電磁場理論第3章：恒定電場與靜磁場

第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場

3.2磁感應強度

3.3恒定磁場的基本方程

3.4矢量磁位

3.5磁偶極子

3.6磁介質中的場方程

3.7恒定磁場的邊界條件

3.8標量磁位

3.9互感和自感

3.10磁場能量

3.11磁場力3.1恒定電流的電場3.1.1電流密度圖3-1電流密度導體內(nèi)自由電子在電場的作用下，沿著電場線相反的方向運動，形成電流。規(guī)定正電荷運動方向為電流方向，用電流強度描述一根導線上電流的強弱電流強度定義為：單位時間內(nèi)通過某導線截面的電荷量設通過ΔS的電流為ΔI，則該點處的電流密度

J為

電流密度的單位是安培/米2(A/m2)。導體內(nèi)每一點都有一個電流密度，因而構成一個矢量場。我們稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線?？梢詮碾娏髅芏菾求出流過任意面積S的電流強度。一般情況下，電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時，通過面積S的電流就等于電流密度J在S上的通量，即圖3-2面電流密度有時電流僅僅分布在導體表面的一個薄層內(nèi)，為此引入面電流密度面電流密度：電流分類：傳導電流與運流電流（見書P52）對于運流電流：傳導電流：導體中自由電子或半導體中的自由電荷在電場的作用下做定向運動所產(chǎn)呢個的電流。（金屬導體，電解液中的電流）運流電流：電荷在真空中或者氣體中，由于電場的作用產(chǎn)生運動時，形成的電流（電真空管中的電流）注：運流電流不服從歐姆定理，運流電流強度與電場強度不一定成正比。電場對運流電流所作的功不會變成熱能，而是為電荷加速。2.電荷守恒定律任意封閉系統(tǒng)電荷總量不變：任意體積V內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷量應用散度定理得：要使這個積分對任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即定義的電流為恒定電流3.1.3歐姆定律的微分形式實驗結論：（J為傳導電流?。ㄕf明并推導與I=U/R的關系）對于現(xiàn)行各向同性導體，任意一點的電流密度與該點的電場強度成正比歐姆定理的積分形式：

材料電導率σ/(S/m)鐵(99.98%)107

黃銅1.46×107

鋁3.54×107

金3.10×107

鉛4.55×107

銅5.80×107

銀6.20×107

硅1.56×10-3

表3-1常用材料的電導率

電動勢的引入：非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守場（非庫倫場），其場強E’只存在于電源內(nèi)部。在電源內(nèi)部既存在庫倫場，也有非保守場E’，二者方向相反。為了定量描述電源的特性引入電動勢。電動勢：在電源內(nèi)部搬運單位正電荷從負極道正極時靜電力做的功。

恒定電流電場與靜電場性質相同3.1.4焦耳定律

當導體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，則在單位時間內(nèi)電場力對電荷所作的功，即功率是

在導電體中，沿電流線方向取一長度為Δl、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為(板書畫圖）

當ΔV→0，取ΔP/ΔV的極限，就得出導體內(nèi)任一點的熱功率密度，表示為或此式就是焦耳定律的微分形式。應該指出，焦耳定律不適應于運流電流。因為對于運流電流而言，電場力對電荷所作的功轉變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。3.1.5恒定電場的基本方程我們將電源外部導體中恒定電場的基本方程歸納如下：與其相應的積分形式為電流密度J與電場強度E之間滿足歐姆定律J=σE。

由于恒定電場的旋度為零，因而可以引入電位φ,E=-▽φ。在均勻導體內(nèi)部(電導率σ為常數(shù))，有3.1.6恒定電流場的邊界條件圖3-4邊界條件或如前推導可得，恒定電流場的邊界條件為*3.1.7恒定電流場與靜電場的比擬表3-2恒定電場與靜電場的比較

例3-1

設同軸線的內(nèi)導體半徑為a,外導體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導體間填充電導率為σ的導電媒質，如圖3-5所示，求同軸線單位長度的漏電電阻。圖3-5同軸線橫截面

解：媒質內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導體流向外導體，設流過半徑為r的任一圓柱側面的漏電電流為I，則媒質內(nèi)任一點的電流密度和電場為內(nèi)、外導體間的電壓為電導

于是，電阻

Ia

解：導體球的電導率遠遠大于土壤的電導率，可將導體球看作等位體。在土壤內(nèi)，半徑為r的半球面是等位面。假設從接地線流入大地的總電流為I,可以求出，在土壤內(nèi)任意點處的電流密度，等于電流I均勻分布在半個球面上。Ia

這樣，就得到土壤內(nèi)的電場

3.2磁感應強度圖3-8安培定律R

安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一電流元dl1對另一載有電流I2的回路C2上任一電流元dl2的作用力表示為令(舉例說明)(安培力)(畢-薩定理)

對于無限長直導線3.3恒定磁場的基本方程

1.磁通連續(xù)性原理

磁感應強度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋伯)，用Φ表示：如S是一個閉曲面，則

上式中故可將其改寫為由矢量恒定式

P298(A1.13)P298(A1.1)則有而梯度場的旋度為零，

所以積分形式P298(A1.9)使用散度定理，得到由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對空間的各點，有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應強度B是一個無源(指散度源)場。

磁通連續(xù)性方程P298(A1.12.)2.安培環(huán)路定律研究任意一條閉曲線C上B的環(huán)量。C’dl’dldl’P做磁感應強度B與線元dl的點積設立體角的增量為d,則可以證明，當載流回路與積分線環(huán)鉸鏈時有可以證明，當載流回路不與積分線環(huán)鉸鏈時有當載流回路與積分線環(huán)鉸鏈時有

