線(xiàn)性多變量系統(tǒng)(鄭大鐘)第2篇復(fù)頻域理論

第二部分線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論

線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論，是以傳遞矩陣作為系統(tǒng)描述，并在復(fù)頻率域內(nèi)分析和綜合線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的一種理論和方法。對(duì)于線(xiàn)性定常SISO系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，定義傳遞函數(shù)對(duì)于線(xiàn)性定常MIMO系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，定義傳遞矩陣G(s)8．1矩陣分式描述第8章傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述

矩陣分式描述實(shí)質(zhì)上就是把有理分式矩陣形式的傳遞函數(shù)矩陣G(s)表示為兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣之“比”。右MFD和左MFD對(duì)于SISO系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G(s)=n(s)/d(s)=n(s)d-1(s)=d-1(s)n(s)設(shè)p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng),其傳遞函數(shù)矩陣為G(s)的一個(gè)右矩陣分式描述為G(s)的一個(gè)左矩陣分式描述其中為多項(xiàng)式矩陣1/4,1/16例如上式即為G(s)的一個(gè)右MFD把G(s)按各行通分，可以寫(xiě)出G(s)的左MFD2/4,2/16MDF的特性

結(jié)論：對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)右MFD，規(guī)定對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)左MFD，規(guī)定對(duì)給定一個(gè)G(s)，其右MFD和左MFD在次數(shù)上一般不相等。結(jié)論：對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其右MFD和左MFD為不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次數(shù)。例如結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)W(s)為pp非奇異多項(xiàng)式矩陣，令為其一個(gè)右MFD則也是G(s)的一個(gè)右MFD，且若W(s)為單模矩陣，則結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)為其一個(gè)右MFD和一個(gè)左MFD則有*最小階MFD也不是唯一的*稱(chēng)最小階MFD為不可簡(jiǎn)約MFD4/4,4/16結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)WL(s)為任一qq非奇異多項(xiàng)式矩陣。為其一個(gè)左MFD，則也是G(s)的一個(gè)左MFD，且若WL(s)為單模矩陣，則8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性

設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)矩陣G(s)為1/3,5/16結(jié)論：定義

真性和嚴(yán)真性的判別準(zhǔn)則

結(jié)論：對(duì)右MFDD(s)為pp陣且則例容易判斷D(s)為列既約，且可知為真2/3,6/16列既約例給定12右MFDD(s)為非列既約，盡管但非真結(jié)論：對(duì)左MFD為qq陣且行既約,則*若D(s)或DL(s)為非列既約或行既約，則引入一個(gè)單模矩陣，化D(s)或DL(s)為列既約或行既約，進(jìn)行判斷。3/3,7/168.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述

結(jié)論：對(duì)非真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)為pp多項(xiàng)式矩陣，N(s)為qp多項(xiàng)式矩陣,唯一存在qp多項(xiàng)式矩陣Q(s)和R(s)，使且R(s)D-1(s)為非真N(s)D-1(s)導(dǎo)出的嚴(yán)真右MFD。確定嚴(yán)真MFD的算法

Step1：計(jì)算給定N(s)D-1(s)的有理分式矩陣G(s)Step2：通過(guò)多項(xiàng)式除法，得Step3Step4其中R(s)D-1(s)為非真右MFDN(s)D-1(s)的嚴(yán)真部分，Q(s)為多項(xiàng)式矩陣部分。1/3,8/16結(jié)論：對(duì)非真左MFD，DL-1(s)NL(s)，唯一存在兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣使一類(lèi)特殊情形的多項(xiàng)式矩陣除法問(wèn)題

在連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)中，除式矩陣通常為sI-A結(jié)論：對(duì)pp矩陣sI-A和多項(xiàng)式矩陣N(s)，唯一存在一個(gè)常陣Nr(A)和多項(xiàng)式矩陣Qr(s)滿(mǎn)足其中顯然Nr(A)(sI-A)-1為N(s)(sI-A)-1所導(dǎo)出的嚴(yán)真右MFD2/3,9/16結(jié)論：對(duì)qq矩陣sI-A和多項(xiàng)式矩陣NL(s)，唯一存在一個(gè)常陣NL(A)和多項(xiàng)式矩陣QL(s)滿(mǎn)足其中顯然(sI-A)-1NL(A)為(sI-A)-1NL(s)所導(dǎo)出的嚴(yán)真左MFD3/3,10/168．4不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述不可簡(jiǎn)約MFD實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的一類(lèi)最簡(jiǎn)約MFD，通常也稱(chēng)為最小階MFD。定義：右不可簡(jiǎn)約<=>D(s)和N(s)為右互質(zhì)<=>左不可簡(jiǎn)約<=>DL(s)和NL(s)為左互質(zhì)<=>不可簡(jiǎn)約MFD的基本特性結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣，其右不可簡(jiǎn)約MFD和左不可簡(jiǎn)約MFD均為不惟一結(jié)論：設(shè)為qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個(gè)右不可簡(jiǎn)約MFD，則必存在單模陣U(s)滿(mǎn)足：1/3,11/16證明過(guò)程分3步：U(s)存在U(s)為多項(xiàng)式矩陣U(s)為單模陣結(jié)論：設(shè)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個(gè)左不可簡(jiǎn)約MFD則必存在單模陣V(s)，滿(mǎn)足結(jié)論：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的右不可簡(jiǎn)約MFD滿(mǎn)足廣義惟一性。傳遞函數(shù)矩陣G(s)的左不可簡(jiǎn)約MFD滿(mǎn)足廣義惟一性。結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一右不可簡(jiǎn)約MFDN(s)D-1(s)和任一右可簡(jiǎn)約MFD，必存在非奇異多項(xiàng)式矩陣T(s)，滿(mǎn)足：2/3,12/16證明過(guò)程分2步：1）根據(jù)G(s)的某一右不可簡(jiǎn)約MFDN1(s)D1-1(s)，利用單模陣導(dǎo)出的MFDN2(s)D2-1(s)也是G(s)的MFD2）N2(s)D2-1(s)是不可簡(jiǎn)約MFD例結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有右不可簡(jiǎn)約MFD必有：1，Ni(s)具有相同2，Di(s)具有相同不變多項(xiàng)式detD1(s)=c2detD2(s)=….結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有左不可簡(jiǎn)約MFD必有：1，NLi(s)具有相同史密斯形2，DLi(s)具有相同不變多項(xiàng)式結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣的任一左不可簡(jiǎn)約MFD，和任一右不可簡(jiǎn)約MFD必有3/3,13/16結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一左不可簡(jiǎn)約MFDDL

