5解：由題意知，刀尖為動(dòng)點(diǎn)，刀尖在工件上畫出的痕跡為動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖4.5得動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為xyy'x'OM

削去時(shí)間t，得動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡方程為則刀尖在工件上畫出的痕跡為圓。注意：若求三種運(yùn)動(dòng)的速度之間的關(guān)系，最直接的方法是式（4-4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可求出點(diǎn)的相對(duì)速度、牽連速度的絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系。

在了解上述三個(gè)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，下面研究點(diǎn)的三個(gè)速度。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度，用表示；動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度即相對(duì)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度，用表示；動(dòng)點(diǎn)的牽連速度即牽連點(diǎn)的速度，用表示。所謂牽連點(diǎn)即動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)。下面分析點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度三者之間的關(guān)系。圖4.6三種運(yùn)動(dòng)中矢徑的關(guān)系

如圖圖4.6所示，設(shè)為定系，為動(dòng)系，M為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)系的坐標(biāo)原點(diǎn)在定系中的矢徑為，動(dòng)點(diǎn)M在定系上的矢徑為，動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系上的矢徑為，動(dòng)系坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量為，，，牽連點(diǎn)為（動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)）在定系上的矢徑為，有如下關(guān)系：

（4-5）

（4-6）

（4-7）動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為

（4-8）動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)速度為

（4-9）將式（4-6）和（4-7）代入（4-5）中，因牽連點(diǎn)是動(dòng)系上的一個(gè)確定點(diǎn)，因此的三個(gè)坐標(biāo)，，是常量，得牽連速度

（4-10）從而得相對(duì)速度、牽連速度的絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系：

（4-11）

式（4-11）即為點(diǎn)的速度合成定理的公式表述。點(diǎn)的速度合成定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于在同一瞬時(shí)的相對(duì)速度和牽連速度的矢量和。或者說，點(diǎn)的相對(duì)速度、牽連速度、絕對(duì)速度三者之間滿足平行四邊形合成法則，即絕對(duì)速度由相對(duì)速度和牽連速度所構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線所確定。應(yīng)當(dāng)注意：（1）三種速度有三個(gè)大小和三個(gè)方向共六個(gè)要素，必須已知其中四個(gè)要素，才能求出剩余的兩個(gè)要素。因此只要正確地畫出上面三種速度的平行四邊形，即可求出剩余的兩個(gè)要素。（2）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇是關(guān)鍵，一般不能將動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系選在同一個(gè)參考體上。（3）動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)是任意的運(yùn)動(dòng)，可以是平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或者是較為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。

例題4-3汽車以速度

沿直線的道路行駛，雨滴以速度鉛直下落，如圖4.7所示，試求雨滴相對(duì)于汽車的速度。圖4.7

解：（1）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系動(dòng)點(diǎn)：淋在車上的雨滴M；定系:建立在地面上(以后不特殊說明定系都建立在地面上)；動(dòng)系:建立在汽車上。

（2）分析三種運(yùn)動(dòng)及速度絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，即雨滴的運(yùn)動(dòng)。其絕對(duì)速度為牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)，即汽車的運(yùn)動(dòng)。牽連速度相對(duì)運(yùn)動(dòng)：雨滴相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)，這是未知的，也是要求的。（3）作速度的平行四邊形由于絕對(duì)速度和牽連速度的大小和方向都是已知的，如圖4-7所示，只需將速度和矢量的端點(diǎn)連線便可確定雨滴相對(duì)于汽車的速度。故設(shè)雨滴相對(duì)于汽車速度與鉛垂線的夾角為

例題4-4如圖4.8所示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，T字形桿BC部分處于水平位置，DE部分處于鉛直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以勻角速度

繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r=10cm，試求當(dāng)曲柄OA與水平線的夾角

、

、

、

時(shí)，T形桿的速度

。圖4.8

解：（1）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系動(dòng)點(diǎn)：套筒A；動(dòng)系：T字形桿；

（2）運(yùn)動(dòng)及速度分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)，即套筒A的運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)速度大小為

絕對(duì)速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度

的方向。牽連運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，即T字形桿的運(yùn)動(dòng)。牽連速度為

