第4章 恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)

麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)恒定磁場(chǎng)宏觀電磁理論的核心：靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)電荷在電場(chǎng)作用下定向運(yùn)動(dòng)電流產(chǎn)生形成電流恒定電流（直流）--電流不隨時(shí)間變化時(shí)變電流--電流隨時(shí)間變化恒定電場(chǎng)恒定磁場(chǎng)第四章恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)基本方程邊界條件恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的靜電比擬法

----計(jì)算電導(dǎo)（電阻）恒定磁場(chǎng)的矢量磁位電感及其計(jì)算§4.1恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)的基本方程恒定電場(chǎng)的邊界條件靜電比擬法一、恒定電場(chǎng)的基本方程恒定電場(chǎng)：恒定電流所產(chǎn)生的電場(chǎng)。（考慮導(dǎo)電媒質(zhì)中）

恒定電場(chǎng)的基本方程：微分形式：積分形式：

恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度

和電場(chǎng)強(qiáng)度；

線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是有源無(wú)旋場(chǎng)，具有相同的性質(zhì)。恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的重要區(qū)別：（1）恒定電場(chǎng)可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部；（2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。

二、恒定電場(chǎng)的電位及其方程

恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷三、恒定電場(chǎng)的邊界條件

場(chǎng)矢量的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1即即場(chǎng)矢量的折射關(guān)系

導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度

電位的邊界條件

恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；說(shuō)明：推論1電流由良導(dǎo)體進(jìn)入不良導(dǎo)體時(shí),在不良導(dǎo)體里的電流線近似與良導(dǎo)體表面垂直，即良導(dǎo)體表面可以近似地看作等位面.媒質(zhì)2媒質(zhì)1如兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率2>>1：即，一種導(dǎo)電媒質(zhì)為不良導(dǎo)體(σ1≠0,但很小),

另一種導(dǎo)電媒質(zhì)為良導(dǎo)體(σ2很大),且2≠90°則1＝0，即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；例如:同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體通常由電導(dǎo)率很高(107數(shù)量級(jí))的銅或鋁制成,而填充在兩導(dǎo)體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì),總有很小的漏電導(dǎo)存在。例如,聚乙烯的電導(dǎo)率為10-10數(shù)量級(jí),則

可見,只要σ1≠σ2,分界面上必定有一層自由電荷密度。推論2:

當(dāng)恒定電流通過(guò)電導(dǎo)率不同的兩導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí),其電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布ρs

。

如:兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上,根據(jù)D1n-D2n=ρs,則得(通常認(rèn)為金屬的介電常數(shù)為ε0)媒質(zhì)2媒質(zhì)1推論3：

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì),媒質(zhì)2為導(dǎo)體，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場(chǎng)與分界面平行。由上式可知E1不垂直導(dǎo)體表面,那么導(dǎo)體表面不是等位面,導(dǎo)體也不是等位體,這是由于σ2有限,導(dǎo)體中沿電流方向存在電場(chǎng)。而在靜電場(chǎng)中,導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零,介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)總是垂直導(dǎo)體表面,導(dǎo)體是等位體,其表面是等位面。這一點(diǎn),恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)有根本的區(qū)別。然而σ2越大,E2t和E1t越小,θ1也越小,直至σ2=∞時(shí),E1就垂直導(dǎo)體表面,導(dǎo)體表面為等位面。

媒質(zhì)2媒質(zhì)1例1

一個(gè)填充有兩層導(dǎo)電媒質(zhì)的平行板電容器，媒質(zhì)參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)分界面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。例2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

1和2

。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0

，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)1介質(zhì)中的電場(chǎng)解

電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對(duì)稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度的表達(dá)式，然后求出和，再由確定出電流I。（1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為I,則由可得電流密度故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為由于于是得到

（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為四、靜電比擬法靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)比擬法:用一種物理場(chǎng)的解來(lái)類比與其有相同數(shù)學(xué)描述的另一種物理場(chǎng)的解的方法.恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比較

基本方程靜電場(chǎng)（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）1.兩個(gè)場(chǎng)的相同數(shù)學(xué)表達(dá)式中的場(chǎng)量之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;2.兩種場(chǎng)的電位函數(shù)定義相同,都滿足拉普拉斯方程,若處于相同的邊界條件下，根據(jù)唯一性定理,電位函數(shù)必有相同的解.所以兩種場(chǎng)的等位面及電場(chǎng)強(qiáng)度分布相同,J和D矢量線的分布也相同;恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)是可比擬的結(jié)論對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)靜電比擬法:

在一定條件下，可以將靜電場(chǎng)或恒定電場(chǎng)的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果,推廣應(yīng)用于另一種場(chǎng).

靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)

漏電導(dǎo)

工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即兩導(dǎo)體電極間的電容:

兩導(dǎo)體電極間的電導(dǎo):

用靜電比擬法求電導(dǎo)兩導(dǎo)體電極間的電阻:

例如只要兩電極之間的導(dǎo)電媒質(zhì)與作為電極的金屬材料相比較為不良導(dǎo)電媒質(zhì)(如土壤等),

則當(dāng)兩電極之間的電容為已知時(shí),根據(jù)靜電比擬法,內(nèi)外電極半徑為a和b的球形電容器,當(dāng)其極間介質(zhì)為時(shí):當(dāng)其極間的媒質(zhì)為不良導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí):(1)假定兩電極間的電流為I；計(jì)算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

計(jì)算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；

(2)計(jì)算兩電極間的電位分布

；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：

例3

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長(zhǎng)度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：解法1:直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I

。

解法2:靜電比擬法則單位長(zhǎng)度絕緣電阻是

電導(dǎo)電容(教材P.77)解法3:

用公式,,式中dl為沿電流方向的長(zhǎng)度元,如圖所示,S是垂直于電流方向的面積,它可能是坐標(biāo)變量的函數(shù),所以恒定電場(chǎng)的計(jì)算1.直接法:假設(shè)電流利用基本方程結(jié)合邊界條件求場(chǎng)分布、電導(dǎo)或電阻2.間接法:求解電位的邊值問題，求場(chǎng)分布:電場(chǎng)強(qiáng)度、電流密度矢量,及電導(dǎo)或電阻

接地電阻接地:將電氣設(shè)備的某一部分和大地連接.保護(hù)接地:

為了保護(hù)工作人員的安全,并使設(shè)備可靠地工作而接地;工作接地:利用大地作為傳輸導(dǎo)線,或者消除設(shè)備的導(dǎo)電部分對(duì)地電壓的升高而接地.接地體:埋在地里的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng).接地電阻:電流由設(shè)備經(jīng)接地體流向大地和電流流經(jīng)大地時(shí)遇到的電阻.

例5

試計(jì)算如圖所示的深埋在地下的銅球的接地電阻,設(shè)銅球的半徑為a。

解:大地中任一點(diǎn)的電流密度為

電場(chǎng)強(qiáng)度:銅球至無(wú)限遠(yuǎn)處電壓是(認(rèn)為電流流至無(wú)限遠(yuǎn)處)所以接地電阻:

(式中σ是土壤的電導(dǎo)率)

教材P.117例4.1-2§4.2恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件磁通連續(xù)性方程恒定電流產(chǎn)生磁場(chǎng)稱為恒定磁場(chǎng)，它是不隨時(shí)間發(fā)生變化的。在恒定磁場(chǎng)中任意取一個(gè)曲面S，由矢量通量的定義可知，在S面上的磁通量

為2.安培環(huán)路定理§4.2恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件基本方程微分形式:各向同性的磁介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系：積分形式:（安培環(huán)路定律）（磁通連續(xù)原理）恒定磁場(chǎng)是有旋無(wú)源場(chǎng)/無(wú)散場(chǎng)/管形場(chǎng)，電流是激發(fā)磁場(chǎng)的渦旋源；磁力線是無(wú)頭無(wú)尾的閉合矢量線；磁場(chǎng)是非保守場(chǎng)，線積分與積分路徑有關(guān)。2.邊界條件

恒定磁場(chǎng)的邊界條件是不同的磁介質(zhì)分界面處，磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H的變化規(guī)律。

或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則或

磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)媒質(zhì)分界面時(shí)要突變,包含方向的改變式中θ1、θ2分別為磁場(chǎng)強(qiáng)度與交界面法線方向的夾角

時(shí)界面兩側(cè)場(chǎng)量方向與媒質(zhì)磁導(dǎo)率的關(guān)系

當(dāng)時(shí),§4.3恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位的定義

磁矢位的任意性

由矢量磁位或稱磁矢位磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的矢量磁位，可以對(duì)矢量磁位的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。2、矢量磁位的微分方程

在無(wú)源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程3、矢量磁位的表達(dá)式

（可以證明滿足）由此可得出對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為

利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流：面電流：4、矢量磁位的邊界條件§4.4

電感Inductance一、磁通與磁鏈

單匝線圈形成回路的磁鏈定義為穿過(guò)該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過(guò)導(dǎo)體的外磁通量o；另一部分是磁力線穿過(guò)導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路二、電感

與回路交鏈的磁通總量(磁鏈)和與產(chǎn)生該磁鏈的電流之比值。其表達(dá)式為在國(guó)際單位制中，自感系數(shù)L的單位是亨利（H）。電感取決于導(dǎo)線回路的形狀、大小、材料及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率等。

與線圈中流過(guò)的電流無(wú)關(guān)。自感（記為L(zhǎng)）:

回路交鏈的磁鏈為本身回路上的電流所產(chǎn)生,總是正值;互感（記為M）:

回路交鏈的磁鏈?zhǔn)莿e的回路上的電流所產(chǎn)生,有可能為負(fù)值;

互感是互易的;電感自感互感三、自感

設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感?！?/p>

外自感——

內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān)。

自感的特點(diǎn)：*多匝回路的電感通過(guò)單匝回路所圍面積的磁通量:通過(guò)多匝導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量，即磁鏈為若N匝密繞，各匝交鏈的磁通量相同，則磁鏈為N匝密繞線圈

該密繞線圈的全磁通(磁鏈)為

四、互感

對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過(guò)電流I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對(duì)回路C2的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感。同理，回路C2對(duì)回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro互感的特點(diǎn)：

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號(hào)時(shí)，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值。