-1(s)NL(s)和任一左可簡(jiǎn)約MFD，必存在非奇異多項(xiàng)式矩陣TL(s)，滿(mǎn)足：史密斯形8．5確定不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的算法結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)設(shè)為任一右可簡(jiǎn)約MFDpp多項(xiàng)式矩陣R(s)為的一個(gè)最大右公因子且為非奇異，取為G(s)的一個(gè)右不可簡(jiǎn)約MFD。結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)設(shè)為任一左可簡(jiǎn)約MFDRL(s)為的一個(gè)最大左公因子且為非奇異，取為G(s)的一個(gè)左不可簡(jiǎn)約MFD。1/1,14/168．6規(guī)范矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣的可簡(jiǎn)約MFD和不可簡(jiǎn)約MFD具有不惟一性。其惟一化的途徑是對(duì)MFD分母矩陣限定為規(guī)范形而得到規(guī)范MFD。埃爾米特形MFD稱(chēng)qp的NH(s)DH-1(s)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的列埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有列埃爾米特形其中：1）為首1多項(xiàng)式2）若為含S多項(xiàng)式，則1/2,15/16例如即在該行中階次最高稱(chēng)qp的為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的行埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有行埃爾米特形其中：1）為首1多項(xiàng)式2）若為含S多項(xiàng)式，則結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其所有不可簡(jiǎn)約右MFD具有相同列埃爾米特形MFD其所有不可簡(jiǎn)約左MFD具有相同行埃爾米特形MFD2/2,16/16行埃爾米特形和列埃爾米特形是對(duì)稱(chēng)（7.7)波波夫形MFD結(jié)論類(lèi)似(7.13)即在該列中階次最高第9章傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性9．1史密斯-------麥克米倫形稱(chēng)秩為r的有理分式矩陣為史密斯-------麥克米倫形，當(dāng)且僅當(dāng)具有形式其中，1）為互質(zhì)，i=1,2,…,r2）滿(mǎn)足整除性1/4,1/12例如結(jié)論：對(duì)qp有理分式矩陣G(s)，設(shè)則必存在qq和pp單模矩陣U(s)和V(s)使變換后傳遞函數(shù)矩陣U(s)G(s)V(s)為史密斯-------麥克米倫形2/4,2/12證：容易驗(yàn)算整除性，以上證明是史密斯-------麥克米倫形一個(gè)構(gòu)造過(guò)程史密斯-------麥克米倫形基本特性結(jié)論：有理分式矩陣G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)為惟一結(jié)論：化有理分式矩陣G(s)為史密斯-------麥克米倫形M(s)的單模變換陣對(duì){U(s),V(s)}不惟一。結(jié)論：嚴(yán)格有理分式矩陣G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)不具有保持嚴(yán)真屬性，M(s)甚至可能為非真。結(jié)論：對(duì)qq非奇異有理分式矩陣G(s)其中a為非零常數(shù)例：導(dǎo)出G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)解：取本例中G(s)是嚴(yán)真的，M(s)非嚴(yán)真。結(jié)論：由史密斯-------麥克米倫形寫(xiě)出MFD

對(duì)秩為r的qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形M(s)為令則M(s)表為右MFD令則M(s)表為左MFD3/4,3/12結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形為M(s)。單模變換陣對(duì)為{U(s),V(s)}若取則為G(s)的不可簡(jiǎn)約右MFD若取則為G(s)的不可簡(jiǎn)約左MFD4/4,4/12證：考慮到由于為G(s)的不可簡(jiǎn)約右MFD9．2傳遞函數(shù)矩陣的有限零點(diǎn)和有限極點(diǎn)定義：對(duì)秩為r的qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形M(s)，則G(s)有限極點(diǎn)=M(s)中的根，i=1,2,…,rG(s)有限零點(diǎn)=M(s)中的根,i=1,2,…,r定義：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)和為G(s)的任一不可簡(jiǎn)約右MFD和任一不可簡(jiǎn)約左MFD，則G(s)有限極點(diǎn)=det(D(s))=0根或的根G(s)有限零點(diǎn)=的s值或的s值1/2,5/12G(s)有限極點(diǎn):s=-1(二重),s=-2(三重)G(s)有限零點(diǎn):s=0(三重)例如:N(s)和D(s)為右互質(zhì),G(s)的有限零點(diǎn)是rankN(s)<2的s值:s=0,s=-1G(s)的有限極點(diǎn)是detD(s)=0的s值:s=0(三重),s=12/2,6/12定義：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)其狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，且(A,B)全能控，(A,C)完全能觀(guān)測(cè)，則有：G(s)有限極點(diǎn)=的根G(s)有限零點(diǎn)=使降秩的s值結(jié)論：對(duì)qp嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，其能控和能觀(guān)測(cè)狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，z0為任一零點(diǎn)，則對(duì)滿(mǎn)足關(guān)系式的所有非零初始狀態(tài)x0和輸入系統(tǒng)輸出具有阻塞作用，即其能引起的系統(tǒng)輸出y(t)強(qiáng)制恒為零。表明系統(tǒng)輸出對(duì)與零點(diǎn)相關(guān)一類(lèi)輸入向量函數(shù)具有阻塞作用。9．3傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)

對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，有限零點(diǎn)和有限極點(diǎn)的集合。那么，若對(duì)任一導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的rr對(duì)角矩陣則稱(chēng)為G(s)在的一組結(jié)構(gòu)指數(shù)

1/3,7/12可把G(s)的史密斯-麥克米倫形寫(xiě)為上式表明，一旦定出G(s)各個(gè)極點(diǎn)零點(diǎn)及其結(jié)構(gòu)指數(shù)組，便可構(gòu)造出G(s)的史密斯---麥克米倫形M(s)。例定出的結(jié)構(gòu)指數(shù)史密斯----麥克米倫形為G(s)極點(diǎn)零點(diǎn)集合2/3,8/12結(jié)論：G(s)在極點(diǎn)重?cái)?shù)=中負(fù)指數(shù)之和絕對(duì)值結(jié)論：G(s)在零點(diǎn)重?cái)?shù)=中正指數(shù)之和結(jié)論：傳遞函數(shù)矩陣在非極點(diǎn)零點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)指數(shù)必恒為零。3/3,9/129．4傳遞函數(shù)矩陣在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)