。相對(duì)速度：直線運(yùn)動(dòng)，即套筒A相對(duì)T字形桿的運(yùn)動(dòng)，

。（3）作速度的平行四邊形速度關(guān)系如圖（4.8）所示，即將已知條件代入得

：

：

：

：

例題4-5曲柄OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其上套有小環(huán)M，而小環(huán)M又在固定的大圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)，大圓環(huán)的半徑為R，如圖4.9所示。試求當(dāng)曲柄與水平線成的角

時(shí)，小環(huán)M的絕對(duì)速度和相對(duì)曲柄OA的相對(duì)速度。解：（1）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系動(dòng)點(diǎn)：小環(huán)M。動(dòng)系：曲柄OA。（2）分析三種運(yùn)動(dòng)及速度，小環(huán)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是在大圓上的運(yùn)動(dòng)，因此小環(huán)M絕對(duì)速度垂直于大圓的半徑R；小環(huán)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是在曲柄OA上的直線運(yùn)動(dòng)，因此小環(huán)M相對(duì)速度沿曲柄OA并指向O點(diǎn)，牽連運(yùn)動(dòng)為曲柄OA的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小環(huán)M的牽連速度垂直于曲柄OA，如圖4.9所示，作速度的平行四邊形。即

圖4.9小環(huán)M的牽連速度為小環(huán)M的絕對(duì)速度為小環(huán)M的相對(duì)速度為

例題4-6如圖7.10a所示，半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并使滑槽內(nèi)的直桿AB上下移動(dòng)，設(shè)OAB在一條直線上，輪心C與O軸在水平位置，試求在圖示位置時(shí)，桿AB的速度。(b)

圖4-10a圖4-10b解：由于桿AB作平移，所以研究桿AB的運(yùn)動(dòng)只需研究其上A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即可。因此選桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，地面為定系。

動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是直桿AB的上下直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為凸輪的輪廓線，即沿凸輪邊緣的圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作速度的平行四邊形如圖4.10a所示。動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度為動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇可以是任意的。本題的另一種解法是：選凸輪邊緣上的點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，桿AB為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，絕對(duì)速度的方向垂直于OA，水平向右，絕對(duì)速度的大小為

動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿凸輪邊緣的曲線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的方向沿凸輪邊緣的切線，牽連運(yùn)動(dòng)為直桿AB上下的直線運(yùn)動(dòng)，作速度的平行四邊形如圖4.10b所示。桿AB的速度為動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度，即應(yīng)當(dāng)注意：（1）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系不能選在同一個(gè)物體上；（2）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系應(yīng)選在容易判斷其相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體上；否則會(huì)使問題變得混亂。（3）無特殊說明，定系應(yīng)選在地面上。

4.3點(diǎn)的加速度合成定理

4.3.1牽連運(yùn)動(dòng)為平移動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理

在圖4.11中，設(shè)

為定系，為動(dòng)系且作平移，為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度為圖4.11牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成

（4-12）動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度為

（4-13）

其中，，，為動(dòng)系坐標(biāo)，，的單位矢量，由于動(dòng)系作平移，故，，為常矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)均為零，

。將速度合成定理式（4-11）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度為

（4-14）牽連運(yùn)動(dòng)為水平移動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度和牽連加速度的矢量和。它與速度合成定理一樣滿足平行四邊形合成法則，即絕對(duì)加速度位于相對(duì)加速度和牽連加速度所構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線位置。在求解時(shí)也要畫加速度平行四邊形來確定三種加速度之間的關(guān)系。

第4章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)例題4-7如圖4.12a所示，曲柄OA以勻角速度繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，丁字形桿BC沿水平方向往復(fù)平動(dòng)，滑塊A在鉛直槽DE內(nèi)運(yùn)動(dòng)，OA=r，曲柄OA與水平線夾角為

，試求圖示瞬時(shí)，桿BC的速度及加速度

。圖4.12a圖4.12b圖4.12c

解：滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，丁字形桿BC為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是曲柄OA繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為滑塊A在鉛直槽DE內(nèi)的直線運(yùn)動(dòng)；牽連速度為丁字形桿BC沿水平方向的往復(fù)平移

