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文檔簡介

——《過程控制原理》課程(第4章)?過程裝備與控制工程?專業(yè)陳祥光2013年3月本章作業(yè):4-1、4-2、4-3——前言

伊文思(W.R.Evans)于1948年首先提出了一種求解系統(tǒng)特征方程式根的簡便圖解法,稱為根軌跡法,在過程控制中獲得廣泛應(yīng)用。所謂根軌跡是指系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時,閉環(huán)系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的相應(yīng)軌跡。在根軌跡中主要研究的是以系統(tǒng)開環(huán)增益為參變量的根軌跡,之后又推廣到隨其它參數(shù)變化的廣義根軌跡?!?章控制系統(tǒng)根軌跡分析法4.1根軌跡法的基本概念4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則4.3根軌跡繪制方法舉例4.4系統(tǒng)具有純滯后環(huán)節(jié)的根軌跡4.5根軌跡法在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中的應(yīng)用——本章提要研究s平面閉環(huán)特征根的位置分布對反饋系統(tǒng)性能的影響。通過選擇一個或多個系統(tǒng)參數(shù)的取值,可以調(diào)整閉環(huán)反饋系統(tǒng)的響應(yīng),使之具有預(yù)期的性能。因此,掌握s平面上的特征根位置隨參數(shù)變化的規(guī)律是很有用的。s平面上的根軌跡可以用圖解法來確定。當(dāng)一個參數(shù)變化時,根的變化軌跡即根軌跡圖。根軌跡法是分析和設(shè)計反饋控制系統(tǒng)的有效工具。首先討論手工繪制根軌跡草圖的實用方法,然后討論用計算機繪制根軌跡圖的方法及其在設(shè)計中的有效性。并討論PID控制器參數(shù)與系統(tǒng)根軌跡的關(guān)系。——4.1根軌跡法的基本概念為了說明根軌法的基本概念,先討論圖4-1所示的簡單二階系統(tǒng)。圖4-1二階單位反饋系統(tǒng)X(s)E(s)

Z(s)

Y(s)設(shè)H(S)=1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為——4.1根軌跡法的基本概念在此設(shè)H(s)=1系統(tǒng)的特征方程為

現(xiàn)在的問題是以開環(huán)增益K為參變量,用解析法求出特征方程的根,然后令K從零變化到無窮大,畫出這個系統(tǒng)的根軌跡圖?!?.1根軌跡法的基本概念該二階系統(tǒng)的特征根為

當(dāng)時,和為互不相等的兩個實根;當(dāng)K=1時,兩根相等,即==-1,當(dāng)時,兩個根成為共軛復(fù)數(shù)根:——4.1根軌跡法的基本概念K00-20.5-0.293-1.7070.75-0.5-1.51-1-12-1+j-1-j3-1+j-1-j………………-1+j-1-j

應(yīng)注意,當(dāng)K=1時,兩根的實部均等于常數(shù)(-1)。K為不同值時的特征方程式的根列于表4-1。

表4-1——4.1根軌跡法的基本概念j2.0j1.0-j1.0-j2.0-1-23.02.01.0K=02.03.0K=0KKj圖4-2二階系統(tǒng)的根軌跡

K從零變化到無窮大時的根軌跡,如圖4-2所示。圖中的箭頭表示K值增大的方向。——4.1根軌跡法的基本概念返27從圖4-2可以看到:

(1).此二階系統(tǒng)的根軌跡有兩條分支,當(dāng)K=0時分別從開環(huán)極點0和(-2)出發(fā)。也就是說,在根軌跡的起始點(K=0),閉環(huán)極點(即閉環(huán)特征根)與開環(huán)極點相同。

(2).當(dāng)K從零向1增加時,兩個閉環(huán)特征根和沿著相對的方向向著(-1,j0)移動。這時,和都在負實軸上,系統(tǒng)阻尼系數(shù)>1,對應(yīng)于系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。——4.1根軌跡法的基本概念

(3).當(dāng)K增加到K=1時,兩個特征根和會合于(-1,j0)點,即==-1,此時=1,對應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。

(4).當(dāng)K進一步增加到K>1時,兩個根和離開實軸,變?yōu)楣曹棌?fù)數(shù)根,其實部保持為常數(shù)(-1),對應(yīng)<1的欠阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)輸呈現(xiàn)衰減振蕩。K值越大,振蕩頻率越高。但由于實部為常數(shù),系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間變化不大?!?.1根軌跡法的基本概念—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

4.2.1繪制根軌跡的相角條件和幅值條件

圖4-3所示反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4-1)因此,系統(tǒng)的特征方程為

圖4-3反饋控制系統(tǒng)

從這個例子已經(jīng)知道,繪制根軌跡就是求解特征方程式(4-2)。(4-2)-—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