確定s=∞處極點(diǎn)零點(diǎn)的思路對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s),則直接基于G(s)的史密斯---麥克米倫形M(s)不能定義G(s)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)，若引入變換則有G（s）在s=∞處的極點(diǎn)/零點(diǎn)=H(λ)在λ=0處的極點(diǎn)/零點(diǎn)。結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)再基于變換由G(λ-1)導(dǎo)出H(λ)引入單模變換陣。導(dǎo)出其史密斯----麥克米倫形G(s)在s=∞處的極點(diǎn)重?cái)?shù)=中的根重?cái)?shù)i=1,2,…,r則有G(s)在s=∞處的零點(diǎn)重?cái)?shù)=中的根重?cái)?shù)i=1,2,…,r1/3,10/12由G(s)導(dǎo)出M(s)的過(guò)程中，單模變換會(huì)改變G(s)的嚴(yán)真屬性，從而改變s=∞處的極點(diǎn)零點(diǎn)（重?cái)?shù)），s=∞處的極點(diǎn)、零點(diǎn)不能由史密斯---麥克米倫形M(s)直接確定例：設(shè)史密斯-------麥克米倫形基于此，可以定出G(s)在s=∞處極點(diǎn)重?cái)?shù)=2G(s)在s=∞處零點(diǎn)重?cái)?shù)=12/3,11/12無(wú)窮遠(yuǎn)處的結(jié)構(gòu)指數(shù)對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)則G(s)在s=∞處結(jié)構(gòu)指數(shù)在λ=0處結(jié)構(gòu)指數(shù)3/3,12/12結(jié)論：G(s)在極點(diǎn)重?cái)?shù)=中負(fù)指數(shù)之和絕對(duì)值結(jié)論：G(s)在零點(diǎn)重?cái)?shù)=中正指數(shù)之和第10章傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)10．1實(shí)現(xiàn)的基本概念和基本屬性定義10．1[實(shí)現(xiàn)]對(duì)真或嚴(yán)真連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，稱(chēng)一個(gè)狀態(tài)空間描述或簡(jiǎn)寫(xiě)為(A,B,C,E)是其傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，如果兩者為外部等價(jià)即成立關(guān)系式：C(sI－A)-1B+E=G(s)結(jié)論10．1[實(shí)現(xiàn)維數(shù)]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度可由其維數(shù)表征。一個(gè)實(shí)現(xiàn)的維數(shù)規(guī)定為其系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)，即有實(shí)現(xiàn)維數(shù)=dimA結(jié)論10．2[不惟一性]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E)滿(mǎn)足強(qiáng)不惟一性。即對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，不僅其實(shí)現(xiàn)結(jié)果為不惟一，而且其實(shí)現(xiàn)維數(shù)也為不惟一。結(jié)論10．3[最小實(shí)現(xiàn)]最小實(shí)現(xiàn)定義為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E)中維數(shù)最小的一類(lèi)實(shí)現(xiàn)。實(shí)質(zhì)上，最小實(shí)現(xiàn)就是外部等價(jià)于G(s)的一個(gè)結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)狀態(tài)空間模型。1/5,1/39結(jié)論10．4[實(shí)現(xiàn)間關(guān)系]對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其不同實(shí)現(xiàn)間一般不存在代數(shù)等價(jià)關(guān)系，但其所有最小實(shí)現(xiàn)間必有代數(shù)等價(jià)關(guān)系。結(jié)論10．5[實(shí)現(xiàn)物理本質(zhì)]物理直觀(guān)上，傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)就是對(duì)具有“黑箱”形式的真實(shí)系統(tǒng)在狀態(tài)空間領(lǐng)域?qū)ふ乙粋€(gè)外部等價(jià)的內(nèi)部假想結(jié)構(gòu)，內(nèi)部假想結(jié)構(gòu)對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的可否完全表征性依賴(lài)于系統(tǒng)的是否能控和能觀(guān)測(cè)。結(jié)論10．6[實(shí)現(xiàn)形式]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)形式取決于其真性或嚴(yán)真性屬性。當(dāng)G(s)為嚴(yán)真，其實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)地具有形式(A,B,C)即E=0；當(dāng)G(s)為真，其實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)地具有形式(A,B,C,E)即E≠0，且有結(jié)論10．7[其他實(shí)現(xiàn)構(gòu)造]設(shè)狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，dimA=n，則對(duì)任一nn非奇異陣T，狀態(tài)空間描述(TAT-1，TB，CT-1，E)必也為G(s)的一個(gè)同維實(shí)現(xiàn)。2/5,2/39能控類(lèi)實(shí)現(xiàn)和能觀(guān)測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)是兩類(lèi)基本的典型實(shí)現(xiàn)定義10．2[能控類(lèi)實(shí)現(xiàn)]稱(chēng)狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)能控類(lèi)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,B)能控且有指定形式定義10．3[能觀(guān)測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)]稱(chēng)狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)能觀(guān)測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,C)能觀(guān)測(cè)且有指定形式最小實(shí)現(xiàn)是傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一類(lèi)最為重要的實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)是G(s)的所有實(shí)現(xiàn)中結(jié)構(gòu)為最簡(jiǎn)的實(shí)現(xiàn)，即從外部等價(jià)的角度實(shí)現(xiàn)中不包含任何多余的部分，因此通常也稱(chēng)最小實(shí)現(xiàn)為不可簡(jiǎn)約實(shí)現(xiàn)。結(jié)論10．8設(shè)(A,B,C)為嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則其為最小實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是(A,B)完全能控，(A,C)完全能觀(guān)測(cè)[最小實(shí)現(xiàn)判據(jù)]3/5,3/39結(jié)論10．10[實(shí)現(xiàn)最小維數(shù)]對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，其冪級(jí)數(shù)表達(dá)式為：為馬爾柯夫(Markov)參數(shù)矩陣，并基此組成漢克爾(Hankel)矩陣則G(s)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的最小維數(shù)為nmin=rankH結(jié)論10．9[最小實(shí)現(xiàn)廣義惟一性]嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的最小實(shí)現(xiàn)為不惟一但滿(mǎn)足廣義惟一性。即若(A,B,C)和為G(s)的任意兩個(gè)n維最小實(shí)現(xiàn)，則必可基此構(gòu)造出一個(gè)nn非奇異常陣T使成立：4/5,4/39結(jié)論10．11[實(shí)現(xiàn)最小維數(shù)]對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，rankG(s)=r，其史密斯—麥克米倫形為其中，U(s)和V(s)為qq和pp單模陣。那么，G(s)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的最小維數(shù)為5/5,5/3910.2標(biāo)量傳遞函數(shù)的典型實(shí)現(xiàn)不失一般性，考慮真標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)，并通過(guò)嚴(yán)真化先將其表為常數(shù)e和嚴(yán)真有理分式n(s)/d(s)之和，即有那么，對(duì)g(s)的各類(lèi)典型實(shí)現(xiàn)就歸結(jié)為對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)導(dǎo)出相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)，而常數(shù)e為各類(lèi)實(shí)現(xiàn)中的輸入輸出直接傳遞系數(shù)。1/5,6/39幾點(diǎn)討論真標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)形式惟一性維數(shù)非最小性(Ac，bc，cc)為最小實(shí)現(xiàn)條件：結(jié)論10．12[能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)]標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的嚴(yán)真部分n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)具有形式：2/5,7/39n(s)與d(s)互質(zhì)結(jié)論10．18[能觀(guān)測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)]標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的嚴(yán)真部分n(s)/d(s)的能觀(guān)測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)具有形式：幾點(diǎn)討論真標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的能觀(guān)測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)形式惟一性維數(shù)非最小性(Ac，bc，cc)為最小實(shí)現(xiàn)條件：結(jié)論10.24[對(duì)偶性]嚴(yán)真標(biāo)量傳遞函數(shù)n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)（Ac，bc，cc）和能觀(guān)測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)（A0，b0，c0）滿(mǎn)足對(duì)偶關(guān)系，即有A0=AcT，b0=ccT，c0=bcT

3/5,8/39n(s)與d(s)互質(zhì)結(jié)論10.25[并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)]設(shè)傳遞函數(shù)g(s)及其嚴(yán)真部分n(s)/d(s)，極點(diǎn)為λ1(μ1重)，λ2（μ2重），…λm(μm重)，表則嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)的并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為4/5,9/39幾點(diǎn)解釋并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為約當(dāng)型規(guī)范形實(shí)現(xiàn)并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)在構(gòu)成上的難點(diǎn)：對(duì)極點(diǎn)中包含共軛復(fù)數(shù)情形的處理：非奇異復(fù)變換實(shí)數(shù)化求留數(shù)fik，i=1…m,k=1,…,μi

表n(s)/d(s)為則嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)的串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為幾點(diǎn)解釋(1)串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀(guān)，便于分析(2)串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)在構(gòu)成上的難點(diǎn)：確定極點(diǎn)與零點(diǎn)(3)對(duì)極零點(diǎn)中包含共軛復(fù)數(shù)情形的處理：非奇異復(fù)變換實(shí)數(shù)化5/5,10/39[串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)]10.3基于有理分式矩陣描述的典型實(shí)現(xiàn)：能控形實(shí)現(xiàn)和能觀(guān)測(cè)形實(shí)現(xiàn)考慮以有理分式矩陣描述給出的真qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)G(s)=(gij(s))，i=1,…,qj=1,…,q進(jìn)而，表G(s)為“嚴(yán)真qp傳遞函數(shù)矩陣”和“qp常陣E”之和，即G(s)=(gij(s))=(eij)+(gijsp(s))=E+Gsp(s)且有E=G(∞)。再表Gsp(s)諸元即G(s)諸元的最小公分母d(s)為d(s)=sl+αl-1sl-1+…+α1s+α0基此，嚴(yán)真qp傳遞函數(shù)矩陣Gsp(s)可進(jìn)而表為其中，Pk(k=0,1,…,l-1)為qp常陣1/3,11/39結(jié)論10.35[能控形實(shí)現(xiàn)]對(duì)以有理分式矩陣描述給出的嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣Gsp(s)，其能控形實(shí)現(xiàn)具有形式而真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的能控形實(shí)現(xiàn)為2/3,12/39第一步應(yīng)證明第二步證明系統(tǒng)能控其中，Pk(k=0,1,…,l-1)為qp常陣結(jié)論10.36[能觀(guān)測(cè)形實(shí)現(xiàn)]對(duì)以有理分式矩陣描述給出的嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣Gsp(s)，其能觀(guān)測(cè)形實(shí)現(xiàn)具有形式而真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的能觀(guān)測(cè)形實(shí)現(xiàn)為3/3,13/3910.4基于矩陣分式描述的典型實(shí)現(xiàn)：控制器形實(shí)現(xiàn)和觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)右MFD的控制器形實(shí)現(xiàn)不失一般性，考慮qp右MFD和D(s)為qp和pp的多項(xiàng)式矩陣，設(shè)D(s)為列既約首先，對(duì)真導(dǎo)出其嚴(yán)真右MFD。其中，qp常陣E為“商陣”，qp多項(xiàng)式矩陣N(s)為“余式陣”。下面的問(wèn)題就是，對(duì)qp嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s),D(s)列既約構(gòu)造其控制器形實(shí)現(xiàn)。1/22,14/39(1)控制器形實(shí)現(xiàn)的定義定義10.4[控制器形實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，稱(chēng)一個(gè)狀態(tài)空間描述為其控制器形實(shí)現(xiàn)，其中如果滿(mǎn)足：Cc(sI－Ac)-1Bc=N(s)D-1(s)(AC,BC)為完全能控且具有特定形式2/22,15/39Dhc為D(s)的列次系數(shù)，且detDhc≠0DLc為D(s)的低次系數(shù)陣NLc為N(s)的低次系數(shù)陣結(jié)論10.37[構(gòu)造(AC,BC,CC)的結(jié)構(gòu)圖]對(duì)qp嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表達(dá)式：D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s)

