最小作用量原理

最小作用量原理物理學(xué)外文名principleofleastaction

類(lèi)型 描述客觀事物規(guī)律的一種方法目錄1原理簡(jiǎn)略費(fèi)馬的表述莫佩爾蒂的表述歐拉表述表觀目的論2數(shù)學(xué)描述3近代發(fā)展4應(yīng)用最小作用量原理（principleofleastaction）：是物理學(xué)中描述客觀事物規(guī)律的一種方法。即從一個(gè)角度比較客體一切可能的運(yùn)動(dòng)（經(jīng)歷），認(rèn)為客體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（經(jīng)歷）可以由作用量求極值得出，即作用量最小的那個(gè)經(jīng)歷。公元40年，希臘工程師（Hero）提出了光的最短路程原理，是最小作用量原理的早期表述，到中世紀(jì)，最小作用量原理思想被更多的人所接受。原理簡(jiǎn)略作為研究光線的反射和折射的結(jié)果，費(fèi)爾馬曾得出這樣的結(jié)論：“自然界總是通過(guò)最短的途徑發(fā)生作用的。”此后，莫培督在其1744年的一片著名論文中宣布了一個(gè)原理，他稱(chēng)之為“最小作用量原理?！彼眠@樣幾句話說(shuō)明了這個(gè)原理：“自然界總是通過(guò)最簡(jiǎn)單的方法產(chǎn)生起作用的。如果一個(gè)物體必須沒(méi)有任何阻礙地從這一點(diǎn)到另一點(diǎn)——自然界就利用最短的途徑和最快的速度來(lái)引導(dǎo)它。”（原先也一直不能并存的自然界各種規(guī)律現(xiàn)在就一致起來(lái)了?！犊茖W(xué)院的報(bào)告》，1744年4月15日，第421頁(yè)）簡(jiǎn)單地說(shuō)這意味著任何不受影響的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在發(fā)生變化時(shí)，其變化方式總是使有關(guān)的作用量為最小。在對(duì)物理實(shí)在（現(xiàn)象）的觀察中，科學(xué)家們相信，對(duì)于不同的觀察者物理實(shí)在可以不同，但其物理實(shí)在的結(jié)構(gòu)（規(guī)律）必定是相同的。物理學(xué)中描述物理實(shí)在結(jié)構(gòu)的方法之一就是作用量方法。這種方法從功能角度去考察和比較客體一切可能的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷），認(rèn)為客體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（經(jīng)歷）可以由作用量求極值得出，是其中作用量最小的那個(gè)。這個(gè)原理稱(chēng)為最小作用量原理。

Asaresultoftheresearchoflightreflectionandrefraction,fermathadreachedtheconclusionthat\"naturehappenthroughtheshortestway.\"Sincethen,MoPeioverseersinhis1744announcedaprincipleinafamousessay,hecalledit\"theprincipleofminimumaction.\"Withafewotherwordsandcleartheprinciple:\"natureisgeneratedbythesimplestwaytowork.Ifanobjectmustbenoobstaclestofromthispointtoanotherpoint,naturewillusetheshortestwayandthefastestspeedtoguideit.\"(theoriginalhasbeennotvariouslawsofnatureandconsistentnow.Theacademy'sreport,April15,1744,p.421)simplysaysthatmeansanydynamicsystemisnotaffectedinchanges,thechangewayalwaysmaketherelevantactiontoaminimum.Intheobservationofthephysicalreality(phenomenon),scientistsbelieve,fordifferentphysicalrealityoftheobservercanbedifferent,butitsphysicalstructure(regular)mustbethesame.Inphysicsonewaytodescribethestructureofthephysicalrealityisaction.Thismethodfromafunctionalperspectivetoexamineandcomparetheobjectallpossiblemovement(experience),thattheobjectoftheactualmovement(experience)canbeobtainedfromactionforextremum,actionisthesmallestone.Thisprincipleiscalledtheleastactionprinciple.費(fèi)馬的表述662年，皮埃爾·德·費(fèi)馬提出費(fèi)馬原理，又稱(chēng)為“最短時(shí)間原理”：光線傳播的路徑是需時(shí)最少的路徑。費(fèi)馬原理更正確的版本應(yīng)是“平穩(wěn)時(shí)間原理”。