數(shù)學期望的定義

§4.1離散型隨機變量的數(shù)學期望主講：劉常勝單位：數(shù)理系預備知識1、算術(shù)平均值

若有n個數(shù)為的算術(shù)平均值.

例：一個數(shù)學專業(yè)在校大學新生，期末成績?yōu)椋簲?shù)學分析80分，高等代數(shù)85分，解析幾何90分，大學英語85分，形勢與政策80分，則該學生的算術(shù)平均分數(shù)為：稱

這個數(shù)字顯然不能反映該同學的真正成績，因為它沒有考慮到這五個科目的相對重要性。譬如在這個年級中，數(shù)學分析為5學分，高等代數(shù)4學分，解析幾何3學分，大學英語3學分，形勢與政策1學分.因此下面的計算更為合理些：預備知識2、加權(quán)平均值給定權(quán)

預備知識滿足

稱

為

關于權(quán)的加權(quán)平均值.權(quán)，又稱權(quán)重(Weight)3、加權(quán)平均值與所選的“權(quán)”有關

在這個例子中，若數(shù)學分析為每周6學時，高等代數(shù)4學時，解析幾何3學時，大學英語4學時，形勢與政策1學時，則該生的加權(quán)平均分也可以用下式表達：預備知識預備知識等分“權(quán)”（算術(shù)平均值）按學分分配“權(quán)”按學時分配“權(quán)”1、設X為離散r.v.,分布律為若級數(shù)絕對收斂,則稱其和為X

的數(shù)學期望，又稱期望,均值或（加權(quán)）平均值，記作E(X),

即§4.1隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義即一、離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義2、在定義中對級數(shù)要求絕對收斂的必要性因為諸的順序?qū)﹄S機變量取期望并不是本質(zhì)的因而在數(shù)學期望定義中應允許任意改變求和次序，而不影響收斂性及其和值，這在數(shù)學上相當于絕對收斂.[反例]設離散型隨機變量X的概率分布為因此按照數(shù)學期望定義，該隨機變量的數(shù)學期望不存在.3、數(shù)學期望是隨機變量的數(shù)字特征，而不是本質(zhì)特征.一、離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義P-101

0.10.80.1P-2020.20.60.2它們具有相同的數(shù)學期望，但是卻是兩個完全不同的隨機變量.注：隨機變量的概率分布，才是隨機變量唯一的本質(zhì)特征.[例1]設r.vX的分布律如下表,求E(X)

.XP

-13解甲乙兩人賭博，甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，甲每贏一次可從乙處得3元，而每輸一次，要給乙1元，則甲平均每次可贏元?！?.1隨機變量的數(shù)學期望二、數(shù)學期望的應用實例§4.1隨機變量的數(shù)學期望二、數(shù)學期望的應用實例[例2]某人有10萬元現(xiàn)金，想投資某個項目，預計成功的機會為30%，可得利潤8萬元；失敗的機會為70%，將損失2萬元，若存入銀行，利率為5%，問是否做此項投資？

X

8-2

P0.30.7分析：記為投資利潤，其概率分布為因此而存入銀行的利息為0.5萬元，從數(shù)學期望角度，似應該選擇投資，當然要看當事人是否愿意冒這個風險.1、

X~B(n,p),即則2、若X~B(1,p),

即§4.1隨機變量的數(shù)學期望三、常用離散型隨機變量的數(shù)學期望則三、常用離散型隨機的變量數(shù)學期望3、

X~Possion(),即則§4.1隨機變量的數(shù)學期望三、常用離散型隨機的變量數(shù)學期望4、X~G(p),即則某籃球運動員投籃命中率為50%，規(guī)定該運動員首次投籃命中時即刻停止，則投籃次數(shù)X

的平均值為2，即平均每投籃2次才進1個球，正好也反映了命中率.討論題

將4個不同色的球隨機放入4個盒子中,每盒容納球數(shù)無限,求空盒子數(shù)的數(shù)學期望.分析：設X為空盒子數(shù),則

X的概率分布為XP0123思考我們知道，所謂離散型隨機變量就是它的取值在數(shù)軸上的分布是不稠密的，分散的；那么對于在數(shù)軸上取值稠密的連續(xù)性隨機變量來說，如何描述數(shù)學期望（平均值）呢？小結(jié)

一、離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義二、數(shù)學期望的應用