N(s)=NLcΨC(s)其中3/22,16/39那么，基此可導(dǎo)出構(gòu)造(AC,BC,CC)的結(jié)構(gòu)圖稱(chēng)Ψc(s)Sc-1(s)為核心右MFD-uyu0y0圖10.5結(jié)論10.38[構(gòu)造(AC,BC,CC)的思路]給定qp嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，則在圖10.5所示構(gòu)造(AC,BC,CC)的結(jié)構(gòu)圖基礎(chǔ)上，對(duì)(AC,BC,CC)的構(gòu)造可分為兩步進(jìn)行：首先，對(duì)核心右MFD之Ψc(s)Sc-1(s)構(gòu)造實(shí)現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0),稱(chēng)其為N(s)D-1(s)的核實(shí)現(xiàn)。進(jìn)而，用核實(shí)現(xiàn)置換圖10.5所示結(jié)構(gòu)圖中的核心右MFD，再通過(guò)結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)導(dǎo)出N(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)。4/22,17/39(p×1)(p×p)(q×n)(q×1)(p×p)(p×n)(n×p)(p×p)(3)核實(shí)現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0)的構(gòu)造先來(lái)引入積分鏈組模型。相對(duì)于qp右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，其積分鏈組的組成如圖所示。圖中，為使組成表達(dá)整齊起見(jiàn)，已經(jīng)非實(shí)質(zhì)性地假定列次數(shù)滿(mǎn)足非降性，即成立kc1≤kc2≤…≤kcp。積分鏈組的輸入uch取為積分鏈組的輸出ych取為各個(gè)積分鏈的輸出構(gòu)成的向量5/22,18/396/22,19/39結(jié)論10.40[積分鏈組的狀態(tài)空間描述]相對(duì)于qp右MFDN(s)D-1(s)的積分鏈組模型，取狀態(tài)Xch﹑輸出Ych和輸入uch為7/22,20/398/22,21/39（4）控制器形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造結(jié)論10.42[控制器形實(shí)現(xiàn)]對(duì)真qp右MFD，其嚴(yán)真右MFD為N(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表達(dá)式：D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s)N(s)=NLcΨc(s)且知核MFDΨc(s)Sc-1(s)的實(shí)現(xiàn)為(Ac0,Bc0,Cc0)，則嚴(yán)真N(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)的系數(shù)矩陣為Ac=Ac0－Bc0Dhc-1DLc，Bc=Bc0Dhc-1，Cc=NLc

而真右MFD的控制器形實(shí)現(xiàn)為(AC,BC,CC,E)Bc0∫Cc0NLcD-1hcD-1hcDLcAc09/22,22/39例10．1

定出給定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)(Ac,Bc,Cc)，其中容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴(yán)真，進(jìn)而，定出列次數(shù)kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=3基此，又可定出10/22,23/39核實(shí)現(xiàn)可導(dǎo)出控制器形實(shí)現(xiàn)11/22,24/39控制器形實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)結(jié)論10.43[控制器形實(shí)現(xiàn)]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，由核實(shí)現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0)的結(jié)構(gòu)所決定，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)具有形式：12/22,25/39(2)控制器形實(shí)現(xiàn)和列次表達(dá)式在系數(shù)陣間的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)論10.44[對(duì)應(yīng)關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，控制器形實(shí)現(xiàn)系數(shù)矩陣(AC,BC,CC)和D(s)列次表達(dá)式系數(shù)陣之間具有直觀(guān)關(guān)系A(chǔ)c的第i個(gè)*行＝－Dhc-1DLc的第i行Bc的第i個(gè)*行＝Dhc-1的第i行其中，i=1,2,…,p。例10．2

定出給定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)(Ac,Bc,Cc)，其中容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴(yán)真，進(jìn)而，定出列次數(shù)kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=313/22,26/39基此，又可定出結(jié)論10.45[不完全能觀(guān)測(cè)屬性]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約的控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)，(AC,BC)為完全能控，但(AC,CC)一般為不完全能觀(guān)測(cè)。14/22,27/39結(jié)論10.46[系數(shù)矩陣間關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數(shù)矩陣之間具有關(guān)系：15/22,28/39證明：容易看出，需證明的關(guān)系式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等結(jié)論10.47[系數(shù)矩陣行列式間關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數(shù)矩陣行列式之間具有關(guān)系：det(sI-Ac)=(detDhc)-1detD(s)dim(Ac)=deg(detD(s))結(jié)論10.48[實(shí)現(xiàn)和N(s)關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)和MFD分子矩陣N(s)之間具有關(guān)系結(jié)論10.49[聯(lián)合能控能觀(guān)測(cè)條件]對(duì)嚴(yán)真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)聯(lián)合能控和能觀(guān)測(cè)的一個(gè)充分條件為，對(duì)所有s∈ξ，qp矩陣N(s)為列滿(mǎn)秩即rankN(s)=p左MFD的觀(guān)測(cè)形實(shí)現(xiàn)

考慮真qp左MFD為多項(xiàng)式矩陣，為行既約。為對(duì)真導(dǎo)出嚴(yán)真左MFD，引入矩陣左除法可以得到其中，DL-1

(s)NL(s)為嚴(yán)真左MFD。下面的問(wèn)題就是，對(duì)qp嚴(yán)真左MFDDL-1

(s)NL(s)，DL(s)行既約，構(gòu)造觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)定義10.5[觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp嚴(yán)真左MFDDL-1(s)NL(s)，DL(s)行既約，表行次數(shù)δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q，則稱(chēng)一個(gè)狀態(tài)空間描述16/22,29/39(2)核實(shí)現(xiàn)(A00B00C00)對(duì)嚴(yán)真DL-1(s)NL(s),行次數(shù)δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q,引入行次數(shù)表達(dá)式DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLrNL(s)=Ψr(s)NLr其中Dhr為DL(s)的行次系數(shù)矩陣，且detDhr≠0DLr為DL(s)的低次系數(shù)陣NLr為N(s)的低次系數(shù)陣17/22,30/39結(jié)論10.51[核實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp左MFDDL-1

(s)NL(s)，其核心MFDSr-1(s)Ψr(s)的實(shí)現(xiàn)即DL-1(s)NL(s)的核實(shí)現(xiàn)為嚴(yán)真DL－1(s)NL(s)的觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)的系數(shù)矩陣關(guān)系式為A0=A00－DLr(s)Dhr-1C00

B0=NL,C0=Dhr-1C00

18/22,31/39觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)結(jié)論10.53[觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)具有形式：19/22,32/39結(jié)論10.54[對(duì)應(yīng)關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)系數(shù)矩陣和DL(s)列次表達(dá)式系數(shù)矩陣之間具有直觀(guān)關(guān)系：A0的第j個(gè)*列=－DLrDhr-1的第j列C0的第j個(gè)*列=Dhr-1的第j列j=1，2，…，q。結(jié)論10.55[不完全能控屬性]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，則其觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)中，(A0，C0)為完全能觀(guān)測(cè)，但(A0，B0)一般為不完全能控。20/22,33/39結(jié)論10.56[系數(shù)矩陣間關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系數(shù)矩陣之間具有直觀(guān)關(guān)系：結(jié)論10.57[系數(shù)矩陣行列式間關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系數(shù)矩陣的行列式之間具有直觀(guān)關(guān)系：det(sI-A0)=(detDhr)-1detDL(s)dim(A0)=degdetDL(s)結(jié)論10.58[實(shí)現(xiàn)和NL(s)關(guān)系]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)和MFD的分子矩陣NL(s)之間具有關(guān)系：21/22,34/39結(jié)論10.59[聯(lián)合能控能觀(guān)測(cè)條件]對(duì)嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)(A0,B0,C0)聯(lián)合能控和能觀(guān)測(cè)的一個(gè)充分條件為，對(duì)所有s∈ξ，qp矩陣NL(s)為行滿(mǎn)秩即rankNL(s)=q。結(jié)論10.60[對(duì)偶性]設(shè)(A0,B0,C0)為“嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”的觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)，(Ac,Bc,Cc)為“嚴(yán)真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既約”的控制器形實(shí)現(xiàn)，則(A0,B0,C0)和(Ac,Bc,Cc)形式為對(duì)偶，即A0(=)AcT，C0(=)BcT