顯然,凡能滿足方程(4-2)的一切s值,都將是根軌跡上的點,將特征方程改寫為(4-3)

式(4-3)又稱為根軌跡方程。方程式中的是復(fù)變量s的函數(shù),可以表示為幅值和相角的形式,即—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則式(4-3)右邊的(-1)可以寫成

根據(jù)等式兩端相角和幅值應(yīng)分別相等的條件,可以將式(4-3)寫成兩個方程:=1(2h+1)=(奇數(shù)個)(4-4)(4-5)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

式(4-4)和(4-5)分別稱為根軌跡的幅值條件和相角條件。根軌跡上的所有點都應(yīng)滿足這兩個基本條件,反之,所有滿足幅值條件(4-4)和相角條件(4-5)的點s,都是根軌跡上的點。

過程控制系統(tǒng)通??蓪懗梢韵滦问剑?/p>

()(4-6)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

式中

分別為調(diào)節(jié)器、調(diào)節(jié)閥、控制對象和測量裝置的增益。在根軌跡法中采用的是零、極點形式的傳遞函數(shù),為此令—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則則可寫為式中:為系統(tǒng)開環(huán)零點,為系統(tǒng)開環(huán)極點,—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

每一個復(fù)變因子

也可寫成幅值和相角的形式,即—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

因此將式(4-7)代入方程(4-4)和(4-5),即可得到便于繪制根軌跡圖的具體幅值條件和相角條件:,或

(4-10)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則(4-9)

首先檢驗試驗點是否滿足相角條件。將試點和一個開環(huán)極點標(biāo)記在復(fù)平面上,如圖4-4(a)所示。圖4-4(a)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

從原點到的定向線段或矢量表示復(fù)數(shù)量的坐標(biāo)。此線段的長度為的幅值,此線段的幅角(從正實軸量起)是。同樣,從原點到的定向線段或矢量表示復(fù)數(shù)量的極坐標(biāo)。因此從開環(huán)極點到畫出的定向線段或者說從引向的矢量是,此線段的長度為復(fù)數(shù)量的幅值,幅角為?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

于是,檢驗?zāi)骋稽c是否位于根軌跡上的方法是,從開環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點和零點向試驗點畫定向線段,如圖4-4(b)所示。圖4-4(b)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

如果從零點所畫定向線段的幅角是而從極點所畫定向線段的幅角是,則根軌跡上的點必須滿足方程(4-10),即(4-11)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則與此點相對應(yīng)的K值可由方程(4-9)確定。

如果是從零點所畫線段的長度,而是從極點所畫線段的長度,則應(yīng)滿足方程(4-9),即(4-12)

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

以上討論了檢驗?zāi)骋稽c是否位于根軌跡上的方法。如果該試驗點位于根軌跡上,則相應(yīng)的K值便可以根據(jù)式(4-12)確定。在第4.1節(jié)的例子中,可以求得(-1+j)這一點的K值為2。這點到每個極點(0和-2)的距離都等于。例子中沒有開環(huán)零點,所以根據(jù)式(4-12)得—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則轉(zhuǎn)10

顯然,用解析法以及上述對若干個試驗點進行檢驗,試探地畫出根軌跡的方法都是困難的。伊文思(W.R.Evans)總結(jié)出一套繪制根軌跡的基本規(guī)則。

利用這些規(guī)則可以比較容易地畫出系統(tǒng)的根軌跡。當(dāng)然,也可以用數(shù)字計算機繪制根軌跡圖?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則4.2.2繪制根軌跡的基本規(guī)則下面介紹以開環(huán)增益K為參變量的根軌跡繪制規(guī)則規(guī)則1

根軌跡的分支數(shù)和對稱性式(4-7)表示的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成(4-13)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則因此,系統(tǒng)的特方程式為或

由于Q(s)和P(s)分別是s的n階和m階多項式,而n≥m,所以特征方程的階次為n,即特征方程有n個閉環(huán)極點?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則規(guī)則2

根軌跡的起點終點K=0時,根軌跡起始于開環(huán)極點,K=時,根軌跡終止于開環(huán)零點。系統(tǒng)特征方程式為

(4-15)(4-16)即

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

根軌跡的起點是指開環(huán)增益K=0時根軌跡的位置。當(dāng)K=0時,特征方程(4-16)變?yōu)?/p>

因此,特征根為,所以根軌跡的起點就是開環(huán)極點?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

根軌跡的終點是指當(dāng)K時根軌跡的位置。將式(4-16)兩邊用K除,得到(4-17)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則當(dāng)K時,特征方程(4-17)變?yōu)?/p>

因此,特征根為,所以根軌跡的終點就是開環(huán)零點?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

在前面2.6節(jié)中討論傳遞函數(shù)的零點和極點時,曾提到無限零點()的概念,即

這就意味著,在處,系統(tǒng)有(n-m)個開環(huán)零點,稱為無限零點?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