第4章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)（1）求桿BC的速度作速度的平行四邊形，如圖4.12b所示。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為桿BC的速度為（2）求桿BC的加速度作加速度的平行四邊形，如圖4.12c所示。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度為桿BC的加速度為

例題4-8如圖4.13a所示的平面機(jī)構(gòu)中，直桿O1A、O2B平行且等長，分別繞O1、O2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直桿的A、B連接半圓形平板，動(dòng)點(diǎn)M沿半圓形平板ABD邊緣運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)為點(diǎn)B。已知O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm，

，

，試求當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。

圖4.13a圖4.13b

圖4.13c

解：根據(jù)題意，選半圓形平板ABD為動(dòng)系，地面為定系。由于直桿O1A、O2B平行且等長，則動(dòng)系A(chǔ)BD作平移，動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度為

（cm/s）動(dòng)點(diǎn)M牽連速度的方向垂直于直桿O1A，沿角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。由于動(dòng)系作曲線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M的牽連加速度分為切向和法向加速度，即

（cm/s2）動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)速度為同理，動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)加速度也分為切向和法向加速度，即當(dāng)

時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)軌跡為

（cm）而

（cm）則當(dāng)

時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰巧運(yùn)動(dòng)到半圓形平板ABD最高點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)速度的方向?yàn)樗较蜃?，?/p>

（cm/s）

（cm/s2）

（cm/s2）此時(shí)直桿O1A與水平線的夾角為

（1）動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度如圖4.13b所示，由速度合成定理的矢量形式向直角坐標(biāo)軸x、y上投影，得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度在坐標(biāo)軸上的投影為

（cm/s）

（cm/s）從而得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為

（cm/s）

（2）動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度如圖4.13c所示，由牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理的矢量形式向直角坐標(biāo)軸x、y上投影，得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度在坐標(biāo)軸上的投影為

（cm/s2）

（cm/s2）從而得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度為

（cm/s2）

4.3.2牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理

設(shè)動(dòng)系

相對(duì)于定系

作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度矢量為，角加

速度矢量為，如圖4.14所示，動(dòng)系坐標(biāo)軸的三個(gè)單位矢量為，

，，在定系

中是變矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矢量端點(diǎn)的速度.圖4.14牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成即

（4-15）

動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度為動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)速度為動(dòng)點(diǎn)M的牽連加速度為動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)加速度為由速度合成定理

（4-16）

式（4-16）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為即

（4-17）

（4-18）式中，稱為科氏加速度，是科利澳里加速度在1832年給出的，當(dāng)動(dòng)系作平移時(shí)，其角速度矢量為

，科氏加速度

，式（4-18）就轉(zhuǎn)化為式（4-14）。

式（4-18）為牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理適合動(dòng)系作任何運(yùn)動(dòng)的情況，此時(shí)動(dòng)系的角速度矢量可以分解為定系三個(gè)軸方向的角速度矢量，，即可。例題4-9刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖4.15a所示。曲柄OA與滑塊A用鉸鏈連接，曲柄OA以勻角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊A在搖桿O1B上滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)曲柄OA=r，兩個(gè)軸間的距離OO1=l，試求當(dāng)曲柄OA在水平位置時(shí)，搖桿O1B的角速度和角加速度。

圖4.15a圖4.15b

解：根據(jù)題意，選滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，搖桿O1B為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)A絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為曲柄OA的圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A相對(duì)運(yùn)動(dòng)沿?fù)u桿O1B的直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)為搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）求搖桿O1B的角速度當(dāng)曲柄OA在水平位置時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度沿圓周的切線鉛錘向上，動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)速度沿?fù)u桿O1B，牽連運(yùn)動(dòng)垂直搖桿O1B，作速度的平行四邊形，如圖4.15a所示。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為

（1）動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度為

（2）利用速度的平行四邊形的三角關(guān)系有

（3）其中

，

，

，

將式（1）和式（2）代入式（3）得搖桿O1B繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，

（4）轉(zhuǎn)向與曲柄OA的角速度相同。動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)速度為