22/22,35/3910.5基于矩陣分式描述的典型實(shí)現(xiàn)：能控性形實(shí)現(xiàn)和能觀(guān)測(cè)性形實(shí)現(xiàn)基于矩陣分式描述的實(shí)現(xiàn)按“右或左MFD”和“分母矩陣列既約或行既約”共有四種可能的組合。上節(jié)已就“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既約”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”構(gòu)造“控制器形實(shí)現(xiàn)”和“觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)”。本節(jié)討論“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)行既約”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)列既約”構(gòu)造對(duì)應(yīng)的“能控性形實(shí)現(xiàn)”和“能觀(guān)測(cè)性形實(shí)現(xiàn)”。1/1,36/3910.6不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的最小實(shí)現(xiàn)最小實(shí)現(xiàn)也稱(chēng)為不可簡(jiǎn)約實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)是傳遞函數(shù)矩陣的維數(shù)最小即結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)約的一類(lèi)實(shí)現(xiàn)。結(jié)論10.78[不可簡(jiǎn)約右MFD最小實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp嚴(yán)真右MFDN(s)D－1(s)，設(shè)n=degdetD(s)表(Ac,Bc,Cc)為“N(s)D－1(s)，D(s)列既約”的n維控制器形實(shí)現(xiàn)，則有(Ac,Bc,Cc)為最小實(shí)現(xiàn)<=>N(s)D－1(s)不可簡(jiǎn)約表(Aco,Bco,Cco)為“N(s)D－1(s)，D(s)行既約”的n維能控性形實(shí)現(xiàn)，則有(Ac0,Bc0,Cc0)為最小實(shí)現(xiàn)<=>N(s)D－1(s)不可簡(jiǎn)約結(jié)論10.79[不可簡(jiǎn)約右MFD最小實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp嚴(yán)真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列或行既約，表(A，B，C)為其任意形式的n維實(shí)現(xiàn)，n=degdetD(s)，則有(A，B，C)為最小實(shí)現(xiàn)<=>N(s)D－1(s)不可簡(jiǎn)約1/3,37/39需要指出，盡管上述結(jié)論為由右MFD確定最小實(shí)現(xiàn)提供了一條易于計(jì)算的途徑，但這并不意味著由右MFD的最小實(shí)現(xiàn)只可能有控制器形或能控形的形式。下面，給出右MFD的最小實(shí)現(xiàn)的更具普遍性的結(jié)論。結(jié)論10.80[不可簡(jiǎn)約左MFD最小實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，設(shè)n=degdetDL(s),表(A0,B0,C0)為“DL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”的n維觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)，表(A0b,B0b,C0b)為“DL－1(s)NL(s)，DL(s)列既約”的n維能觀(guān)測(cè)性形實(shí)現(xiàn)，則(A0,B0,C0)為最小實(shí)現(xiàn)<=>DL－1(s)NL(s)不可簡(jiǎn)約(A0b,B0b,C0b)為最小實(shí)現(xiàn)<=>DL－1(s)NL(s)不可簡(jiǎn)約結(jié)論10.81[不可簡(jiǎn)約左MFD最小實(shí)現(xiàn)]對(duì)qp嚴(yán)真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行或列既約，表其任意形式的n維實(shí)現(xiàn)，n=degdetDL(s)，則有為最小實(shí)現(xiàn)<=>DL－1(s)NL(s)不可簡(jiǎn)約結(jié)論10.82[狹義惟一性]盡管?chē)?yán)真不可簡(jiǎn)約右MFD或嚴(yán)真不可簡(jiǎn)約左MFD的最小實(shí)現(xiàn)為不惟一，但其特定形式最小實(shí)現(xiàn)則為惟一，如控制器形最小實(shí)現(xiàn)、觀(guān)測(cè)器形最小實(shí)現(xiàn)、能控性形最小實(shí)現(xiàn)和能觀(guān)測(cè)性形最小實(shí)現(xiàn)等。結(jié)論10.83[不惟一性]對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，由不可簡(jiǎn)約MFD的不惟一性所決定，上述基于MFD的特定形式最小實(shí)現(xiàn)也為不惟一。結(jié)論10.84[維數(shù)惟一性]對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，不管表為哪種類(lèi)型的不可簡(jiǎn)約MFD，也不管導(dǎo)出的為哪種類(lèi)型的最小實(shí)現(xiàn)，最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)均為相同，且有最小實(shí)現(xiàn)維數(shù)＝MFD分母矩陣行列式的次數(shù)2/3,38/39結(jié)論10.85[代數(shù)等價(jià)性]對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)或矩陣分式描述MFD，其各種形式的最小實(shí)現(xiàn)之間為代數(shù)等價(jià)。結(jié)論10.86[確定最小實(shí)現(xiàn)途徑]對(duì)嚴(yán)真可簡(jiǎn)約MFD，確定最小實(shí)現(xiàn)的途徑可有頻率方法和時(shí)間域方法兩類(lèi)。頻率途徑為：嚴(yán)真可簡(jiǎn)約MFD，分母矩陣為列既約或行既約=>導(dǎo)出不可簡(jiǎn)約MFD，分母矩陣列既約或行既約=>導(dǎo)出“控制器形實(shí)現(xiàn)/能控性形實(shí)現(xiàn)”或“觀(guān)測(cè)器形實(shí)現(xiàn)/能觀(guān)測(cè)器性形實(shí)現(xiàn)”=>所得實(shí)現(xiàn)為最小實(shí)現(xiàn)，且維數(shù)等于分母矩陣行列式的次數(shù)時(shí)間域途徑為：嚴(yán)真可簡(jiǎn)約MFD，分母矩陣為列既約或行既約=>導(dǎo)出能控能觀(guān)測(cè)部分(Aco，Bco，Cco)=>導(dǎo)出能觀(guān)測(cè)能控部分(Aoc，Boc，Coc)=>最小實(shí)現(xiàn)即為(Aco，Bco，Cco) 3/3,39/39第11章線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的多項(xiàng)式矩陣描述

11.1多項(xiàng)式矩陣描述多項(xiàng)式矩陣描述(polynomialmatrixdescriptions)簡(jiǎn)稱(chēng)為PMD，是對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)引入的具有更廣普遍性的一類(lèi)內(nèi)部描述多項(xiàng)式矩陣描述的形式現(xiàn)在，推廣討論一般形式的多輸入多輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，定義那么，可以導(dǎo)出系統(tǒng)的多項(xiàng)式矩陣描述為PMD和其他描述的關(guān)系結(jié)論11.1[PMD的傳遞函數(shù)矩陣]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，由給出的PMD的傳遞函數(shù)矩陣G(s)為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)1/6,1/22結(jié)論11.2[狀態(tài)空間描述的PMD]給定線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：其中，E(p)為多項(xiàng)式矩陣，p=d/dt為微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系統(tǒng)的非真性。那么，狀態(tài)空間描述的等價(jià)的PMD為其中，為n×1廣義狀態(tài)，PMD的各個(gè)系數(shù)矩陣為P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)結(jié)論11.2[狀態(tài)空間描述的PMD]給定線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：其中，E(p)為多項(xiàng)式矩陣，p=d/dt為微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系統(tǒng)的非真性。那么，狀態(tài)空間描述的等價(jià)的PMD為其中，為n×1廣義狀態(tài)，PMD的各個(gè)系數(shù)矩陣為P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)結(jié)論11.3[MFD的PMD]給定q×p線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的右MFDN(s)D-1(s)+E(s)和左MFDDL-1(s)NL(s)+E(s)，其中N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)為嚴(yán)真MFD，E(s)為多項(xiàng)式矩陣。那么，等價(jià)于N(s)D-1(s)+E(s)的PMD為其中，為p×1廣義狀態(tài)，PMD的各個(gè)系數(shù)矩陣為P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s),W(s)=E(s)2/6,2/22等價(jià)于DL-1(s)NL(s)+E(s)的PMD為其中，為q×1廣義狀態(tài)，PMD的各個(gè)系數(shù)矩陣為P(s)=DL(s),Q(s)=NL(s),R(s)=I,W(s)=E(s)不可簡(jiǎn)約PMD

