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對(duì)數(shù)函數(shù)(一)對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念:一般地,假如,那么數(shù)叫做認(rèn)為底的對(duì)數(shù),記作:(—底數(shù),—真數(shù),—對(duì)數(shù)式)說明:eq\o\ac(○,1)注意底數(shù)的限制,且;eq\o\ac(○,2);eq\o\ac(○,3)注意對(duì)數(shù)的書寫格式.兩個(gè)重要對(duì)數(shù):eq\o\ac(○,1)常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù);eq\o\ac(○,2)自然對(duì)數(shù):以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù).(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如,且,,,那么:eq\o\ac(○,1)·+;eq\o\ac(○,2)-;eq\o\ac(○,3).注意:換底公式 (,且;,且;).運(yùn)用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1);(2).(二)對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).注意:eq\o\ac(○,1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:,都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).eq\o\ac(○,2)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:,且.2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10<a<1定義域x>0定義域x>0值域?yàn)镽值域?yàn)椋以赗上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0)對(duì)數(shù)函數(shù)·例題解析例1.求下列函數(shù)的定義域:;(2);(3).解:(1)由>0得,∴函數(shù)的定義域是;(2)由得,∴函數(shù)的定義域是;(3)由9-得-3,∴函數(shù)的定義域是.例2.求函數(shù)和函數(shù)的反函數(shù)。解:(1)∴;(2)∴.例4.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。海ǎ保?;(2),;(3),.解:(1)對(duì)數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù),于是;(2)對(duì)數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù),于是;(3)當(dāng)時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù),于是,當(dāng)時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù),于是.例5.比較下列比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?1),;(2),;(3),,;(4),,.解:(1)∵,,∴;(2)∵,,∴.(3)∵,,,∴.(4)∵,∴.例7.求下列函數(shù)的值域:;(2);(3)(且).解:(1)令,則,∵,∴,即函數(shù)值域?yàn)?(2)令,則,∴,即函數(shù)值域?yàn)?(3)令,當(dāng)時(shí),,即值域?yàn)?當(dāng)時(shí),,即值域?yàn)椋?.判斷函數(shù)的奇偶性。解:∵恒成立,故的定義域?yàn)?,,所?為奇函數(shù)。例9.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:令在上遞增,在上遞減,又∵,∴或,故在上遞增,在上遞減,又∵為減函數(shù),所以,函數(shù)在上遞增,在上遞減。例10.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),的取值范圍。解:令,∵函數(shù)為減函數(shù),∴在區(qū)間上遞減,且滿足,∴,解得,所以,的取值范圍為.解(2)∵1-loga(x+a)>0,∴l(xiāng)oga(x+a)<1.當(dāng)a>1時(shí),0<x+a<a,∴函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ璦,0).當(dāng)0<a<1時(shí),x+a>a,∴函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ埃?.域和值域.反函數(shù)的定義域?yàn)?0,1),值域?yàn)閥∈R.【例3】作出下列函數(shù)的圖像,并指出其單調(diào)區(qū)間.(1)y=lg(-x)(2)y=log2|x+1|解(1)y=lg(-x)的圖像與y=lgx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,如圖2.8-3所示,單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0).解(2)先作出函數(shù)y=log2|x|的圖像,再把它的圖像向左平移1個(gè)單位就得y=log2|x+1|的圖像如圖2.8-4所示.單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1).單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+∞).的圖像,保存其在x軸及x軸上方部分不變,把x軸下方的圖像以x軸為所示單調(diào)減區(qū)間是(-1,2].單調(diào)增區(qū)間是[2,+∞).解(4)∵函數(shù)y=log2(-x)的圖像與函數(shù)y=log2x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,故可先作y=log2(-x)的圖像,再把y=log2(-x)的圖像向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=log2(1-x)的圖像.如圖2.8-6所示.單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1).【例4】圖2.8-7分別是四個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù),①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的圖像,那么a、b、c、d的大小關(guān)系是[]A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.b>a>d>c D.b>c>a>d解選C,根據(jù)同類函數(shù)圖像的比較,任取一個(gè)x>1的值,易得b>a>1>d>c.