第5章 測量誤差的基本知識

第五章

測量誤差基礎知識一.產(chǎn)生測量誤差的原因一.產(chǎn)生測量誤差的原因產(chǎn)生測量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗,等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風,大氣折光)

結論：觀測誤差不可避免(粗差除外)觀測條件:

上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進行的各次觀測（一般指相同等級儀器、相同作業(yè)方法，這種觀測值也稱等精度觀測值），稱為等精度觀測?！?-1測量誤差概述二、測量誤差的分類與對策（一）測量誤差分類1.系統(tǒng)誤差:在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例：誤差

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺溫度誤差Dt

水準儀視準軸誤差i

經(jīng)緯儀視準軸誤差C……處理方法計算改正計算改正操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均)

……系統(tǒng)誤差具有累積性，對觀測結果的影響很大，但它們的符號和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當?shù)拇胧┫驕p弱其影響。通?？刹捎靡韵氯N方法：

1）測定系統(tǒng)誤差的大小，對觀測值加以改正

2）采用對稱觀測的方法

3）儀器檢校2.偶然誤差:在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差。粗差：也稱為錯誤，是由于觀測者使用儀器不正確或疏忽大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等造成的錯誤，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動引起的差錯。3、粗差粗差在測量結果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施或進行多余觀測。測量誤差可以通過“多余觀測”反映出來。（二）處理原則粗差:細心，多余觀測系統(tǒng)誤差:找出規(guī)律，加以改正偶然誤差:多余觀測，制定限差如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：對同一量觀測了n次觀測值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評價數(shù)據(jù)的精度？三.偶然誤差的特性

1.偶然誤差的定義：

設某一量的真值為X，對該量進行了n次觀測，得n個觀測值，則產(chǎn)生了n個真誤差：真誤差真值觀測值例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內角，三角形內角和的誤差i為:i=180–(i+i+i)其結果如表6-1，圖6-1,分析三角形內角和的誤差i的規(guī)律。誤差區(qū)間負誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然誤差的統(tǒng)計

有界性：偶然誤差應小于限值。趨向性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均值的極限趨近于零。偶然誤差的特性

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差往往是同時存在的。當觀測值中有顯著的系統(tǒng)誤差時，偶然誤差就居于次要地位，觀測誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)誤差的性質；反之，呈現(xiàn)出偶然誤差的性質。因此，對一組剔除了粗差的觀測值，首先應尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或將其控制在允許的范圍內，然后根據(jù)偶然誤差的特性對該組觀測值進行數(shù)學處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值；同時，評定觀測結果質量的優(yōu)劣，即評定精度。這項工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。結論3.平均誤差2.中誤差:在等精度觀測列中，各真誤差平方的平均數(shù)的平方根，稱為中誤差，也稱均方誤差，即中誤差的幾何意義：偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標?！?-2衡量觀測值精度的標準1.標準差：它要求觀測個數(shù)無限多次、還需知道真值；實際工作中無法實現(xiàn)。按觀測值的真誤差計算中誤差m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6對于衡量精度來說，有時單靠中誤差還不能完全表達觀測結果的質量。例如，測得某兩段距離，一段長200m，另一段長1000m，觀測值的中誤差均為±0.2m

。從表面上看，似乎二者精度相同，但就單位長度來說，二者的精度并不相同。這時應采用另一種衡量精度的標準，即相對誤差。2相對誤差相對誤差：是中誤差與觀測值之比，是個無量綱數(shù)，在測量上通常將其分子化為1。即用K=1/N的形式來表示。上例前者的相對中誤差為0.2/200=1/1000，后者為0.2/1000=1/5000。顯然，相對中誤差愈?。ǚ帜赣螅?，說明觀測結果的精度愈高，反之愈低。相對中誤差的分子也可以是閉合差（如量距往返量測的兩個結果的較差）或容許誤差，這時分別稱為相對閉合差及相對容許誤差。與相對誤差相對應，中誤差、極限（容許）誤差等稱為絕對誤差。返回三、極限誤差在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值，這個限值就是極限誤差。標準差或中誤差是衡量觀測精度的一種指標，它不能代表個別觀測值真誤差的大小。四、容許誤差前者要求較寬，后者要求較嚴，觀測值大于實施誤差的偶然誤差，應舍去，并重測。在實際測量工作中，以三倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差，即在對精度要求較高時，常取二倍中誤差作為容許誤差，即§5.3誤差傳播定律在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測到的，而需要由其它的直接觀測值按一定的函數(shù)關系計算出來。即觀測其它未知量，并通過一定的函數(shù)關系間接計算求得的。非線性函數(shù)由于獨立觀測值存在誤差，導致其函數(shù)也必然存在誤差，這種關系稱為誤差傳播。表述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)誤差傳播定律：一.觀測值的函數(shù)和或差函數(shù)例：高差平均距離實地距離三角邊線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標增量一般函數(shù)……倍數(shù)函數(shù)：Z=KX則例1： 在1：500地形圖上量得某兩點間的距離 d=234.5mm, 其中誤差md=±0.2mm

，求該兩點的 地面水平距離D的值及其中誤差mD解:§5.3.1倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)Z=X1+X2

