第2講 三維變換

第二講三維變換齊次坐標(biāo)在計(jì)算機(jī)中處理一個(gè)三維空間的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”是困難的，但是可以容易地處理一個(gè)四維齊次空間的解析點(diǎn)，例如可以用向量：（1000） 表示x軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0100） 表示y軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0010） 表示z軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0001） 表示坐標(biāo)原點(diǎn)這4個(gè)向量將構(gòu)成四維齊次空間的單位矩陣齊次變換矩陣提供一個(gè)三維空間中包括平移、旋轉(zhuǎn)、透視、投影、反射、錯(cuò)切和比例等變換在內(nèi)的統(tǒng)一表達(dá)式，使得物體的變換可在統(tǒng)一的矩陣形式下進(jìn)行。

比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換平移變換投影變換整體比例變換矩陣級(jí)聯(lián)

一個(gè)變換是一個(gè)單一的數(shù)學(xué)實(shí)體——矩陣描述和標(biāo)識(shí)。兩個(gè)變換的結(jié)合用矩陣的級(jí)聯(lián)而產(chǎn)生一個(gè)具有兩者功效的單一變換。例如變換T是平移，而變換R是旋轉(zhuǎn)，則變換的結(jié)合允許決定一個(gè)變換A=TR，其功效是先平移然后旋轉(zhuǎn)變換。幾何變換圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。點(diǎn)的矩陣變換線框圖的變換用參數(shù)方程描述的圖形的變換7.1.3平面幾何投影投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖、透視圖等。觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。投影中心、投影面、投影線：

平面幾何投影可分為兩大類(lèi)：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的7.2三維幾何變換三維基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換假設(shè)三維形體變換前一點(diǎn)為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。基本幾何變換 例子：對(duì)如圖7-6所示的長(zhǎng)方形體進(jìn)行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長(zhǎng)方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。

對(duì)稱變換

錯(cuò)切變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換相對(duì)于參考點(diǎn)F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換的過(guò)程分為以下三步：(1)將參考點(diǎn)F移至坐標(biāo)原點(diǎn)(2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行三維幾何變換(3)進(jìn)行反平移繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換分析：公式推導(dǎo)：(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)(2)將O'BB'繞x'軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，則O'B旋轉(zhuǎn)到x'o'z'平面上(3)將O'B繞y'軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，則O'B旋轉(zhuǎn)到z'軸上。(4)經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z'軸重合，此時(shí)繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來(lái)的位置。類(lèi)似地，針對(duì)任意方向軸的變換可用五個(gè)步驟來(lái)完成：(1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。(3)針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。(4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。7.3平行投影平行投影可分成兩類(lèi)：正投影和斜投影。正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖。

三視圖：三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影面分別與Y軸、Z軸和X軸垂直。1.三視圖計(jì)算步驟：(1)確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)(2)引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣(3)將所作變換用矩陣表示，通過(guò)運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x',y')或(y',z')(4)由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。

2.主視圖將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。

3.俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1)投影變換(2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90°(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0

4.側(cè)視圖獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。(1)側(cè)視圖的投影變換(2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90°(3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x0正軸測(cè)圖正軸測(cè)有等軸測(cè)、正二測(cè)和正三測(cè)三種。當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等時(shí)為等軸測(cè)；當(dāng)投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角相等時(shí)為正二測(cè)；當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等時(shí)為正三測(cè)。

5.正軸測(cè)圖的投影變換矩陣分析：公式推導(dǎo)：(1)先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(2)再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角(3)將三維形體向xoy平面作正投影

最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣6.正等測(cè)圖分析：公式推導(dǎo)： 將α和β的值代入(7-1)式得到正等測(cè)圖的投影變換矩陣：7.正二測(cè)圖分析：將α值代入(7-1)式得到正二測(cè)圖的投影變換矩陣：7.3.2斜投影斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。斜軸測(cè)圖的形成通常β=30?取30°或45°。

斜平行投影的投影變換矩陣為：對(duì)于斜等測(cè)圖有：α=45?,ctgα=1斜二測(cè)圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/2