由幅值條件(4-9)可以看出,在時有

所以,當(dāng)K時,n條根軌跡分支中的其余(n-m)條分支終止于(n-m)個無限零點,即終止于無限遠處。—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

②由于,所以當(dāng)K從零變化到無窮大時,在從n個開環(huán)極點出發(fā)的n條軌跡分支中,有m條分支終止于m個有限開環(huán)零點,而其余的(n-m)條分支終止于無限遠處的零點。綜上所述,可得出如下結(jié)論。

①系統(tǒng)的根軌跡起始于開環(huán)極點,終止于開環(huán)零點,包括無限遠處的零點;—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則規(guī)則3

實軸上的根軌跡

如果某一段實軸右方的開環(huán)實極點數(shù)與實零點數(shù)之和為奇數(shù),則這段實軸是根軌跡的一部分。設(shè)的零、極點分布圖如圖4-5所示。圖4-5—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

在實軸上任取一試驗點,若是根軌跡上的點,則它必須滿足相角條件。

由圖4-5不難看出,由任何一對開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點()和()對構(gòu)成的總幅角為,即:—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

同理,一對共軛復(fù)數(shù)零點對試驗點構(gòu)成的總幅角也是。因此不論系統(tǒng)有多少對復(fù)數(shù)零極點,在中的作用只是增加或減少若干個,而對是奇數(shù)個還是偶數(shù)個沒有影響。也就是說,在檢驗點是否滿足相角條件時,可以不考慮共軛復(fù)數(shù)零點和極點?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

①漸近線的方向角

根軌跡中(n-m)條趨向無窮遠處分支的漸近方向角為

(4-18)

規(guī)則4

根軌跡的漸近線—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則圖4-6—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

由圖4-6可以看出,當(dāng)s趨于無窮遠時,從所有開環(huán)零極點引向s點的定向線段變成平行直線,而原來對s點構(gòu)成的各幅角也變得相等了,都可以用表示,即當(dāng)時,有因此,由式(4-10)相角條件可得—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

式中(2h+1)表示奇數(shù)個,所以前面的負號可以省去。由于上式可以計算出(n-m)個,也就是說,(n-m)條趨向無窮遠處的根軌跡分支在遠方各有一個方向角,分別近似為一條直線。這(n-m)條直線以角向各個方向輻射。這些直線就是K時根軌跡將趨近的漸近線?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

②根軌跡的漸近線與實軸相交于一點,交點的橫坐標(biāo)以s=表示,則(4-19)

因根軌跡對稱于實軸,所以(n-m)條漸近線的交點必在實軸上。我們來證明式(4-19)?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式為:(4-20)

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則由圖4-7可以看出,當(dāng)時有圖4-7—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則所以,開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)時,變成—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

根據(jù)牛頓二項式展開定理,上式可寫成(4-21)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則比較式(4-21)和(4-20),可得即于是關(guān)于漸近線交點的規(guī)則得證。

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

由于復(fù)數(shù)零極點總是以共軛復(fù)數(shù)形式成對出現(xiàn),一對共軛零點或極點相加時,虛部抵消,所以由上式計算出的()總是實數(shù)。圖4-8給出了當(dāng)n-m=1,2,3,4時漸近線的圖形?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則圖4-8根軌跡的漸近線

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則規(guī)則5

根軌跡的分離點和會合點根軌跡的分離點或會合點是下列方程的解:(4-22)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

在證明本規(guī)則之前,先對分離點或會合點作一些說明。一般情況下,如果實軸上兩相鄰極點間的一段屬于根軌跡。那么從這兩個極點出發(fā)的根軌跡分支必然在這段實軸上的某點相遇,然后離開實軸進入s平面的復(fù)數(shù)區(qū)域,趨向有限零點或無窮遠處。

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

兩個分支相遇并離開實軸的點稱作分離點,如圖4-9a所示。如果實軸上兩鄰有限零點(或一個有限零點,一個無限零點)之間的一段屬于根軌跡那么必然有來自復(fù)數(shù)區(qū)域的兩條根軌跡分支在這段實軸上的某點進入實軸,然后分別終止于兩個開環(huán)零點。

圖4-9根軌跡的分離點和會合點

—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

兩個分支進入實軸的這個點,稱作會合點,如圖4-9b所示。因根軌跡分支會合后必然要分開,所以有時把會合點也包括在分離點內(nèi),統(tǒng)稱為分離點?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則圖4-9根軌跡的分離點和會合點

顯然,根軌跡的分離點和會合點是和系統(tǒng)特征方程式的重根相對應(yīng)的。在分離點或會合點有幾條根軌跡分支,則代表著特征方程有幾重根。例如,圖4-9所示的兩條分支的交點(分離點或會合點)對應(yīng)著特征方程的二重根?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

