數(shù)字信號(hào)處理-z變換(new1)

第二章z變換與離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT)2.1本章要點(diǎn)Z變換定義序列特性對(duì)收斂域的影響Z變換的性質(zhì)離散時(shí)間傅立葉變換（序列的傅立葉變換)利用z變換分析信號(hào)與系統(tǒng)的頻域特性2.2z變換的定義與收斂域一、z變換定義二、z變換收斂域只有當(dāng)，z變換才有意義。此時(shí)的取值范圍稱為z變換的收斂域1、有限長(zhǎng)序列：收斂域?yàn)椋豪?、右邊序列：時(shí)，時(shí)，其z變換為：收斂域：此時(shí)稱該系列為因果序列例如3、左邊序列：時(shí)，其z變換為：收斂域：例如：4、雙邊序列：為任意值時(shí)，其z變換為：收斂域：第一項(xiàng)收斂域第二項(xiàng)收斂域如果則收斂域?yàn)榉駝t不存在z變換圖2-5雙邊序列及其收斂域舉例：，求收斂域及零點(diǎn)、極點(diǎn)解（1）因果序列：(2)左邊序列：零點(diǎn)z=0，極點(diǎn)z=0.5零點(diǎn)z=0，極點(diǎn)z=0.52、假如的z變換代數(shù)表示式是下式，問(wèn)可能有多少不同的收斂域，它們分別對(duì)應(yīng)什么序列？零點(diǎn)極點(diǎn)有三種收斂域：左邊序列雙邊序列右邊序列解：2.3z反變換三種方法：圍線積分法（留數(shù)法），部分分式展開(kāi)法，長(zhǎng)除法*一、圍線積分法（留數(shù)法）若函數(shù)收斂域?yàn)閯t使用時(shí)，分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高二次或二次以上收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的反時(shí)針閉合圍線例：已知求三種收斂域下z的反變換解：（1）在收斂域中作圍線c,當(dāng)在圍線內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)當(dāng)圍線內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)和一個(gè)高階極點(diǎn)故此時(shí)改求圍線外留數(shù)。1/44Cn<=-2在收斂域中作圍線c,當(dāng)在圍線內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，故，當(dāng)，圍線內(nèi)有一個(gè)高階極點(diǎn)，故此時(shí)改求圍線外留數(shù)。1/44Cn<=-2（2）（3）在收斂域中作圍線c,當(dāng)在圍線內(nèi)兩個(gè)一階極點(diǎn)。當(dāng)在圍線內(nèi)兩個(gè)一階極點(diǎn)和一個(gè)高階極點(diǎn)，現(xiàn)改求圍線外留數(shù)，由于圍線外無(wú)極點(diǎn)，故此時(shí)。1/44Cn<=-2二、部分分式展開(kāi)法一階極點(diǎn)用部分分式展開(kāi)法簡(jiǎn)便。部分分式法：若X(z)用z的正冪表示，則按X(z)/z寫成部分分式，然后求各極點(diǎn)的留數(shù)，最后利用已知的變換關(guān)系求z反變換。例：設(shè)試用部分分式法求z反變換。解：右邊序列例：有一右邊序列

，其

變換為將上式作部分分式展開(kāi)(用

表示)，由展開(kāi)式求

(b)將上式表示成

的多項(xiàng)式之比，再作部分分式展開(kāi)，由展開(kāi)式求

,并說(shuō)明所得到的序列與(a)所得的是一樣的。

解：(a)因?yàn)榍襵(n)是右邊序列

所以

(b)

三、長(zhǎng)除法*：當(dāng)收斂域，為因果序列，分子分母應(yīng)按z的降冪排列，如果的收斂域?yàn)?，則為左邊序列，分子分母應(yīng)按z的升冪排列。例：求反變換解：由于是因果序列，分子分母應(yīng)按z的降冪排列?！?2.4z變換的基本性質(zhì)和定理一、線性：若則且收斂域?yàn)閮尚蛄械闹丿B部分如果線性相加后有零點(diǎn)、極點(diǎn)抵消，則收斂域可能擴(kuò)大例：求的z變換解：例：求的z變換二、序列的移位若則例：若則例：若則注意：移位后z=0是否為極點(diǎn)，是否為極點(diǎn)。單邊z變換：將右移m位后，則有當(dāng)m=1,三、乘以指數(shù)序列（z域尺度變換）若則例：四、序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）若則例：五、共軛序列設(shè)是復(fù)序列，其共軛序列為。若則六、翻褶序列例：有一信號(hào),它與另兩個(gè)信號(hào)和的關(guān)系是:

其中

，

已知

，

解：根據(jù)題目所給條件可得：

而

所以

七、初值定理對(duì)于因果序列，有

例：八、終值定理對(duì)于因果序列，且極點(diǎn)在單位園以內(nèi)，（最多在有一階極點(diǎn)）例：九、有限項(xiàng)累加特性對(duì)于因果序列，有則十、序列卷積和（時(shí)域卷積和定理）設(shè)：則十一、序列相乘（z域復(fù)卷積定理）（略）十二、帕塞瓦定理實(shí)部共軛對(duì)稱虛部共軛反對(duì)稱2.6.1利用z變換求解差分方程最一般的情況是考慮起始狀態(tài)，激勵(lì)（輸入）為雙邊序列。對(duì)方程兩邊求單邊z變換：（1）若輸入x(n)=0,系統(tǒng)只有初始狀態(tài)不為零，則方程右邊為0，這時(shí)輸出稱為零輸入響應(yīng)，用表示。此時(shí)方程變?yōu)椋毫爿斎腠憫?yīng)（2）若初始狀態(tài)只有輸入序列x(n)作用下所得到的輸出序列稱為零狀態(tài)響應(yīng)此時(shí)方程變?yōu)椋毫銧顟B(tài)響應(yīng)H（z)是零初始狀態(tài)下的單位沖激響應(yīng)的z變換，它完全由系統(tǒng)特性所決定，稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)的總響應(yīng)：例：若離散時(shí)間系統(tǒng)可用以下一階差分方程表示：設(shè)輸入，初始條件①，求輸出響應(yīng)解（1）由得由所以：（2）2.2離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT)——序列傅里葉變換本節(jié)要點(diǎn)：（1）離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT)——序列傅里葉變換（2）離散時(shí)間傅里葉反變換（IDTFT)——序列傅里葉反變換（3）序列的傅立葉變換的收斂性——DTFT的存在條件（4）序列傅里葉變換的主要性質(zhì)（5）周期性序列的傅里葉變換2.2離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT)——序列傅里葉變換2.2.1序列傅里葉變換定義（2.2.1）式（2.2.1）表示序列的傅里葉正變換（離散時(shí)間傅里葉變換——DTFT)（2.2.2）式（2.2.2）表示的傅里葉正變換（離散時(shí)間傅里葉變換——DTFT)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：2.2.2序列的傅立葉變換的收斂性——DTFT的存在條件此時(shí)正變換存在且連續(xù)——序列x(n)絕對(duì)可和是其傅里葉變換存在的充分條件（1）當(dāng)時(shí)，收斂域包含單位圓收斂方式：（2）——序列x(n)絕對(duì)平方可和也是其傅里葉變換存在的充分條件收斂方式：（3）兩個(gè)條件（序列的絕對(duì)可和及平方可和）是傅里葉變換存在的充分條件，不滿足這兩個(gè)條件的某些序列（例如周期性序列、單位階躍序列等），只要引入沖激函數(shù)（奇異函數(shù)），則也可得到它們的傅里葉變換。例：求矩形序列的DTFT。其中：MATLAB程序：clc;clearall;N=5;n=-10:10;x=(n>=0).*(n<=4);omega=-pi:0.01*pi:pi;X=sin(N/2*omega)./sin(0.5*omega).*exp(-i*(N-1)./2*omega);absX=abs(X);phaseX=angle(X);subplot(311);stem(n,x,'.');title('x(n)');gridon;subplot(312);plot(omega,absX);title('abs(X)');gridon;subplot(313);plot(omega,phaseX);title('angle(X)');gridon;序列：離散、非周期信號(hào)幅頻：連續(xù)、偶函數(shù)相頻：連續(xù)、奇函數(shù)MATLAB結(jié)果圖：2.2.3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)：由于序列傅里葉變換是系列在單位圓上z變換轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)的（此時(shí)的z變換收斂域應(yīng)包含單位圓）。即：故序列傅里葉變換的主要性質(zhì)皆可由z變換的主要性質(zhì)得出。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：（1）線性：（2）序列的移位：例：設(shè)求：（1）（2）的序列傅里葉變換解：（2）（1）因?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?，包含單位圓所以（3）乘以整數(shù)序列(4)乘以復(fù)指數(shù)系列（調(diào)制性）例：設(shè)求：（1）（2）的序列傅里葉變換解：（1）（2）因?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)椋瑔挝粓A所以（5）時(shí)域卷積定理例：設(shè)求：解：6、頻域卷積定理7、序列的線性加權(quán)8、帕斯瓦定理9、序列的反褶：例：設(shè)求：的序列傅里葉變換解：（1）（2）（10）序列的共軛設(shè)是如下圖所示的信號(hào)的傅里葉變換，不必求出，試完成下列計(jì)算,(a)

(b)

(c)