當穿過積分回路C的電流是幾個電流時，可以將式(3-36)改寫為一般形式：

根據(jù)斯托克斯定理，可以導出安培回路定理

的微分形式：

由于P298(A1.13)因積分區(qū)域S是任意的，因而有

上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明磁場的渦旋源是電流。我們可用此式從磁場求電流分布。對于對稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。安培環(huán)路定理

例:

半徑為a的無限長直導線，載有電流I，計算導體內(nèi)、外的磁感應強度。解:在導線內(nèi)電流均勻分布，導線外電流為零，r≤ar>a

當r>a時，積分回路包圍的電流為I；當r≤a時，包圍電流為Ir2/a2。當r≤a時：當r>a時：*寫成矢量形式為r≤ar>a

3.4矢量磁位可以令

稱式中的A為矢量磁位(簡稱磁矢位)，其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個輔助量。式僅僅規(guī)定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因為若B=▽×A，另一矢量A′=A+▽Ψ，令▽·A=0,其中Ψ是一個任意標量函數(shù)，則令（庫侖規(guī)范）一個無散度源的場總能表示為另一個矢量的旋度A′與A都符合矢量磁位，但它們具有不同的散度

使用矢量恒等式上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對無源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即**類比靜電場公式，得******合并上三個分量式，將其寫成矢量形式：若磁場由面電流JS產(chǎn)生，容易寫出其磁矢位為同理，線電流產(chǎn)生的磁矢位為磁通的計算也可以通過磁矢位表示：（類比電位公式）*無源區(qū)的矢量磁位有源區(qū)的矢量磁位

說明：*例求長度為l電流為

I的載流直導線的磁矢位。圖3-11直導線磁矢位解:當l>>z時，有上式中，若再取l>>r,則有

當電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點，就可以使磁矢位不為無窮大。當指定r=r0處為磁矢位的零點時，可以得出從上式，用圓柱坐標的旋度公式，可求出*例用磁矢位重新計算載流直導線的磁場。解：

r≤ar>a

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標r的函數(shù)，即設在導線內(nèi)磁位是A1,導線外磁位是A2，r<a時，r>a時，可以求出導線內(nèi)、外的磁場分別為導體外部的磁感應強度為在r=a處B1=B2，有3.5磁偶極子概念磁偶極子：通電小圓環(huán)。定義磁偶極矩：將場點P放置在xoz平面中，則該場點的矢磁位場點在xoz平面磁偶極子的磁力線分布3.6磁介質中的場方程電子自旋磁矩表中列舉了磁性介質抗磁性，順磁性和鐵磁性的一些參數(shù)3.磁化強度M式中m是分子磁矩，求和對體積元ΔV內(nèi)的所有分子進行。磁化強度用來定量的描述介質磁化程度的強弱，M的單位是A/m(安培/米)。定義4.磁化電流由磁化電流產(chǎn)生附加磁場圖3-13磁化介質的場0=r-r’dv場點Pr全部磁介質在r處產(chǎn)生的磁矢位為***由矢量恒等式可以將上式改寫為**等效磁化體電流：等效磁化面電流：m

例半徑為a、高為L的磁化介質柱(如圖3-15所示)，磁化強度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。圖3–15例3-7用圖

解：取圓柱坐標系的z軸和磁介質柱的中軸線重合，磁介質的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時，M=M0ez，由式(3-52)得磁化電流為在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，在界面r=a上，n=er,3.磁場強度

在外磁場的作用下，磁介質內(nèi)部有磁化電流Jm。磁化電流Jm和外加的電流J都產(chǎn)生磁場，這時應將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：

令其中H稱為磁場強度，單位是A/m(安培/米)。于是有與上式相應的微分形式是4.磁導率實驗得知，M與H間的關系為式中χm是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。非線性磁介質的磁化率與磁場強度有關，非均勻介質的磁化率是空間位置的函數(shù)，各向異性介質的M和H的方向不在同一方向上。順磁介質的χm為正，抗磁介質的χm為負。這兩類介質的χm約為10-5量級。式中，μr=1+χm，是介質的相對磁導率，是一個無量綱數(shù)；μ=μ0μr，是介質的磁導率，單位和真空磁導率相同，為H/m(亨/米)。鐵磁材料的B和H的關系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達到106量級。5.磁介質中恒定磁場基本方程微分積分

例同軸線的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖3-16所示。設內(nèi)、外導體分別流過反向的電流I，兩導體之間介質的磁導率為μ，求各區(qū)域的H、B、M。

同軸線示意圖

解：以后如無特別聲明，對良導體(不包括鐵等磁性物質)一般取其磁導率為μ0。因同軸線為無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場只有φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質中的安培環(huán)路定律∮CH·dl=∫SJ·dS，求出各區(qū)的磁場強度H，然后由H求出B和M。當r≤a時，電流I在導體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得考慮這一區(qū)域的磁導率為μ0，可得(r≤a)(r≤a)

當a<r≤b時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導率為μ，可得(a<r≤b)

當b<r≤c時，考慮到外導體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為則當r>c時，這一區(qū)域的B、H、M為零。3.7恒定磁場的邊界條件

設底面和頂面的面積均等于ΔS。將積分形式的磁通連續(xù)性原理(即∮SB·dS=0)應用到此閉合面上，假設圓柱體的高度h趨于零，得寫成矢量形式為即圖3-17Bn的邊界條件圖:Ht的邊界條件將介質中積分形式的安培環(huán)路定律應用在這一回路，得

若界面上的電流可以看成面電流，則

于是有

考慮到l°=b×n,得

使用矢量恒等式

如果無面電流(JS=0)，這一邊界條件變成為用下標t表示切向分量，上式可以寫成標量形式：上式兩式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得這表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。若介質2為鐵磁材料，介質1為空氣，此時μ1

?μ2,因而θ2?

θ1，由式(3-66)得