對(duì)于某些狀況，光線傳播的路徑所需的時(shí)間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對(duì)于平面鏡，任意兩點(diǎn)的反射路徑光程是最小值；對(duì)于半橢圓形鏡子，其兩個(gè)焦點(diǎn)的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對(duì)于半圓形鏡子，其兩個(gè)端點(diǎn)Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對(duì)于由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個(gè)點(diǎn)Q、P的反射路徑的光程是拐值。費(fèi)馬原理引發(fā)了極大的爭(zhēng)議。假若介質(zhì)的密度越小，光線移動(dòng)的速度越快，則費(fèi)馬原理是正確的；但是，艾薩克·牛頓和勒內(nèi)·笛卡兒都認(rèn)為介質(zhì)的密度越大，光線移動(dòng)的速度就越快。莫佩爾蒂的表述莫佩爾蒂發(fā)表的最小作用量原理闡明，對(duì)于所有的自然現(xiàn)象，作用量趨向于最小值。他定義一個(gè)運(yùn)動(dòng)中的物體的作用量為A,物體質(zhì)量m,移動(dòng)速度v與移動(dòng)距離s的乘積：A=mvs莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點(diǎn)來(lái)論述，最小作用量好像是一種經(jīng)濟(jì)原理。在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是，并沒(méi)有任何理由，能夠解釋?zhuān)瑸槭裁醋饔昧口呄蜃钚≈?，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎樣解釋最大作用量呢?歐拉表述1744年，萊昂哈德·歐拉在論文《尋找具有極大值或極小值性質(zhì)的曲線，等周問(wèn)題的最廣義解答》里，以非常清楚的字句，給出最小作用量原理的定義。

Lookingforcurve,withcharacteristicsofthemaximumorminimumisoperimetricproblemofthegeneralizedsolution表觀目的論微分運(yùn)動(dòng)方程數(shù)學(xué)等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的積分運(yùn)動(dòng)方程，這具有很重要的哲學(xué)意義。微分方程描述局部于空間的一點(diǎn)或單獨(dú)時(shí)間的片刻。舉例而言，牛頓第二定律F=ma解釋為瞬時(shí)作用力F施加于質(zhì)量為m的粒子會(huì)造成瞬時(shí)加速度為a的運(yùn)動(dòng)。明顯對(duì)比地，作用量原理不會(huì)局部于一點(diǎn)，而牽涉到積分于一段時(shí)間間隔或一個(gè)空間的局域。更重要地，通常在經(jīng)典作用量原理的表述里，系統(tǒng)的初始狀態(tài)和終結(jié)狀態(tài)是固定不變的。Mathematicalisequivalenttothecorrespondingdifferentialequationofmotionofintegralequationofmotion,ithastheveryimportantphilosophicalsignificance.Differentialequationtodescribethelocalpointinspaceortimealoneforawhile.Forexample,Newton'ssecondlawF=mainterpretedasinstantaneousforceFonqualityformparticlescancauseinstantaneousaccelerationasasport.Contrast,notlocaltoalittleactionprinciple,andinvolvestheintegralinaperiodoftimeintervaloraspaceinthelocalarea.Moreimportantly,usuallyinthepresentationoftheclassicactionprinciple,theinitialstateandendstateofthesystemisfixed.數(shù)學(xué)描述機(jī)械能守恒系統(tǒng)在位形空間真實(shí)軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所遵循的一個(gè)基本原理。二倍動(dòng)能T對(duì)時(shí)間dt的積分稱(chēng)為拉格朗日作用量2Tdt。在N維位形空間(q1，q2，…，qN)中，表示點(diǎn)沿著具有相同機(jī)械能的端點(diǎn)的真實(shí)路徑上的作用量和沿鄰近的可能路徑上的作用量比較，沿真實(shí)路徑的作用量取駐值(包括極值)?？紤]在N維q空間自始點(diǎn)A(q10，q20，…，qN0)出發(fā)的兩條運(yùn)動(dòng)的真實(shí)路徑，這兩條路徑是相鄰的，只是出發(fā)的方向略有不同。這兩條路徑除A外可能還有其他交點(diǎn)，若B是靠近A的第一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)兩條路徑的出發(fā)方向趨于一致時(shí)，B的極限點(diǎn)稱(chēng)為動(dòng)焦點(diǎn)。當(dāng)代表點(diǎn)的路徑長(zhǎng)超過(guò)時(shí)，作用量積分既非極小也非極大。長(zhǎng)度不超過(guò)始點(diǎn)和第一個(gè)動(dòng)焦點(diǎn)之間的路徑長(zhǎng)時(shí)，真實(shí)路徑的作用量是極小值。近代發(fā)展莫佩爾蒂于1744年發(fā)表了最小作用量原理。這原理闡明，對(duì)于所有的自然現(xiàn)象，作用量趨向于最小值。