對(duì)于斜等測(cè)圖有：α=45?,ctgα=1斜二測(cè)圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/27.4透視投影7.4透視投影r透視縮小效應(yīng)r的取值對(duì)透視投影圖有放大和縮小的作用：r大時(shí)，得到的投影圖小，而當(dāng)r小時(shí)，得到的投影圖大。對(duì)于相同的取值r：z大時(shí)．即物體離投影平面遠(yuǎn)時(shí)，得到的投影圖小，而當(dāng)z小時(shí)、即物體離投影平面近時(shí)，得到的投影圖大。這說(shuō)明物體透視投影的大小與物體到投影平面的距離成反比，這就是所謂的透視縮小效應(yīng)。透視縮小效應(yīng)使得透視投影圖的深度感更強(qiáng)，這種效應(yīng)產(chǎn)生的視覺(jué)效果很類(lèi)似于照相系統(tǒng)和人的視覺(jué)系統(tǒng)。透視縮小效應(yīng)透視投影能夠產(chǎn)生具有一定真實(shí)感的二維圖形。但透視投影不保持物體的精確形狀和尺寸，而且平行線的投影不一定仍然保持平行。滅點(diǎn)不平行于投影面的平行線的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為滅點(diǎn)(VanishingPoint)。坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱作主滅點(diǎn)。一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。7.4.1一點(diǎn)透視分析：要考慮下列幾點(diǎn)：(1)三維形體與畫(huà)面（投影面）的相對(duì)位置；(2)視距，即視點(diǎn)（投影中心）與畫(huà)面的距離；(3)視點(diǎn)的高度。

假定視點(diǎn)（投影中心）在z軸（z=-d）。畫(huà)面（投影面）為xoy一點(diǎn)透視的步驟：(1)將三維形體平移到適當(dāng)位置l、m、n；(2)令視點(diǎn)在z軸，利用公式進(jìn)行透視變換；(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結(jié)果變換到xoy平面上。例：試?yán)L制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點(diǎn)透視圖。7.4.2二點(diǎn)透視可以這樣來(lái)構(gòu)造二點(diǎn)透視的一般步驟：(1)先將三維形體平移到適當(dāng)位置，使視點(diǎn)有一定高度，且使形體的主要表面不會(huì)積聚成線；(2)將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)φ角(φ＜90?)，方向滿足右手定則；(3)進(jìn)行透視變換(4)最后向xoy面作正投影，即得二點(diǎn)透視圖。例：試?yán)L制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點(diǎn)透視圖。7.4.3三點(diǎn)透視同樣可以簡(jiǎn)單的構(gòu)造三點(diǎn)透視圖：(1)首先將三維形體平移到適當(dāng)位置；(2)將形體進(jìn)行透視變換(3)然后使形體先繞y軸旋轉(zhuǎn)φ角；(4)再繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角；(5)將變形且旋轉(zhuǎn)后的形體向xoy面作正投影。7.5觀察坐標(biāo)系及觀察空間7.5.1觀察坐標(biāo)系觀察參考坐標(biāo)系（ViewReferenceCoordinate）觀察參考點(diǎn)（ViewReferencePoint）觀察平面（ViewPlane），即投影平面。觀察坐標(biāo)系（uvn坐標(biāo)系）的建立法矢量N、法矢量V、法矢量U7.5.2觀察空間觀察窗口：

投影中心與投影方向由投影參考點(diǎn)(ProjectionReferencePoint，PRP)確定(即用戶通過(guò)指定PRP來(lái)確定投影中心或投影方向)。對(duì)透視投影來(lái)說(shuō)，投影參考點(diǎn)就是投影中心。從投影中心向窗口的邊發(fā)出射線、由此形成一個(gè)以投影中心COP為頂點(diǎn)的四棱錐，稱為透視投影的觀察空間，如圖10．14(a)所示。平行投影，從投影參考點(diǎn)指向窗口中心的方向確定了投影方向。平行于投影方向并過(guò)窗口邊的直線所包圍的一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的四棱柱，即為平行投影的觀察空間觀察空間：無(wú)限觀察空間、有限觀察空間需注意，對(duì)于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。

觀察平面和前后截面的有關(guān)位置取決于要生成的窗口類(lèi)型及特殊圖形包的限制規(guī)范化觀察空間平行投影的規(guī)范化觀察空間定義為：透視投影的規(guī)范化觀察空間為：

7.6三維觀察流程7.6.1用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換具體變換步驟：(1)平移觀察參考點(diǎn)到用戶坐標(biāo)系原點(diǎn)(2)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換分別讓xv、yv和zv軸對(duì)應(yīng)到用戶坐標(biāo)系中的x、y和z軸。7.6.2平行投影的規(guī)范化投影變換分析：平行投影的規(guī)范化投影變換可由以下三步組成。(1)將投影中心平移到觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)。(2)對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行錯(cuò)切變換，使投影中心和窗口中心的連線錯(cuò)切到zv軸(3)進(jìn)行坐標(biāo)的歸一化變換7.6.3透視投影的規(guī)范化投影變