不可簡(jiǎn)約PMD是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的最為基本和應(yīng)用最廣的一類(lèi)PMD。定義11.1[不可簡(jiǎn)約PMD]稱(chēng)(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡(jiǎn)約PMD,當(dāng)且僅當(dāng){P(s),Q(s)}左互質(zhì)，{P(s),R(s)}右互質(zhì)把可簡(jiǎn)約PMD化為不可簡(jiǎn)約PMD是復(fù)頻率域方法中經(jīng)常面臨的一個(gè)問(wèn)題。3/6,3/22情形Ⅰ

{P(s),R(s)}右互質(zhì)，{P(s),Q(s)}非左互質(zhì)結(jié)論11.5[構(gòu)造不可簡(jiǎn)約PMD]對(duì)“{P(s),R(s)}右互質(zhì)，{P(s),Q(s)}非左互質(zhì)”型可簡(jiǎn)約PMD，表m×m多項(xiàng)式矩陣H(s)為非左互質(zhì){P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，再取則可簡(jiǎn)約PMD的一個(gè)不可簡(jiǎn)約PMD為情形Ⅱ

{P(s),R(s)}非右互質(zhì)，{P(s),Q(s)}左互質(zhì)結(jié)論11.6[構(gòu)造不可簡(jiǎn)約PMD]對(duì)“{P(s),R(s)}非右互質(zhì)，{P(s),Q(s)}左互質(zhì)”型可簡(jiǎn)約PMD，表m×m多項(xiàng)式矩陣F(s)為右互質(zhì){P(s),R(s)}的任一最大右公因子，再取即有則可簡(jiǎn)約PMD的一個(gè)不可簡(jiǎn)約PMD為4/6,4/22情形Ⅲ

{P(s),R(s)}非右互質(zhì)，{P(s),Q(s)}非左互質(zhì)結(jié)論11.7[構(gòu)造不可簡(jiǎn)約PMD]對(duì)“{P(s),R(s)}非右互質(zhì)，{P(s),Q(s)}非左互質(zhì)”型可簡(jiǎn)約PMD，表m×m多項(xiàng)式矩陣H(s)為非左互質(zhì){P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，取m×m多項(xiàng)式矩陣為的任一最大右公因子，取則可簡(jiǎn)約PMD的一個(gè)不可簡(jiǎn)約PMD為5/6,5/22結(jié)論11.8[不可簡(jiǎn)約PMD不唯一性]設(shè)(P(s),Q(s),R(s),W(s))為線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的一個(gè)不可簡(jiǎn)約PMD,P(s)為m×m多項(xiàng)式矩陣，Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項(xiàng)式矩陣。表U(s)和V(s)為任意兩個(gè)m×m單模陣，取則也為系統(tǒng)的一個(gè)不可簡(jiǎn)約PMD6/6,6/2211.2多項(xiàng)式矩陣描述的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)

PMD的實(shí)現(xiàn)

考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其多項(xiàng)式矩陣描述即PMD為其中，P(s)為m×m多項(xiàng)式矩陣；Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項(xiàng)式矩陣。定義11.2[PMD的實(shí)現(xiàn)]稱(chēng)狀態(tài)空間描述為PMD（P(s),Q(s),R(s),W(s)）的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，如果兩者的傳遞函數(shù)矩陣為相等，即成立：R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+E(s)其中，E(s)=E(p)︱p=s

注PMD的實(shí)現(xiàn)具有強(qiáng)不唯一性，即不僅實(shí)現(xiàn)的結(jié)果不唯一，且實(shí)現(xiàn)的維數(shù)也不唯一。1/1,7/2211.3多項(xiàng)式矩陣描述的互質(zhì)性和狀態(tài)空間描述的能控性與能觀(guān)測(cè)性

左互質(zhì)性與能控性

考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其多項(xiàng)式矩陣描述為其中，P(s)為m×m多項(xiàng)式矩陣，Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項(xiàng)式矩陣。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述即PMD的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為其中，A為n×n常陣，B和C為n×p和q×n常陣，E（p）為q×p多項(xiàng)式矩陣。下面，給出能控性和左互質(zhì)性間關(guān)系的結(jié)論結(jié)論11.16[左互質(zhì)性和能控性]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的PMD及其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，有（P(s),Q(s)）左互質(zhì)〈==〉(A,B)完全能控結(jié)論11.17[右互質(zhì)性和能觀(guān)測(cè)性]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的PMD及其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)有（P(s),R(s)）右互質(zhì)〈==〉(A,C)完全能觀(guān)測(cè)1/4,8/22結(jié)論11.18[不可簡(jiǎn)約PMD的最小描述性]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，如同稱(chēng)（A,B）完全能控和（A,C）完全能觀(guān)測(cè)的狀態(tài)空間描述（A,B,C,E(p)）為最小描述一樣，也稱(chēng)(P(s),Q(s))左互質(zhì)和(P(s),R(s))右互質(zhì)的不可簡(jiǎn)約PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為最小描述。結(jié)論11.19[MFD右互質(zhì)性和能觀(guān)測(cè)性]考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的右MFD為嚴(yán)真，其能控類(lèi)實(shí)現(xiàn)為其中，dim(Ac)=degdetD(s)。則有{D(s),N(s)}右互質(zhì)〈==〉(Ac,Cc)完全能觀(guān)測(cè)2/4,9/22結(jié)論11.20[MFD左互質(zhì)性和能控性]考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的左MFD為嚴(yán)真，其能觀(guān)測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)為其中，dim(A0)=degdetDL(s)。則有{DL-1(s),NL(s)}左互質(zhì)〈==〉(A0,B0)完全能控結(jié)論11.21[狀態(tài)空間描述的互質(zhì)性]考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為（A,B,C,E(p)），傳遞函數(shù)矩陣G(s)的關(guān)系式為G(s)=C(sI-A)-1B+E(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)則由PMD左右互質(zhì)性和狀態(tài)空間描述能控性能觀(guān)測(cè)性的等價(jià)關(guān)系，可知{sI-A,B}左互質(zhì)〈==〉(A,B)完全能控{sI-A,C}右互質(zhì)〈==〉(A,C)完全能觀(guān)測(cè)3/4,10/22結(jié)論11.22[SISO系統(tǒng)互質(zhì)性]考慮單輸入單輸出即SISO線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，表其傳遞函數(shù)g(s)為其中，P(s)為m×m多項(xiàng)式矩陣，r(s)和q(s)為1×m和m×1多項(xiàng)式項(xiàng)量， W(s)為多項(xiàng)式，φ(s)為P(s)的最小多項(xiàng)式。則有{P(s),r(s)}右互質(zhì)〈==〉φ(s)和r(s)H(s)不含相消因子{P(s),q(s)}左互質(zhì)〈==〉φ(s)和H(s)q(s)不含相消因子{P(s),r(s)}和{P(s),q(s)}均互質(zhì)〈==〉g(s)嚴(yán)真部分不含零點(diǎn)－極點(diǎn)對(duì)消4/4,11/2211.4傳輸零點(diǎn)和解耦零點(diǎn)

