第二章+流體靜力學(xué)

材料制備傳輸原理（第二章）北京航空航天大學(xué)材料學(xué)院Schoolofmaterialsscienceandengineering,BUAA主講：李樹號樓321lishs@

助教：尚s881013@126.com

BEIHANGUNIVERSITY第一篇動量傳輸?shù)诙铝黧w靜力學(xué)主要內(nèi)容流體靜力學(xué)研究流體平衡時的力學(xué)規(guī)律，以及這些規(guī)律在工程技術(shù)中的實際應(yīng)用。

靜止流體不體現(xiàn)粘性，所以流體靜力學(xué)不涉及粘性。本章的主要內(nèi)容：2.1作用在流體上的力2.2流體靜壓強(qiáng)及其特性2.3靜止流體的平衡微分方程2.4流體靜力學(xué)基本方程2.5流體壓強(qiáng)的測量2.6靜止液體對壁面的作用力計算2.7流體的相對平衡#平衡流體的概念平衡也稱之為靜止——流體各部分之間沒有相對運(yùn)動。相對靜止：流體各部分之間沒有相對運(yùn)動，但流體整體相對于地球有相對運(yùn)動。如等勻速直線運(yùn)動的流體、等加速直線運(yùn)動、做等角速旋轉(zhuǎn)。絕對靜止：流體各部分之間沒有相對運(yùn)動，而且流體整體相對于地球也沒有相對運(yùn)動。2.1作用在流體上的力作用在流體上的力有兩大類：質(zhì)量力表面力2.1作用在流體上的力2.1.1質(zhì)量力質(zhì)量力F：作用在流體每一質(zhì)點上，由加速度產(chǎn)生，并與質(zhì)量成正比。質(zhì)量力包括重力和慣性力。在流體力學(xué)中，常用單位質(zhì)量力來衡量質(zhì)量力的大小，并用X、Y、Z分別代表單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)軸x、y、z方向的分量，則

質(zhì)量力壓力切向力單位質(zhì)量力——指單位質(zhì)量流體所具有的質(zhì)量力。設(shè)有一流體質(zhì)點，其體積為dV，密度為ρ

所受質(zhì)量力為F，F(xiàn)在三個坐標(biāo)軸上的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z則單位質(zhì)量流體所受質(zhì)量力在三個坐標(biāo)方向的分量分別為比較可見，單位質(zhì)量力與加速度有同樣的量綱。質(zhì)點dV2.1作用在流體上的力2.1作用在流體上的力表面力：作用在流體的表面上并與表面積成正比。表面力有兩種：表面切向力（粘性摩擦力）。表面法向力（壓力）。靜止流體中沒有粘性，不存在切向力。質(zhì)量力壓力切向力靜止流體中的壓應(yīng)力就是壓強(qiáng)。2.1.2表面力2.2.1

流體靜壓強(qiáng)的概念

在靜止流體中取一分離體，用平面AB分開，作用在微小面積△A上的壓力為△P，則△A上的平均壓強(qiáng)為

流體靜壓強(qiáng)p——指靜止流體作用在單位面積上的力，其單位為N/m2，也稱為帕（Pa）。當(dāng)△A無限縮小，趨于m點時，則有點m點的壓強(qiáng)為△P△Am2.2流體靜壓強(qiáng)（HydrostaticPressure）及其特性2.2.2流體靜壓強(qiáng)有兩個重要特性：特性一：流體靜壓強(qiáng)的方向沿作用面的內(nèi)法線方向。特性二：靜止流體中，任一點的流體靜壓強(qiáng)只與坐標(biāo)位置有關(guān)，與壓強(qiáng)的作用方向無關(guān)。即，任一點的流體靜壓強(qiáng)在各方向上大小相等（各向同性）。2.2流體靜壓強(qiáng)（HydrostaticPressure）及其特性特性一證明：若壓強(qiáng)不沿法向，則必可分解為法應(yīng)和切應(yīng)力，有了切應(yīng)力則流體必變形流動，此不為靜止流體。所以壓強(qiáng)只沿法向方向。2、若為外法線方向，則流體受到拉伸，必變形流動，此亦不為靜止流體，所以靜壓強(qiáng)只沿內(nèi)法線方向。靜止流體2.2流體靜壓強(qiáng)（HydrostaticPressure）及其特性特性二證明：如圖，為靜止流體中的一個微元四面體質(zhì)點。分析X方向受力平衡：2.2流體靜壓強(qiáng)（HydrostaticPressure）及其特性結(jié)論：單位面積上的流體靜壓力稱為流體靜壓強(qiáng)。靜止流體中，同一點處不同方向上的流體靜壓強(qiáng)大小相等，且始終沿著作用面的內(nèi)法線方向。壓強(qiáng)的單位是Pa，即帕斯卡。1Pa＝1N/m2。壓強(qiáng)值很大時可用kPa，氣象中常用100Pa作為氣壓單位。由于大小和方向無關(guān)，所以靜壓強(qiáng)不是矢量，而是標(biāo)量。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的概念，流體中的靜壓強(qiáng)可以表示為