由于根軌跡的對稱性,圖4-9中根軌跡分支離開或進入實軸時與實軸正交,兩根軌跡分支分離時彼此相差180°。在后面的例題中我們還會看到,當(dāng)4條根軌跡分支從一個分離點離開實軸時,彼此相差90°?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

當(dāng)然一個根軌跡圖可以有多個分離點,而且分離點也不一定都在實軸上。由于根軌跡的對稱性,分離點必須是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對。一般情況下,根軌跡分離點位于實軸上。下面我們來證明根軌跡分離點和會合點的確定規(guī)則,即方程(4-22)?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則因此,

式中,為對s的導(dǎo)數(shù)。

即—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

當(dāng)時,上式右邊等于零,所以(4-23)

因,故從方程(4-23)至少可以解得一個根等于原特征方程的重根(),也就是根軌跡的分離點或會合點。開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為(4-24)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則所以

由上式和方程(4-23)可以得到求解分離點方程的另一種形式:(4-25)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則特征方程可寫成

因此,—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

將式(4-25)代入上式,即可得到?jīng)Q定根軌跡分離點(或會合點)的方程

應(yīng)該指出,根軌跡如有分離點,則從上列方程一定能解得與分離點對應(yīng)的根,但不一定所有的根都是根軌跡的分離點。顯然,分離點必須是根軌跡上的點,如果有的根不在根軌跡上,應(yīng)該舍去?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則圖4-10畫出了實軸上兩相鄰極點和兩相鄰零點之間根軌跡分支的變化情況以及對應(yīng)的K值變化。—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則圖4-10根軌跡在實軸上的分離點和會合點及K值變化情況—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

當(dāng)兩條根軌跡分支同時到達分離點時,相應(yīng)于這一段根軌跡的K值達到“最大值”。K值繼續(xù)增加,根軌跡就離開實軸進入s平面上的復(fù)數(shù)區(qū)域。這里所謂的“最大值”,實際上是局部最大值。同樣,根軌跡分支在會合點從復(fù)數(shù)區(qū)域進入兩個零點之間的實軸部分后,隨意K值繼續(xù)增加,最后將終止于零點。—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

因此,對于實軸上的根軌跡來說,在會合點,K為局部最小值。由于在分離點或會合點,K為局部極值,所以有

這樣,即可利用上式求出根軌跡的分離點和會合點。—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則規(guī)則6

根軌跡與虛軸的交點

根軌跡與虛軸的交點對應(yīng)于系統(tǒng)特征方程的純虛根。當(dāng)根軌跡從左半S平面穿過虛軸進入右半S平面時,系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,因此,根軌跡與虛軸的交點是很重要的點。可以用如下兩種方法求取交點的值以及相應(yīng)的K值,此K值是系統(tǒng)的臨界增益值?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

(1).直接將代入特征方程,并令其實部和虛部分別等于零,即可求出交點的值和相應(yīng)的K值。將代入特征方和,得—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則寫成實部和虛部形式令實部和虛部分別等于零,可得到(4-26)由方程組(4-26)即可求得和K值?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

(2).以上方法受到系統(tǒng)階次的限制。遇到高階系統(tǒng)時,可采用下面一種比較簡便的方法。

按系統(tǒng)的特征方程列出勞斯陣列,并令其第一列的有關(guān)元素為零,以求出臨界增益K值,再由輔助方程求出交點的值。—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則規(guī)則7

根軌跡在復(fù)極點的出射角和在復(fù)零點的入射角當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有復(fù)極點或復(fù)零點時,根軌跡將以一定的角度從復(fù)極點出發(fā),或以一定的角度到達零點。這些角度可以利用相角條件,即方程(4-10)求得。例如系統(tǒng)的零點、極點分布如圖4-12所示?!?.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則確定根軌跡從復(fù)極點()出發(fā)的出射角,記作。在從()出發(fā)的根軌跡上取一點,它與()的距離為足夠小的量。應(yīng)滿足相角條件—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則

圖4-12確定復(fù)極點的出射角

當(dāng)時,系統(tǒng)所有零點和極點畫向點的定向線段(或引向點的矢量)都指向復(fù)極點()。因此各零、極點對的相角成為對()的相角,而就變成了()的出射角,于是以上相角條件為—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則由此可求得()的出射角為式中表示奇數(shù)個,所以前邊的負號可以省去。一般對于系統(tǒng)某一復(fù)數(shù)極點(),根軌跡的出射角由下式?jīng)Q定:(4-27)—4.2繪制根軌跡圖的基本條件和基本規(guī)則上式中--各有限零點至極點()的矢量幅角;

--其他極點至極點()的矢量幅角。同樣,根據(jù)相角條件可以導(dǎo)出系統(tǒng)的某一復(fù)

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