PMD的極點(diǎn)

考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其傳遞函數(shù)矩陣為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)定義11.3[PMD的極點(diǎn)]對(duì)PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，定義：PMD的極點(diǎn)＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的極點(diǎn)結(jié)論11.23[PMD的極點(diǎn)]表（A,B,C,E(p)）為PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)，則有PMD的極點(diǎn)＝“det(sI-A)=0”的根結(jié)論11.24[PMD的極點(diǎn)]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡(jiǎn)約，則有PMD的極點(diǎn)＝“detP(s)=0的根”定義11.4[PMD的傳輸零點(diǎn)]對(duì)PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其傳遞函數(shù)矩陣為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)，則定義：PMD的傳輸零點(diǎn)＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的零點(diǎn)1/2,12/22結(jié)論11.25[PMD的傳輸零點(diǎn)]表（A,B,C,E(p)）為PMD(P(s),Q(s),R(s)，W(s))的任一最小實(shí)現(xiàn)，則有PMD的傳輸零點(diǎn)＝使降秩的s值結(jié)論11.26[PMD的傳輸零點(diǎn)]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡(jiǎn)約，則有PMD的傳輸零點(diǎn)＝使降秩的s值2/2,13/2211.5系統(tǒng)矩陣

考慮線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其多項(xiàng)式矩陣描述為其中，P(s)為m×m非奇異多項(xiàng)式矩陣；Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項(xiàng)式矩陣。進(jìn)而，表上式為增廣變量方程形式，有定義11.8[PMD系統(tǒng)矩陣]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣定義為其增廣變量方程（11.143）的系數(shù)矩陣，即結(jié)論11.35[狀態(tài)空間描述系統(tǒng)矩陣]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)矩陣為1/4,14/22結(jié)論11.36[MFD系統(tǒng)矩陣]對(duì)q×p線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的 MFD，右N(s)D-1(s)的系統(tǒng)矩陣為左DL-1(s)NL(s)的系統(tǒng)矩陣為結(jié)論11.37[判斷不可簡(jiǎn)約性]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣為S(s)，有PMD不可簡(jiǎn)約〈==〉S(s)的前m行和前m列分別滿(mǎn)秩，結(jié)論11.38[PMD的極點(diǎn)零點(diǎn)]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣為S(s)，若PMD為不可簡(jiǎn)約，則有PMD的極點(diǎn)＝使S(s)左上方m×m塊矩陣降秩s值PMD的傳輸零點(diǎn)＝使S(s)降秩s值2/4,15/22增廣系統(tǒng)矩陣通常，一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的不同類(lèi)型描述的系統(tǒng)矩陣在維數(shù)上為不同。進(jìn)而，同一類(lèi)型不同描述的系統(tǒng)矩陣在維數(shù)上也常為不同。增廣系統(tǒng)矩陣正是為克服由此而引起的不便而在系統(tǒng)矩陣基礎(chǔ)上導(dǎo)出的一類(lèi)廣義系統(tǒng)矩陣。定義11.9[PMD增廣系統(tǒng)矩陣]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)PMD的增廣系統(tǒng)矩陣定義為其中，β為正整數(shù)且可按需要任取結(jié)論11.42[不可簡(jiǎn)約性相同]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)不可簡(jiǎn)約〈==〉S(s)不可簡(jiǎn)約結(jié)論11.43[互質(zhì)性相同]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有{Pe(s),Qe(s)}左互質(zhì)〈==〉{P(s),Q(s)}左互質(zhì){Pe(s),Re(s)}右互質(zhì)〈==〉{P(s),R(s)}右互質(zhì)3/4,16/22結(jié)論11.44[極點(diǎn)和傳輸零點(diǎn)相同]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的不可簡(jiǎn)約系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)的極點(diǎn)＝S(s)的極點(diǎn)Se(s)的傳輸零點(diǎn)＝S(s)的傳輸零點(diǎn)結(jié)論11.45[解偶零點(diǎn)相同]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的可簡(jiǎn)約系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)的輸入解偶零點(diǎn)＝S(s)的輸入解偶零點(diǎn)Se(s)的輸出解偶零點(diǎn)＝S(s)的輸出解偶零點(diǎn)結(jié)論11.46[傳遞函數(shù)矩陣相同]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣，即有Re(s)Pe-1(s)Qe(s)+W(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)結(jié)論11.47[分母矩陣行列式相同]線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)具有相同的分母矩陣行列式，即有detPe(s)=detP(s)結(jié)論11.48[特性關(guān)系屬性相同]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，引入增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)代替系統(tǒng)矩陣S(s)以討論不同描述間關(guān)系，不會(huì)損失不同描述在特性上的關(guān)系屬性，如互質(zhì)性、能控性能觀(guān)測(cè)性、穩(wěn)定性等。4/4,17/2211.6嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)

對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，考慮相同輸入和相同輸出的兩個(gè)PMD的系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)，它們既可屬于同一系統(tǒng)也可屬于不同系統(tǒng)，并表S1(s)和S2(s)分別為其中，Pi(s)為mi×mi非奇異多項(xiàng)式矩陣，Ri(s)、Qi(s)和Wi(s)為mi×p、q×mi和q×p多項(xiàng)式矩陣，i=1,2。進(jìn)而，不妨設(shè)m1＝m2＝m。定義11.10[嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)]稱(chēng)兩個(gè)PMD型系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)為嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)存在m×m單模陣U(s)和V(s)，以及q×m和m×p多項(xiàng)式矩陣X(s)和Y(s)，使成立：并且，記為S1(s)～S2(s)1/5,18/22三點(diǎn)說(shuō)明:1:嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)是一種變換關(guān)系2:嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換是一類(lèi)特定的左右單模變換3:嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性、自反性和傳遞性對(duì)稱(chēng)性：若S1(s)～S2(s)，則S2(s)～S1(s)。自反性：S1(s)～S1(s)。傳遞性：若S1(s)～S2(s)，S2(s)～S3(s)，則S1(s)～S3(s)。嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換的性質(zhì)

線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的兩個(gè)PMD型系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)，若S1(s)～S2(s)即嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)，則兩者分母矩陣P2(s)和P1(s)具有等同的不變多項(xiàng)式，即有detP2(s)=β0detP1(s)其中，β0為非零常數(shù)嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換下傳遞函數(shù)矩陣保持不變2/5,19/22對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，表兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣描述其系統(tǒng)矩陣為S1(s)和S2(s)，再令（A1,B1,C1,E1(p)）＝PMD1的任一能控類(lèi)或能觀(guān)測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)（A2,B2,C2,E2(p)）＝PMD2的任一能控類(lèi)或能觀(guān)測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)若S1(s)～S2(s)即嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)，則兩個(gè)同類(lèi)實(shí)現(xiàn)具有相同維數(shù)和相同特征多項(xiàng)式，即有dim(A1)=dim(A2)det(sI-A1)=det(sI-A2)嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換下系統(tǒng)同類(lèi)實(shí)現(xiàn)在維數(shù)和特征多項(xiàng)式上的等同性3/5,20/22左互質(zhì)性和右互質(zhì)性在嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換下的不變性對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，PMD的互質(zhì)性在嚴(yán)格等價(jià)變換下保持不變?nèi)鬝1(s)～S2(s)即嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)，則有{P2(s),Q2(s)}左互質(zhì)〈==〉{P1(s),Q1(s)}左互質(zhì){P2(s),R2(s)}右互質(zhì)〈==〉{P1(s),R1(s)}右互質(zhì)能控性和能觀(guān)測(cè)性在嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)變換下的不變性“狀態(tài)空間描述代數(shù)等價(jià)”和“系統(tǒng)矩陣嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)”的等價(jià)性對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，表兩個(gè)狀態(tài)空間描述為（A1,B1,C1,E1(p)）和（A2,B2,C2,E2(p)）系統(tǒng)矩陣為則有（A2,B2,C2,E2(p)）代數(shù)等價(jià)（A1,B1,C1,E1(p)）〈==〉S2(s)～S1(s)4/5,21/22傳遞函數(shù)矩陣的所有不可簡(jiǎn)約MFD的嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的q×p傳遞函數(shù)矩陣G（s），且不要求為嚴(yán)真，則G(s)的所有不可簡(jiǎn)約MFD必都為嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)結(jié)論11.57[不可簡(jiǎn)約PMD的嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的q×p傳遞函數(shù)矩陣G（s），G(s)的所有不可簡(jiǎn)約PMD為嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)描述在結(jié)構(gòu)性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)行為上的等同性由嚴(yán)格系統(tǒng)等價(jià)性保證，在不可簡(jiǎn)約的前提下，線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的三類(lèi)描述即狀態(tài)空間描述、右或左MFD以及PMD在用于系統(tǒng)的分析和綜合時(shí)的結(jié)果為完全等價(jià)，不會(huì)出現(xiàn)丟失系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的情況。5/5,22/22第12章線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻率域分析12.1并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性