其全微分式為2.2流體靜壓強(qiáng)（HydrostaticPressure）及其特性2.3靜止流體的平衡微分方程(differentialequation)靜止流體的平衡微分方程——用微分的形式表達(dá)流體質(zhì)點上的力學(xué)關(guān)系。2.3靜止流體的平衡微分方程(differentialequation)2.3.1

流體平衡微分方程的推導(dǎo)假想從平衡流體中取出一微元平衡六面體，其邊長如圖。中心點為c(x,y,z)，其壓強(qiáng)為p。X方向的受力平衡式為簡化后得同理可得該式可以用以下三者之一進(jìn)行描述：作用于平衡流體上的質(zhì)量力和表面力相互平衡流體靜壓強(qiáng)沿某方向的梯度直接等于流體密度與該方向單位質(zhì)量力的乘積流體靜壓強(qiáng)在某方向上若存在梯度，則該方向上必有質(zhì)量力存在此式由瑞士學(xué)者歐拉1755年提出，亦稱為歐拉平衡微分方程。2.3靜止流體的平衡微分方程(differentialequation)2.3.2流體平衡微分方程的積分將歐拉平衡微分方程各式依次乘以dx、dy、dz，整理相加得由

得dp＝對不可壓縮流體(ρ=常量)，上式的左邊是壓強(qiáng)的全微分，其右邊括號中亦應(yīng)是該壓力所對應(yīng)的某一函數(shù)的全微分即其中若此函數(shù)以W表示，則它表明：壓強(qiáng)值在空間上的變化是由質(zhì)量力引起并決定的。2.3靜止流體的平衡微分方程(differentialequation)由此可以看出

這里，W函數(shù)是一個決定流體質(zhì)量力的函數(shù)（力的勢函數(shù)，即有勢的質(zhì)量力）。當(dāng)質(zhì)量力用這樣的函數(shù)來表示時，簡稱為有勢力。例如，重力、慣性力等都是有勢力。

對式積分得

積分常數(shù)，代入上式得若已知勢函數(shù)，則可求任意點的p。且當(dāng)P0變化時，p也變化。（如帕斯卡原理、水壓機(jī)、液壓傳動）W=f（x，y，z）。

上式為平衡（靜止）流體中壓力的分布規(guī)律。邊界條件，如液面。2.3靜止流體的平衡微分方程(differentialequation)有勢力：在保守力（只跟物體的位置有關(guān)，比如：靜摩擦力）的基礎(chǔ)上，如果力還取決于速度（或速度變化），這樣的力叫有勢力（重力，電場力，磁場力）。2.3.3等壓面——壓強(qiáng)相等的點組成的面。

等壓面特征：（1）等壓面為等勢面（其上，勢函數(shù)的增量為零）。

（2）質(zhì)量力必垂直于等壓面。重力流體中，X＝0，Y＝0，Z＝－g所以有重力流體的等壓面微分方程積分得得等壓面微分方程為

由式dp=重要特性重力流體的等壓面方程2.3靜止流體的平衡微分方程(differentialequation)2.4流體靜力學(xué)基本方程本節(jié)研究重力流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律及其計算等問題。重力流體指所受質(zhì)量力只有重力的流體。

