用三垂線法求二面角的方法

用三垂線法求二面角的方法,假設(shè)和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。：如圖,PB的斜線,PAa平面,直線aAB.PaBA求證：aPaBA證明：∵PA的垂線,直線a平面∴直線aPA又∵直線aABABPAA∴直線aPABPB平面PAB∴aPBPAABaPBa三垂線定理提醒了一個(gè)平面和四條直線所構(gòu)成的三種垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，是線面垂直的性質(zhì)，在立體,應(yīng)用好定理的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)斜線與其在面內(nèi)射影垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，因此查找垂線、斜線及其射影至關(guān)重要。運(yùn)用三垂線法求二面角的一般步驃：①作：過二面角的其中一個(gè)平面上一點(diǎn)作(找)另一個(gè)平面的垂線,過垂足作二面角的棱的垂線。.②證：證明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定義)。③求：二面角的平面角的大小(常用面積相等關(guān)系求垂線段長(zhǎng)度)。31、ABCDABBCDBCCDBCCD1AD3

，①求二面角CABD的大小；②求二面角BCDA的大?。?A解：①∵AB面BCD ∴BCAB BDABCBD為二面角CABD的平面角B DBCCDBCCD1CBD=4∴二面角CABD的大小為 C4②∵AB面BCD BCCD ∴由三垂線定理得CDACACBBCDA的平面角BC2CD22∵BCCD∴BC2CD22∵AB平面BCD∴ABBC ABBDAD2AD2BD2∴AB

1RtABCtanACB

BC1，BCDA的大小為4方法點(diǎn)撥： 此題①的方法是直接運(yùn)用二面角的定義求解,此題②的關(guān)鍵是找出垂線其射影BC,。從而得到二面角的平面角為ACB。

ABAC22如下圖的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為正三角形，俯視圖為正方形〔尺寸如下圖VB22求二面角A—VB—D的余弦值．VEA正視圖 EA2D2B C俯視圖AB的中點(diǎn)P,連結(jié)VP、DE，則由題意可知VP⊥平面ABCD，∴DA⊥VP又∵AD⊥AB∴AD⊥平面VAB∵VAB是正三角形，EVBAE⊥VB，∴由三垂線定理得VB⊥DE.所以AED就是所求二面角的平面角.由得DA=2,AE=

3∴DE=3

∴COSAEDAE721ED 772121故二面角A—VB—D的余弦值為7 ．21方法點(diǎn)撥： 此題的關(guān)鍵是過二面角的一個(gè)平面VBD上一點(diǎn)D到二面角的另一個(gè)平面AVB的垂線D則斜線為DE,其射影為AE從而得到二面角的平面角為AED。,。.一個(gè)三棱錐SABC的三視圖、直觀圖如圖．求二面角SABC的正切值．AC4；由正視圖、側(cè)視圖知，點(diǎn)B在平面SAC上的正投影為AC的中點(diǎn)DBD3，BDSACBDAC；由俯視圖、側(cè)視圖知，點(diǎn)S在平面ABC上的正投影為DC的中點(diǎn)O，SO2SOABCSOAC．如圖．作CHAB于H，作OE//CHABE，則OEAB，SE，因OE是SE在底面ABC內(nèi)的射影，而OEAB，故由三垂線定理得SEABSEOSABC的平面角．△ABC△ABCBABC13，由△ABO的面積相等關(guān)系：12AOBD ABOE，12得OEAOBDAB9，13RtSEOtanSEO

213，故二面角SABC213.OE 9 9方法點(diǎn)撥：此題的難點(diǎn)是過二面角的一個(gè)平面SABS作二面角的另一個(gè)平面ABCSO,O作二面角的棱AB的垂線,從而得到斜線SEOE,從而得到二面角的平面角為SEO。SSFNDABC是以ABCSA平面ABC，SA=BC=2，AB=4.N、D分別是AB、SSFNDS—ND—A的正切值．A C4.解：過A作AF DN且與DN的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接∵SA平面ABC∴由三垂線定理得DFSF BSFA就是二面角S—ND—A的平面角，在RtBDN中,DN BD2BN2 5S1515RtAFNSinANF

BDSinBND AN ND∴AF 15

SA25AN ∴tanSFAAF 5 A C25F N D故二面角S—ND—A的正切值為5．BSFA。5.如下圖，圓柱底面的直徑AB長(zhǎng)