(d)-3-2-1012345123-14-354nx(n)解：由帕塞瓦爾公式可得：返回∵

∴即由帕塞瓦爾公式可得：返回2、已知對(duì)于以下序列，利用性質(zhì)試求其DTFT,即（1）（2）解（1）返回（2）返回思考：是否存在？2.2.5周期性序列的傅里葉變換周期性序列由于不滿足絕對(duì)可和或絕對(duì)平方可和，需引入沖激函數(shù)，才可求它的傅里葉變換。（1）復(fù)指數(shù)系列（在一定條件下才是時(shí)域周期序列）設(shè)則推廣：2、常數(shù)序列的傅里葉變換對(duì)設(shè)則x(n)012345-5-4-3-2-1….….n….….13、周期為N的單位抽樣序列串的傅里葉變換對(duì)設(shè)（2）（1）x(n)0N2N3N4N5N-5N-4N-3N-2N-N….….n1….….4、一般性周期為N的周期性序列的傅里葉變換設(shè)為的一個(gè)周期中的有限長(zhǎng)序列。則令(2.2.72)(2.2.72)式中的由下式?jīng)Q定：（2.2.75）（2.2.76）周期序列頻譜也可用傅里葉級(jí)數(shù)表示：一些常用的序列傅里葉變換對(duì)：序列序列傅里葉變換1序列序列傅里葉變換2.5、序列的z變換與連續(xù)信號(hào)的拉氏變換、傅立葉變換的關(guān)系令映射關(guān)系S用直角平面坐標(biāo)

，z用極坐標(biāo)1、與的對(duì)應(yīng)關(guān)系2、與關(guān)系單位園上序列的z變換為序列的傅立葉變換11/T1/T(r=1)2.7傅立葉變換的一些對(duì)稱性質(zhì)1、共軛對(duì)稱序列：如果是共軛對(duì)稱序列如果實(shí)序列：，稱為偶序列2、共軛反對(duì)稱序列：如果是共軛反對(duì)稱序列如果實(shí)序列：，稱為奇序列任意序列若為實(shí)序列，且且偶函數(shù)奇函數(shù)2.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)：LSI系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)

稱為L(zhǎng)SI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。的系統(tǒng)函數(shù)稱為L(zhǎng)SI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)單位園上一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)：下列三條之一滿足均為L(zhǎng)SI穩(wěn)定系統(tǒng)收斂域包含單位園存在且連續(xù)因果系統(tǒng)：：因果穩(wěn)定系統(tǒng)：：二、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系：LSI系統(tǒng)可用若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，對(duì)差分方程兩邊求z變換：為零點(diǎn)，為極點(diǎn)。確定系統(tǒng)的性質(zhì)，應(yīng)根據(jù)及收斂域來(lái)確定設(shè)N>M:三、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義研究線性系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)或正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的頻域表示法。的單位抽樣響應(yīng)輸入輸出當(dāng)輸入為正弦或復(fù)指數(shù)序列，輸出為同頻的復(fù)指數(shù)序列或正弦序列，其幅度為輸入幅度與頻率響應(yīng)幅度相乘，相位為輸入相位與頻率響應(yīng)相位相加。四、頻率響應(yīng)的幾何確定法利用頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系：（z域收斂域一定要包含單位園）其中稱為零點(diǎn)向量幅度其中稱為極點(diǎn)向量幅度圖2-19頻率響應(yīng)的幾何解釋(a)幾何解釋；

(b)頻率響應(yīng)的幅頻特性曲線例：求因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，頻率響應(yīng)幅頻特性，并判斷該濾波器為高通、低通、帶通、帶阻濾波器該系統(tǒng)穩(wěn)定，收斂域包含單位園，頻率響應(yīng)根據(jù)極點(diǎn)位置確定濾波器性質(zhì)：0<a<1無(wú)限長(zhǎng)IIR低通濾波器序列變換緩慢幅值最大幅值最小-1<a<0：a0-11012345幅值最大幅值最小序列變換最快無(wú)限長(zhǎng)IIR高通濾波器例、設(shè)系統(tǒng)的差分方程為求其幅頻響應(yīng)解：零點(diǎn)：M-1個(gè)：極點(diǎn)：一個(gè)（M-1階）：z=0該系統(tǒng)收斂域：穩(wěn)定因果系統(tǒng)例M=8令1>a>0有限長(zhǎng)FIR濾波器例：已知有傅里葉變換，用表示下列信號(hào)的傅里葉變換。(a)

(b)

(c)解(a)因?yàn)?b)(c)例.已知用下列差分方程描述的一個(gè)線性移不變因果系統(tǒng)

(a)求這個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出其零極點(diǎn)圖并指出其收斂區(qū)域；

(b)求此系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；

(c)此系統(tǒng)