課件教程分析

第三節(jié) 可利用變量代換法求解的一階微分方程習 12-求下列微分方程的通解 xyyxex; y(lnylnx); xyy (x2y2)dx2xydy0xx2 2x3yy(2x2y2) (x 0ycos)dx xcos y (x3y3)dx3xy2dy0 xyyx x解

yyx

yexyu,

yuxdu,

uxduueueududxx解此方程,

eulnxlnCxlnCx0yx方程化yxyuyyu ydu,方程 y x,dxxuxduulnu解此方程,

u(lnu1)

dxxlnlnu1lnxlnC方程化

yxeCx11(yxy1(yxxyu,

yuxdu,xx

,1d1x解此方程,

ln(u1u2)lnxlnC方程化

y Cx2x2dy1(xx2yu,

yuxdu,

2 uxdu

1u, 解此方程,

2ududx,1u2 ln1u2lnClnx方程化

y2x(xC) 1 ()]yu,

yuxdu,

2 解此方程,

uxduu(2u2), 2dudx u2lnxCx2y2(lnxC)方程化

dysecyy, yu,

yuxdu,解此方程,方程化

uxdusecuu,cosududxxsinulnxC,sinylnxCx[() 1x [()yu,

yuxdu,

3 uxdu1(1u), 3u2 解此方程,

1 1ln12u3lnxC,方程化

x32y3Cx yu,

yuxdu,

解此方程,

uxduutanu,cotududxxlnsinulnxlnC,sinyCx.x求下列微分方程滿足所給初始條件的特解yx2

y(y23x2)dy2xydx0,y(0)(x22xyy2)dx(y22xyx2)dy0,y(1)yxy2(xyy),y(1)解

dyyx, yu,

yuxdu,

uxduu1 ududxx解此方程,

u2lnxC,y22x2(lnxC)將初始條件代入得C2,y22x2lnx2)方程化

dx3x1yxu,dxuydu,

2 2

uydu3u1解此方程,

(u2

dudyylnu21lnylnCx2y2Cy3將初始條件代入得C1,y3y2x2方程化y22y (x x y

dyuxdu,

(y)22y

u22uux u22uu22u du )du u3u2u u u2 解此方程,

lnuu2

lnxlnxyx2

C將初始條件代入得C1,xyx2y2方程化yu,dyuxdu,

dy

y 12x

uxduu2解此方程,

12u

1dudxx1[arctanuln(1u2)]lnxC,arctanyln(x2y2)Cx

π2e將初始條件代入得C ln2ln(2e4),特解為 x2求下列微分方程的通解y4yy(cosxsinx)y2 y y4x

yy2xy10 (yx2)dy2xydx0

dyyalnxy2; 解

y2yy1(cosxsinx)zy1,求解此線性方程,

zzsinxcosxzedx[(sinxcosx)edxdxC]ex(exsinxC)方程化

1sinxCexyy2y

4y2x1x11zy2,求解此線性方程,

2

z2zx x2 方程化

zex[exdxC]x2(lnxC) yx4(C1lnx)22yyy22xzy2,求解此線性方程,

z2z4xze2dx[4xe2dxdxC]e2x[(2x1)e2xC]2x1Ce2x方程化zy1,求解此線性方程,

1

y2Ce2x2x1y2y1y1alnxxz1zalnxx1 zex[alnxexdxC] ln2x2xyC

a(lnx)2

1方程化

2xdx1x21, dx21x21, 求解此線性方程,

x2

1y(

1ydyC)y(lnyC)x2y(Clny)用適當?shù)淖儞Q,求下列微分方程的通解xyyylnxy (xy)2ya2 2

x

x dx(xy)41解 令uxy,

(xy)ylnxyuulnux求解此微分方程,

uln

dxxlnln

lnxlnC令uxy,求解此微分方程,

xyeCxu2(u1)a2a2u2dx令ux

,

uaarctanuxCayaarctanx