【例5】已知loga3>logb3,試擬定a和b的大小關(guān)系.解法一令y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取x=3時(shí),y1>y2,所以它們的圖像,也許有如下三種情況:(1)當(dāng)loga3>logb3>0時(shí),由圖像2.8-8,取x=3,可得b>a>1.(2)當(dāng)0>loga3>logb3時(shí),由圖像2.8-9,得0<a<b<1.(3)當(dāng)loga3>0>logb3時(shí),由圖像2.8-10,得a>1>b>0.順序是:_____.奇偶性.解法一已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,則-x∈R∴f(x)是奇函數(shù).解法二已知函數(shù)的定義域?yàn)镽=loga1=0∴f(x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù).單元測(cè)試一、選擇題(每小題5分,共50分).1.對(duì)數(shù)式中,實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?()A.?B.(2,5) C.?D.2.假如lgx=lga+3lgb-5lgc,那么 ()A.x=a+3b-c?B. C. D.x=a+b3-c33.設(shè)函數(shù)y=lg(x2-5x)的定義域?yàn)镸,函數(shù)y=lg(x-5)+lgx的定義域?yàn)镹,則?()A.M∪N=R B.M=N?C.MN?D.MN4.若a>0,b>0,ab>1,=ln2,則logab與的關(guān)系是?()A.logab< B.logab=C.logab>? D.logab≤5.若函數(shù)log2(kx2+4kx+3)的定義域?yàn)椋?則k的取值范圍是??()A. B. C. D.6.下列函數(shù)圖象對(duì)的的是? ()ABCD7.已知函數(shù),其中l(wèi)og2f(x)=2x,xR,則g(x) ()A.是奇函數(shù)又是減函數(shù) B.是偶函數(shù)又是增函數(shù)C.是奇函數(shù)又是增函數(shù)?D.是偶函數(shù)又是減函數(shù)9.假如y=log2a-1x在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),則a的取值范圍是? ()A.|a|>1?B.|a|<2 C.a(chǎn) D.10.下列關(guān)系式中,成立的是? ?()A.?B.C. D.二、填空題:(每小題6分,共24分).11.函數(shù)的定義域是,值域是.12.方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解為.13.將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位,得到圖象C1,再將C1向上平移一個(gè)單位得到圖象C2,作出C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象C3,則C3的解析式為.14.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié)(共76分).15.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求函數(shù)f(x)的值域.(12分)設(shè)x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.(1)求證:;(2)比較3x,4y,6z的大小.17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)擬定函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(3)證明函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù);(4)求函數(shù)f(x)的反函數(shù).18.現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè),其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次,即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞,按這種規(guī)律發(fā)展下去,通過多少小時(shí),細(xì)胞總數(shù)可以超過個(gè)?(參考數(shù)據(jù):).20.(14分)已求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.必修1數(shù)學(xué)章節(jié)測(cè)試(7)—第二單元(對(duì)數(shù)函數(shù))一、DCCABBDBDA二、11.,;12.0;13.;14.;三、15.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?1,p).(2)當(dāng)p>3時(shí),f(x)的值域?yàn)椋ǎ蓿?log2(p+1)-2);當(dāng)1<p3時(shí),f(x)的值域?yàn)?-,1+log2(p+1)).16.解:(1)設(shè)3x=4y=6z=t.∵x>0,y>0,z>0,∴t>1,lgt>0,∴.(2)3x<4y<6z.17.解:(1)由得x∈R,定義域?yàn)镽.(2)是奇函數(shù).(3)設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則.令,則.===∵x1-x2<0,,,,∴t1-t2<0,∴0<t1<t2,∴,∴f(x1)-f(x2)<lg1=0,即f(x1)<f(x2),∴函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù).(4)反函數(shù)為(xR).18.解:現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè),先考慮通過1、2、3、4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù),1小時(shí)后,細(xì)胞總數(shù)為;2小時(shí)后,細(xì)胞總數(shù)為;3小時(shí)后,細(xì)胞總數(shù)為;4小時(shí)后,細(xì)胞總數(shù)為;可見,細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為:,由,得,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù),得,∴,∵,∴.答:通過46小時(shí),細(xì)胞總數(shù)超過個(gè).19.解:(1)過A,B,C,分別作AA1,BB1,CC1垂直于x軸,垂足為A1,B1,C1,則S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S
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