第二章 古典概型和幾何概型

2.1

古典概型與概率從直觀上來(lái)看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？第二章隨機(jī)事件的概率某人向目標(biāo)射擊，以A表示事件“命中目標(biāo)”，P（A）=？?(一）頻率定義事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).2.1頻率與概率歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005

概率的統(tǒng)計(jì)定義：概率是頻率的穩(wěn)定值,常常用于概率的近似計(jì)算，是非常有用的.但要注意，試驗(yàn)次數(shù)要足夠多.實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率概率的三條公理5若某實(shí)驗(yàn)E滿足1.有限性：樣本空間＝{w1,w2,…,wn};2.等可能性：（公認(rèn)）P(w1)=P(w2)=…=P(wn).則稱E為古典概型也叫等可能概型。2.2古典概型設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)，以N()記樣本空間

中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)古典概型中的概率:(1)0

P(A)1；(2)P(

)＝1；P()=0(3)對(duì)任意一列兩兩互斥事件

有.二、古典概型的幾類基本問(wèn)題乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。有重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.無(wú)重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，共有種取法.1、抽球問(wèn)題

例1

設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是在實(shí)際中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問(wèn)題均可化為隨機(jī)抽球問(wèn)題。我們選擇抽球模型的目的在于使問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景。2、分球入盒問(wèn)題例2將3個(gè)球隨機(jī)地放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN)，則每盒恰有一球的概率是：某班級(jí)有n個(gè)人(n365)，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？?3.分組問(wèn)題例3

30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B:3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個(gè)球(i=1,…m)，共有分法：4隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題例4

從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè),(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率

(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率

(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率解:N()=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25（3）當(dāng)時(shí)，僅僅第一盒為空的概率22解記問(wèn)題（1）、（2）涉及的隨機(jī)事件分別為.

所以發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)不同的球落入不同的盒子，因此有利于的樣本點(diǎn)數(shù)為不可重復(fù)排列數(shù)；.第一盒的個(gè)球自來(lái)自個(gè)球的總體，一共有種不同選擇；當(dāng)?shù)谝缓械膫€(gè)球選定后，剩下的，個(gè)球落入剩下的個(gè)盒子中，其球在盒子的分布總數(shù)為.最后得到

.的樣本點(diǎn)數(shù)為因而有利于所以，樣本點(diǎn)總數(shù)為（3）第一盒為空，則有一盒有兩球，從個(gè)球中選兩球，有種方法，再?gòu)膫€(gè)盒子中選一個(gè)放這兩球，有種方法，剩下的個(gè)球放入剩下的個(gè)盒中，共有種古典概型概率的定義及性質(zhì)隨機(jī)取球問(wèn)題隨機(jī)分球問(wèn)題隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題幾何概型設(shè)Ω為試驗(yàn)E的樣本空間，若①試驗(yàn)的樣本空間Ω是直線上某個(gè)區(qū)間，或者面、空間上的某個(gè)區(qū)域，從而含有無(wú)限多個(gè)樣本點(diǎn);②每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生具有等可能性

;

則稱E為幾何概型。幾何概型概率的定義

設(shè)試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能落入?yún)^(qū)域Ω上的隨機(jī)點(diǎn)M，且D含在Ω內(nèi),則M點(diǎn)落入子域D(事件A)上的概率為:幾何概型

(等可能概型的推廣)例某人的表停了，他打開(kāi)收音機(jī)聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問(wèn)他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率.9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘

及

在

是區(qū)間時(shí)，表示相應(yīng)的長(zhǎng)度；在

是平面或空間區(qū)域時(shí)，表示相應(yīng)的面積或體積．注：幾何概率的性質(zhì)：非負(fù)性規(guī)范性兩兩互不相容，則例1

兩船欲停靠同一個(gè)碼頭,設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的.如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí),試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.解:

設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為x，0x<24

船2到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為y，0y

<24設(shè)事件A表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭．xy2424y=xy=x+1y=x-2注：用幾何概型可以回答“概率為1的事件為什么不一定發(fā)生?”這一問(wèn)題.如圖，設(shè)試驗(yàn)E為“隨機(jī)地向邊01xY1長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)黃、藍(lán)兩個(gè)三角形投點(diǎn)”事件A為“點(diǎn)投在黃、藍(lán)兩個(gè)三角形內(nèi)”

,求由于點(diǎn)可能投在正方形的對(duì)角線上,所以事件A未必一定發(fā)生.2.4概率的公理化定義

注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義1.定義若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間

中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，且集合函數(shù)P(A)滿足條件：

(1)非負(fù)性1≥P(A)≥0；

(2)規(guī)范性P(

)＝1；

(3)完全可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。2.概率的性質(zhì)

(3)單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A-B)=P(A)-P(B),P(A)≥P(B)(2)有限可加性：設(shè)A1，A2，…An,是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有(5)事件差A(yù)、B是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(4)對(duì)于任一事件A(6)加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，…，An的情形(7)

互補(bǔ)性例：求B的逆的概率解：A,B互斥，有(A+B)=P(A)+P(B)=0.8P(B)=0.8-P(A)=0.2思考：在以上條件下，P(A-B)=?某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.EX1解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào)

在110這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)既不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。解:設(shè)A—取到的數(shù)能被2整除;B--取到的數(shù)能被3