2023年實(shí)變函數(shù)論主要知識(shí)點(diǎn)

實(shí)變函數(shù)論重要知識(shí)點(diǎn)第一章集合集合的并、交、差運(yùn)算;余集和DeMｏrgaｎ公式;上極限和下極限;練習(xí):①證明;②證明;對(duì)等與基數(shù)的定義及性質(zhì)；練習(xí)：①證明；②證明；可數(shù)集的定義與常見的例；性質(zhì)“有限個(gè)可數(shù)集合的直積是可數(shù)集合”與應(yīng)用;可數(shù)集合的基數(shù);練習(xí)：①證明直線上增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)最多只有可數(shù)多個(gè)；②證明平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體所成的集合為一可數(shù)集；③；④[0,1]中有理數(shù)集的相關(guān)結(jié)論;不可數(shù)集合、連續(xù)基數(shù)的定義及性質(zhì)；練習(xí)：①;②(P為Cantor集);第二章點(diǎn)集度量空間，n維歐氏空間中有關(guān)概念度量空間(MetｒicＳpace)，在ＨYＰERＬINＫ""數(shù)學(xué)中是指一個(gè)集合,并且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。ｎ維歐氏空間:設(shè)Ｖ是ＨYPＥＲLINＫ＂"實(shí)數(shù)域R上的HYPERＬIＮK""線性空間(或稱為ＨYPＥRLＩNＫ""向量空間),若Ｖ上定義著正定對(duì)稱ＨＹＰERLINK＂＂雙線性型g(g稱為ＨYPEＲＬINK""內(nèi)積),則V稱為(對(duì)于g的)HＹPＥＲLIＮＫ"＂內(nèi)積空間或歐幾里德空間（有時(shí)僅當(dāng)V是有限維時(shí),才稱為歐幾里德空間）。具體來說，ｇ是V上的二元實(shí)值函數(shù)，滿足如下關(guān)系：（1）g(x,y）=ｇ(y,x);（2)g(x+y,z)=g(ｘ,ｚ)+g（y,z);（3）ｇ(kx,ｙ)=kg(x,y）；(４)ｇ(x,x)>＝0，并且ｇ(x,x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立。這里ｘ,y,z是V中任意向量，ｋ是任意HYPＥRLＩNK""實(shí)數(shù)。，聚點(diǎn)、界點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)的概念、性質(zhì)及鑒定(求法)；開核，導(dǎo)集,閉包的概念、性質(zhì)及鑒定(求法)；聚點(diǎn)：有點(diǎn)集E，若在HYPERＬINK"＂復(fù)平面上的一點(diǎn)z的任意HＹPERＬINK＂＂鄰域都有E的無窮多個(gè)點(diǎn),則稱z為E的聚點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn):假如存在點(diǎn)P的某個(gè)ＨYPＥRLIＮK＂＂鄰域U(P)∈E,則稱Ｐ為Ｅ的內(nèi)點(diǎn)。3、開集、閉集、完備集的概念、性質(zhì)；直線上開集的構(gòu)造;4、Cａｎｔor集的構(gòu)造和性質(zhì);5、練習(xí)：①,，;②=;第三章測度論外測度的定義和基本性質(zhì)(非負(fù)性,單調(diào)性,次可數(shù)可加性）；可測集的定義與性質(zhì)(可測集類關(guān)于可數(shù)并,可數(shù)交，差，余集，單調(diào)集列的極限運(yùn)算封閉）;可數(shù)可加性(注意條件)；零測度集的例子和性質(zhì);可測集的例子和性質(zhì);練習(xí):①，;②零測度集的任何子集仍為零測度集；③有限或可數(shù)個(gè)零測度集之和仍為零測度集;④[0,1］中有理數(shù)集的相關(guān)結(jié)論；5、存在不可測集合；第四章可測函數(shù)1、可測函數(shù)的定義,不可測函數(shù)的例子；練習(xí):①第四章習(xí)題3;2、可測函數(shù)與簡樸函數(shù)的關(guān)系;可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系（魯津定理）;3、葉果洛夫定理及其逆定理；練習(xí)：①第四章習(xí)題7；４、依測度收斂的定義、簡樸的證明;5、具體函數(shù)列依測度收斂的驗(yàn)證;6、依測度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系,兩者互不包含的例子;第五章積分論1、非負(fù)簡樸函數(shù)Ｌ積分的定義；練習(xí)：①Dｉｒechlet函數(shù)在上的L積分2、可測函數(shù)Ｌ積分的定義（積分?jǐn)M定;可積）；基本性質(zhì)（§５.4定理1和定理2諸條)；３、Ｌeｂesｇuｅ控制收斂定理的內(nèi)容和簡樸應(yīng)用;4、Ｌ積分的絕對(duì)連續(xù)性和可數(shù)可加性(了解)；5、Rｉemann可積的充要條件；練習(xí)：①上的Direｃhｌet函數(shù)不是R-可積的;６、Lebesguｅ可積的充要條件：若是可測集合上的有界函數(shù)，則在上L-可積在上可測；練習(xí)：①上的Dｉｒｅchlet函數(shù)是L-可積的;②設(shè)，則在上是否可積,是否可積,若可積,求出積分值。例１、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點(diǎn)+例２.邊長為a和ｂ（ａ>b)的矩形薄片斜置欲液體中,薄片長邊