并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)是以“輸入相同”和“輸出相加”為特征的一類(lèi)組合系統(tǒng)首先，給出對(duì)子系統(tǒng)的兩個(gè)基本假定。一是，S1和S2可由其傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)完全表征，即其相應(yīng)的狀態(tài)空間描述為完全能控和完全能觀(guān)測(cè)。二是，子系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣Gi(s)，i=1,2為qi×pi有理分式矩陣。且表為不可簡(jiǎn)約右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1(s)NLi(s)，i=1,2S1S2u=u1=u2，y=y1+y2

p1=p2=p，q1=q2=q結(jié)論12.1[能控性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN2(s)D2-1(s)則有Sp完全能控<=>{D1(s)，D2(s)}左互質(zhì)1/2,1/15結(jié)論12.2[能觀(guān)測(cè)性條件]線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有Sp完全能觀(guān)測(cè)<=>{DL1(s)，DL2(s)}右互質(zhì)結(jié)論12.3[不可簡(jiǎn)約性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)和G2(s)為“不可簡(jiǎn)約右MFDN1(s)D1-1(s)與N2(s)D2-1(s)”和“不可簡(jiǎn)約左MFDDL1-1(s)NL1(s)與DL2-1(s)NL2(s)”，則有Sp不可簡(jiǎn)約，即可用G1(s)+G2(s)完全表征<=>{D1(s)，D2(s)}左互質(zhì)，{DL1(s)，DL2(s)}右互質(zhì)結(jié)論12.4[能控性和能觀(guān)測(cè)性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和S2組成的多輸入多輸出并聯(lián)系統(tǒng)Sp，則Sp保持完全能控和完全能觀(guān)測(cè)的一個(gè)充分條件是，q×p傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)不包含公共極點(diǎn)。結(jié)論12.6[能控性和能觀(guān)測(cè)性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和S2組成的單輸入單輸出并聯(lián)系統(tǒng)Sp，則Sp保持為完全能控和完全能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是，標(biāo)量傳遞函數(shù)g1(s)和g2(s)不包含公共極點(diǎn)。2/2,2/1512.2串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性串聯(lián)系統(tǒng)是由子系統(tǒng)按串聯(lián)方式順序聯(lián)接的組合系統(tǒng)首先，對(duì)子系統(tǒng)引入兩個(gè)基本假定。一是，S1和S2可由其傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)所完全表征，即其狀態(tài)空間描述為完全能控和完全能觀(guān)測(cè)。二是，Gi(s)，i=1,2,為qi×pi有理分式矩陣，且表為不可簡(jiǎn)約右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1NLi(s)，i=1,2S1S2uu1y1u2y2y進(jìn)而，由子系統(tǒng)的S1－S2串聯(lián)特征，可以給出系統(tǒng)組成上的相應(yīng)約束條件為u=u1，y1=u2，y=y2

p1=p，q1=p2，q2=q結(jié)論12.7[能控性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和S2組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能控<=>{D2(s)，N1(s)}左互質(zhì)1/4,3/15結(jié)論12.8[能控性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能控<=>{DL2(s)，NL2(s)N1(s)}左互質(zhì)結(jié)論12.9[能控性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能控<=>{DL1(s)D2(s)，NL1(s)}左互質(zhì)結(jié)論12.10[能觀(guān)測(cè)性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能觀(guān)測(cè)<=>{DL1(s)，NL2(s)}右互質(zhì)2/4,4/15結(jié)論12.11[能觀(guān)測(cè)性保持條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能觀(guān)測(cè)<=>{DL1(s)D2(s)，N2(s)}右互質(zhì)結(jié)論12.12[能觀(guān)測(cè)性保持條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡(jiǎn)約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡(jiǎn)約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能觀(guān)測(cè)<=>{D1(s)，NL2(s)N1(s)}右互質(zhì)結(jié)論12.13[能控性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的多輸入多輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，設(shè)p=p1≥q1=p2，傳遞函數(shù)矩陣G1(s)為滿(mǎn)秩，則ST保持完全能控的一個(gè)充分條件是，沒(méi)有G2(s)極點(diǎn)等同于G1(s)傳輸零點(diǎn)3/4,5/15結(jié)論12.15[能觀(guān)測(cè)性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的多輸入多輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，設(shè)p2=q1≤q2=q，傳遞函數(shù)矩陣G2(s)為滿(mǎn)秩，則ST保持完全能觀(guān)測(cè)的一個(gè)充分條件是，沒(méi)有G1(s)極點(diǎn)等同于G2(s)傳輸零點(diǎn)。結(jié)論12.17[能控性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的單輸入單輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，則ST保持完全能控的充分必要條件是，沒(méi)有g(shù)1(s)零點(diǎn)為g2(s)極點(diǎn)所對(duì)消。結(jié)論12.18[能觀(guān)測(cè)性條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的單輸入單輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，則ST保持完全能觀(guān)測(cè)的充分必要條件是，沒(méi)有g(shù)1(s)極點(diǎn)為g2(s)零點(diǎn)所對(duì)消。結(jié)論12.19[完全表征條件]由線(xiàn)性時(shí)不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的單輸入單輸出串聯(lián)系統(tǒng)ST，則ST可用g2(s)g1(s)完全表征的充分必要條件是，g1(s)和g2(s)沒(méi)有極點(diǎn)零點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。4/4,6/1512.3狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性

結(jié)論12.21[狀態(tài)反饋系統(tǒng)復(fù)頻率域形式]對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變受控系統(tǒng)，狀態(tài)反饋系統(tǒng)復(fù)頻率域結(jié)構(gòu)基本形式如圖所示，并被采用作為復(fù)頻率域方法中分析和綜合狀態(tài)反饋的基本模型。Dhc-1Ψ(s)S-1(s)NLcDhc-1DLcKD-1(s)N(s)KΨ(s)結(jié)論12.22[狀態(tài)反饋系統(tǒng)的MFD]復(fù)頻率域結(jié)構(gòu)圖表征的線(xiàn)性時(shí)不變狀態(tài)反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的右MFD為GK(S)=N(s)DK-1(s)閉環(huán)分母矩陣DK(s)為DK(s)=DhcS(s)+(DLc+K)Ψ(s)1/2,7/15結(jié)論12.23[能控性]復(fù)頻率域結(jié)構(gòu)圖表征的線(xiàn)性時(shí)不變狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑K和開(kāi)環(huán)受控系統(tǒng)∑0有∑K完全能控<=>∑0完全能控結(jié)論12.24[能觀(guān)測(cè)性]復(fù)頻率域結(jié)構(gòu)圖表征的線(xiàn)性時(shí)不變狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑K和開(kāi)環(huán)受控系統(tǒng)∑0，∑0完全觀(guān)測(cè)不能保證∑K必為完全能觀(guān)測(cè)。2/2,8/1512.4輸出反饋系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性考慮圖示結(jié)構(gòu)組成的線(xiàn)性時(shí)不變輸出反饋系統(tǒng)∑F。首先對(duì)輸出反饋系統(tǒng)∑F引入三個(gè)基本約定：(i)子系統(tǒng)S1和S2為真或嚴(yán)真，且可由傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)分別