第2節(jié) 復化求積公式

§2.復化求積公式

考慮到數(shù)值計算的穩(wěn)定性，用增大n的方法來提高數(shù)值積分的代數(shù)精度的方法是不可取的。類似于分段插值，為了減少數(shù)值積分的誤差，把積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階數(shù)值積分公式，然后把這些小區(qū)間上的數(shù)值積分結果加起來作為函數(shù)在整個區(qū)間上的近似，這就是復化數(shù)值積分。在區(qū)間[a,b]上，取等距節(jié)點又由定積分的區(qū)間可加性，有由此，可以得到相應的復化梯形公式和復化拋物線公式即一、復化梯形公式已知在每一個小區(qū)間上利用梯形公式得到令得到我們稱上式為復化梯形公式.下面分析復化梯形公式的誤差。已知根據(jù)梯形公式的誤差可得這時如果f(x)∈C2[a,b],則一定存在實數(shù)m、M使得下面進一步分析誤差于是，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在η使得這時即則得到復化梯形公式及其誤差如果記上式說明復化梯形公式是收斂的。利用誤差估計式,可以對積分計算進行精度控制，從而確定出需要將積分區(qū)間多少等分。例如，如果我們需要將積分值的誤差控制在ε>0

范圍內，只需要從則有解出中出即可。例4.3用四點復化梯形公式計算解：四點復化梯形公式就是將區(qū)間[0，1]三等分，如圖，于是01而梯形公式的結果為例4.4用復化梯形公式計算積分，應將區(qū)間[0,1]多少等分，才可以使其截斷誤差不超過解：復化梯形公式的誤差為而從而令于是，只要將區(qū)間至少68等分,就可以達到需要的精度要求。二、復化拋物線（Simpson）公式已知定積分的拋物線公式及其誤差為如果對于積分在每個小區(qū)間上都采用Simpson公式，則得到復化Simpson公式。這時由得到令進一步由介值定理，若f(x)∈C4[a,b],則有設有估計式于是，我們得到復化拋物線公式及其誤差為：這時，做近似計算用：四點公式(n=3)的節(jié)點如：bax1x2做誤差限估計用：最后，總結出拋物線公式和復化拋物線公式1.拋物線公式及其誤差2.復化拋物線公式及其誤差

例4-5試利用函數(shù)的數(shù)據(jù)表（表4-1）分別用復化梯形公式、復化Simpson公式計算下列積分的近似值。

表4-1數(shù)據(jù)表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101/20.958811也就是

解:兩種復化公式分別計算如下：

根據(jù)已知點的數(shù)據(jù)，需要用到九點復化梯形公式：

以上兩種算法對區(qū)間采用不同等分，計算量大體一致，定積分精確到小數(shù)點后七位的值是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。對于復化拋物型公式：

在這里n=4,步長例4-6利用復化梯形公式和復化Simpson公式分別求下列定積分，若要使精度達到ε=10-6，問各需將區(qū)間[0,1]多少等分？解由于

從而于是有由復化梯形公式和復化Simpson公式的誤差表示式得到根據(jù)上面的估計分別取則只要可分別解出可見滿足同樣的精度要求復化梯形公式需將區(qū)間167等分復化拋物線公式只需將區(qū)間3等分本節(jié)(§3)小結2.復化拋物線公式及其誤差1.復化梯形公式及其誤差3.程序設計(1).編寫復化梯形公式程序并上機實現(xiàn)。(2).編寫復化Simpson公式程序并上機實現(xiàn)。(3).分別用兩種公式利用如下積分計算π值，計算到3.1416需要將區(qū)間[0，1]多少等分：4.練習(1).由梯形公式及誤差推導出復化梯