（5）將式（1）代入式（5）得

（6）（2）求搖桿O1B的角加速度由于動(dòng)系作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此求搖桿O1B的角加速度，應(yīng)選擇牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理。即

（7）

動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度分為切向加速度和法向加速度，但由于曲柄OA以勻角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，所以其角加速度

，則有

（8）動(dòng)點(diǎn)A的牽連加速度為

（9）

（10）動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)加速度大小未知，方向沿?fù)u桿O1B是已知的。動(dòng)點(diǎn)A的科氏加速度由式（4-18）的矢量形式，大小為

（11）將式（4）和式（6）代入式（11）得

（12）

方向按右手螺旋法則來確定，如圖4.15b所示。式（7）的具體表達(dá)式為

（13）由圖4.15b所示，將式（13）向軸投影，得

（14）將式（8）、（10）和（11）代入式（14）得搖桿O1B的角加速度，即負(fù)號(hào)說明原假設(shè)方向與實(shí)際相反，如圖4.15b所示，應(yīng)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。例題4-10例題4-6中求桿AB的加速度。圖4.16解：選桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，地面為定系。應(yīng)用牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理，即

（1）

下面分析加速度：動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度：由于動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是作直線運(yùn)動(dòng)，故其加速度的方向是已知的，大小是未知的。動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)加速度：動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿凸輪邊緣的圓周運(yùn)動(dòng)，故其加速度分為切向加速度和法向加速度。由前面例題求得相對(duì)速度為

（2）則相對(duì)加速度的法向加速度為

（3）相對(duì)加速度的切向加速度的方向沿圓輪的切線，指向任意；的大小是未知的。牽連加速度：因?yàn)橥馆喴詣蚪撬俣壤@O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以牽連加速度為法向加速度，切向加速度，即

（4）科氏加速度：由式（4-18）的矢量形式得其大小為

（5）將式（2）代入式（5）得

（6）方向按右手螺旋法則來確定，如圖4.16所示。式（1）的具體表達(dá)式為

（7）由圖4.16所示，將式（7）向x軸投影，得

（8）其中，

，將式（3）、（4）和（6）代入式（8）

得桿AB的加速度為

4.4本章小結(jié)

1.建立兩種坐標(biāo)系定參考坐標(biāo)系：建立在不動(dòng)物體上的坐標(biāo)系，簡稱定系。動(dòng)參考坐標(biāo)系：建立在運(yùn)動(dòng)物體上的坐標(biāo)系，（簡稱動(dòng)系）。2.動(dòng)點(diǎn)的三種運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)。牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考坐標(biāo)系相對(duì)于定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。3.點(diǎn)的速度合成定理在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和牽連速度的矢量和。

4.點(diǎn)的加速度合成定理（1）牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度和牽連加速度的矢量和。在應(yīng)用速度合成定理和牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，應(yīng)畫速度合成和加速度合成的平行四邊形，使絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度位于平行四邊形對(duì)角線的位置。只有畫出平行四邊形，才能確定三種運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。（2）牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。在應(yīng)用牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，一般采用投影法求解。

4.4習(xí)題

4-1.如圖所示，點(diǎn)M在平面

中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

t以s計(jì)，、以mm計(jì)，平面

繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

（rad），試求點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。4-2.如圖所示，汽車A沿半徑為150m的圓弧道路，以勻速=45km/h行駛，汽車沿B直線道路行駛，圖示瞬時(shí)汽車B的速度為=70km/h，加速度為=－3m/s2。試求汽車A相對(duì)汽車B的速度和加速度。

習(xí)題4-1圖習(xí)題4-2圖

4-3.如圖所示的兩種機(jī)構(gòu)（a）和（b）中，已知

，試求圖示瞬時(shí)桿

的角速度。

習(xí)題4-3圖

習(xí)題4-4圖4-4.如圖所示的機(jī)構(gòu)中，桿AB以勻速v沿鉛直導(dǎo)槽向上運(yùn)動(dòng)，搖桿OC穿過套筒A，OC=a，導(dǎo)槽到O的水平距離為l