他定義作用量為物體的質(zhì)量，移動(dòng)距離，與移動(dòng)速度的乘積。1741年，莫佩爾蒂在巴黎科學(xué)院發(fā)表了一篇論文，"Loidureposdescorps"，（靜止物體定律）。他表明，在一個(gè)系統(tǒng)里，所有呈靜止?fàn)顟B(tài)的物體，假若有任何變化，產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，趨向于作用量的最小改變。在另一篇于1744年，在巴黎科學(xué)院發(fā)表的論文中，他提出了"Accorddeplusieursloisnaturellesquiavaientparujusqu'iciincompatibles"（幾種以前互不相容的自然定律的合一論)：光折射的路徑，從一種介質(zhì)到另一種介質(zhì)，是作用量的最小值。1746年，莫佩爾蒂更進(jìn)一步地在伯林科學(xué)院發(fā)表了論文，"Loixdumouvementetdurepos"（運(yùn)動(dòng)與靜止定律）。他表明，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)也趨向于最小作用量。為了便于分析，物體的全部質(zhì)量可以被視為集中于一點(diǎn)，稱(chēng)這一點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)。在十八世紀(jì)前期，關(guān)于質(zhì)點(diǎn)經(jīng)碰撞后的可能發(fā)生狀況，有很大的爭(zhēng)論。笛卡兒派與牛頓派物理學(xué)家認(rèn)為，在碰撞下，幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)量與相對(duì)速度是恒定的。萊布尼茨派則認(rèn)為活力(visviva)也是恒定的。由于兩個(gè)原因，這論點(diǎn)是笛卡兒派與牛頓派無(wú)法接受的:1.活力恒定不能應(yīng)用于硬物體（不能壓縮的物體）。2.活力的數(shù)學(xué)定義是質(zhì)量與速度平方的乘積。為什么速度在活力這數(shù)量里出現(xiàn)兩次？萊布尼茨派辯明，理由很簡(jiǎn)單，任何物質(zhì)對(duì)于運(yùn)動(dòng)都有一種自然的趨向。在靜止?fàn)顟B(tài)，物體里含有一個(gè)內(nèi)在的速度。當(dāng)物體開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，又產(chǎn)生了第二個(gè)速度項(xiàng)目。笛卡兒派與牛頓派則認(rèn)為這辯理簡(jiǎn)直是胡言。對(duì)于中古學(xué)者，運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在趨向這句話，具有一種奧秘的性質(zhì)；這中古學(xué)者的偏愛(ài)，必須毫無(wú)反顧地抗拒。今天，硬物體的概念已被完全地否定了。至于質(zhì)量與速度平方的乘積，這數(shù)量則是動(dòng)能的兩倍。現(xiàn)代力學(xué)給予了活力一個(gè)很重要的角色。對(duì)于莫佩爾蒂而言，硬物體的概念是很重要的。他提出的最小作用量原理有一個(gè)很特別的優(yōu)點(diǎn)：這原理可以應(yīng)用于硬物體與彈性物體。又可以應(yīng)用于靜止?fàn)顟B(tài)的物體與光，似乎，這原理可以廣泛的應(yīng)用于宇宙的每一個(gè)角落。莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點(diǎn)來(lái)論述：最小作用量好像一個(gè)經(jīng)濟(jì)原理:精省資源。它是有瑕疵，但是沒(méi)有任何理由，能夠解釋?zhuān)瑸槭裁此淖饔昧口呄蜃钚≈担皇亲畲笾?。事?shí)上，萊布尼茨證明過(guò)，在大自然現(xiàn)象中，這物理量有可能趨向最小值，也有同樣的可能趨向最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎么解釋最大作用量呢？在量子力學(xué)的發(fā)展中，作用量的不連續(xù)性不以其最初的假定方式保持下來(lái)。這種不連續(xù)性使解釋量子力學(xué)的數(shù)量關(guān)系成為可能，但卻沒(méi)有去找這種解釋。這樣，不連續(xù)性就以終極概念的身份出現(xiàn)了。作用量不連續(xù)在日后推廣為相對(duì)論的量子論中可以得到因果性的解釋?？磥?lái)這種推廣的嘗試對(duì)作用量概念本身帶來(lái)某些新的認(rèn)識(shí)，就像時(shí)空網(wǎng)格數(shù)的概念那樣，用普朗克常數(shù)去除作用量的表象沒(méi)有被排除，嬗變過(guò)程就在此網(wǎng)格中發(fā)生，在宏觀的近似中網(wǎng)格可以作為自身同一的基本粒子的世界線而加以研究。此時(shí)世界線的概率就同愛(ài)丁頓所說(shuō)的那種數(shù)量關(guān)系的作用量聯(lián)系在一起，于是最小作用量原理就成為最大概率原理。應(yīng)用相對(duì)論運(yùn)用時(shí)空事件的四維世界把最小作用量原理解釋為能夠從可能的世界線中挑選出實(shí)際的世界線的原理。在這種情況下相對(duì)論并沒(méi)有給最小作用原理添加進(jìn)新的物理內(nèi)容。這種物理內(nèi)容可以為量子物理所引入。只有作出某種把相對(duì)論和微觀世界聯(lián)系在一起的解釋的情況下，根據(jù)更為一般的設(shè)想，相對(duì)論或許有“推出”最小作用原理的可能。在建立廣義相對(duì)論時(shí)愛(ài)因斯坦用過(guò)最小作用原理。此時(shí)作用量的概念得到某些新的解釋。如所周知，在決定空間和時(shí)間的曲率時(shí)借助于四個(gè)恒等式，并且力求排除表征空間時(shí)間特性但不表征曲率的多余的參量