且X1、X2獨立例2： 已知當水準儀距標尺75m時，一次讀數(shù)中誤差為 （包括照準誤差、氣泡置中誤差及水準標尺刻劃中誤差），若以三倍中誤差為容許誤差，試求普通水準測量觀測n站所得高差閉合差的容許誤差?！?.3.2和函數(shù)解：水準測量每一站高差：則每站高差中誤差觀測n站所得總高差則n站總高差h的總誤差若以三倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差容許誤差為例3：用DJ6型光學經(jīng)緯儀觀測角度一測回的測角中誤差解：∵已知DJ6型光學經(jīng)緯儀一個測回一個方向的中 誤差mα=±6″

∴由得∴線性函數(shù)Z=K1X1+K2X2+….+KnXn+K0例： 設對某一個三角形觀測了其中α、β兩個角， 測角中誤差分別為mα=±3.5″，mβ=±6.2″解：§5.3.3線性函數(shù)現(xiàn)按公式γ=180°-α-β

求得γ

角，試求γ角的中誤差mγ

一般函數(shù)§5.3.4一般函數(shù)例4：函數(shù)式，測得求的中誤差。解：返回觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術平均值

例1已知某矩形長a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。解：例2量得地形圖上兩點間長度

=168.5mm0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式例3已知有求：錯誤例3已知

有；求：例4

在地面上有一矩形ABCD，AB＝40.38m±0.03m，BC＝33.42m±0.02m，求面積及其中誤差。解設AB＝a＝40.38m，ma＝±0.03m，BC＝

b＝33.42m，mb＝±0.02m

面積計算如下：

對函數(shù)式求其偏導數(shù)得面積中誤差根據(jù)公式得：例5

如圖5-1，測得AB的垂直角為α＝30?00′00″±30″，平距AC為D＝200.00m±0.05m，求A、B兩點間高差h及其中誤差mh。解

A、B兩點間高差為對函數(shù)式求其偏導數(shù)得

由式（5-31），得高差的中誤差為解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例6：要求三角形最大閉合差

，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差。DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點的點位中誤差：例7：已知直線MP的坐標方位角=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差，距離中誤差，求由此引起的P點的坐標中誤差、，以及P點的點位中誤差。測量平差：對一系列帶有多余觀測值的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法，消除它們之間的不符值，求出未知量的可靠值，并評定觀測結果的精度。而未知量的這個最可靠值叫最或是值。如果對一個未知量的直接觀測值進行平差，就叫直接觀測平差?！?.4等精度直接觀測平差§5.4.1求最或是值設對某量進行了n次同精度觀測，其真值為X，觀測值為，相應的真誤差為則...

相加除以n式中：L為算術平均值根據(jù)偶然誤差第四個特征， 即當觀測次數(shù)n無限多時，算術平均值就趨向于未知量的真值。當觀測次數(shù)有限時，可以認為算術平均值是根據(jù)已有的觀測數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似值，稱為最或是值或最或然值，用最或是值作為未知量真值的估值?！?.4.2評定精度1、觀測值中誤差同精度觀測值中誤差為：由于未知量的真值X無法確知，真誤差

也是未知數(shù)，故不能直接用上式求出中誤差。實際工作中，多利用觀測值的改正數(shù)（其意義等同于最或是誤差）來計算觀測值的中誤差。改正數(shù)：由改正數(shù)可以計算同精度觀測值中誤差：改正值的特性2、最或是值的中誤差設對某量進行了n次同精度觀測，其觀測值為，觀測值中誤差為m，最或是值為L。有按中誤差傳播關系式故例：設對某角進行了5次同精度觀測，觀測結果如下表，試求其觀測值的中誤差，及最或是值的中誤差。觀測值+30+1-3-190191觀測值中誤差最或是值中誤差為返回小結一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則似真值：二、中誤差二、中誤差似真誤差例6距離誤差例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差；③算術平均值的中誤差；④算術平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數(shù)表示。*§5-5不等精度直接觀測平差在對某量進行不同精度觀測時，各觀測結果的中誤差不同。顯然，不能將具有不同可靠程度的各觀測結果簡單地取算術平均值作為最或是值并評定精度。此時，需要選定某一個比值來比較各觀測值的可靠程度，此比值稱為權。不等精度的直接觀測，考慮的是觀測條件不同的時候，而不同條件下觀測條件的可靠性不同，這個可靠性可以用權值P來表達。而不等精度觀測值，它們的最或是值是這組觀測值的加權平均值。§5.5.1權的定義設一組不同精度觀測值為，相應的中誤差為，選定任一大于零的常數(shù)λ

，定義權為：一定的觀測條件，對應著一定的誤差分布，而一定的誤差分布對應著一個確定的中誤差。對不同精度的觀測值來說，顯然中誤差越小，精度越高，觀測結果越可靠，因而應具有較大的權。故可以用中誤差來定義權。稱為觀測值的權。對一組已知中誤差的觀測值而言，選定一個λ值，就有一組對應的權。由式（6-17）可以定出個觀測值的權之間的比例關系為§5.5.2求不同精度觀測值的最或是值 ---加權平均值設對某量進行了n次不同精度觀測，觀測值為，其相應的權為，測量上取加權平均值為該量的最或是值，即§5.5.3不同精度觀測的精度評定1、最或是值的中誤差2、單位權觀測中誤差例：在水準測量中，已知從三個已知高程點A、B、C出發(fā)，測量E點的三個高程觀測值，為各水準路線的長度，求E點高程的最或是值及其中誤差。解：取各水準路線長度的倒數(shù)乘以C為權，并令C=1，計算如下表測段高程觀測值

/m水準路線長度AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6E點高程的最或是值為單位權觀測值中誤差為最或是值中誤差為返回加權平均值標準差的算例例：對