代入全微分表達(dá)式，得：

如圖所示的重力流體中，單位質(zhì)量力在各軸上的投影為

即積分得即——（1）設(shè)液面上的壓強(qiáng)為p0，坐標(biāo)為z0，則有即——（2）

流體靜力學(xué)基本方程。1.流體靜力學(xué)基本方程的推導(dǎo)重力流體中，流體靜壓強(qiáng)只是坐標(biāo)z的函數(shù)，點的淹沒深度越深，壓強(qiáng)越大。流體靜壓強(qiáng)等于液面上的壓強(qiáng)加上流體重度與該點淹沒深度的乘積。液面壓強(qiáng)由外力施加而產(chǎn)生：固體作用的結(jié)果氣體作用的結(jié)果液體作用的結(jié)果2.靜壓強(qiáng)的分布流體靜力學(xué)基本方程工程中經(jīng)常忽略大氣壓強(qiáng)。2.靜壓強(qiáng)的分布靜壓強(qiáng)分布示意圖靜力學(xué)基本方程（靜壓強(qiáng)基本方程）：2.靜壓強(qiáng)的分布Sampleproblem

Waterandoilinanopenstoragetankareincontactwiththeendwallasshowninfollowfigure.Findthepressureatthebottom(lowestpoint)ofthetankcausedbytheliquid.3.流體靜力學(xué)基本方程的意義1m12m2h1h2P0z1z2003.流體靜力學(xué)基本方程的意義靜止流體中，不同點上單位重量流體的位能和壓能可以互相轉(zhuǎn)換，但任一點上兩者之和始終為一常數(shù)，或者：靜止流體中，不同點上比位能和比壓能可以互相轉(zhuǎn)換，任意一點上兩者之和始終為一常數(shù)。能量（物理）意義1m12m2h1h2P0z1z200幾何意義3.流體靜力學(xué)基本方程的意義1m12m2h1h2P0z1z2測壓管水頭靜力水頭位置水頭壓力水頭

靜止流體中任一點上：靜力水頭＝位置水頭＋壓力水頭靜力水頭線測壓管水頭線

靜止流體中各點的靜力水頭相等、各點的測壓管水頭也相等。靜力水頭線和測壓管水頭線之間相差10米水頭。3.流體靜力學(xué)基本方程的意義小結(jié)：能量意義：靜止流體中不同點的位能和壓能可以相互轉(zhuǎn)換，但各點總能量永遠(yuǎn)相等。幾何意義：靜止流體中各點的靜力水頭處處相等，且等于位置水頭和壓力水頭之和。測壓管水頭和靜力水頭之間相差10米水柱。水頭：單位重量流體所具有的能量水頭和能量的關(guān)系位置水頭——比位能壓力水頭——比壓能靜壓強(qiáng)的表示方法度量壓強(qiáng)有不同的基準(zhǔn)，以不同的基準(zhǔn)計量壓強(qiáng)就有了不同的壓強(qiáng)表示法。三種表示：絕對壓強(qiáng)absolutepressure表壓強(qiáng)gagepressure真空度vacuum

兩個基準(zhǔn)：絕對零壓大氣壓強(qiáng)4.靜壓強(qiáng)的表示方法和壓強(qiáng)單位標(biāo)準(zhǔn)大氣壓patm當(dāng)?shù)卮髿鈮簆a工程大氣壓pat21絕對零壓壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)表壓強(qiáng)表壓強(qiáng)4.靜壓強(qiáng)的表示方法和壓強(qiáng)單位絕對壓強(qiáng)(absolutepressure)——從絕對真空算起的壓強(qiáng)值，用patm（或pabs）表示。表壓強(qiáng)（相對壓強(qiáng)）(gagepressure)——以大氣壓強(qiáng)為零起點計量的壓強(qiáng)值絕對壓強(qiáng)的值永遠(yuǎn)為正值，相對壓強(qiáng)可能出現(xiàn)負(fù)值。真空度（vacuum)——如果流體某點的絕對壓強(qiáng)小于大氣壓，則該點存在著真空，該點的相對壓強(qiáng)必為負(fù)值，稱該點存在負(fù)壓。該點壓強(qiáng)低于大氣壓的部分成為真空度。如果一點具有真空，則該點p表＝－p真空4.靜壓強(qiáng)的表示方法和壓強(qiáng)單位壓強(qiáng)單位工程上所用壓強(qiáng)單位有三類：應(yīng)力單位：單位面積上的力。國際單位：N/m2（帕斯卡，帕，Pa）工程上：kgf/cm2

（公斤力/平方厘米），

1kgf/cm2＝1×9.81/10-4

（N/m2)＝98100N/m2大氣壓：用大氣壓的倍數(shù)作為壓強(qiáng)的單位。液柱高度：米水柱mH2O毫米水柱mmH2O毫米汞柱mmHg標(biāo)準(zhǔn)大氣壓、當(dāng)?shù)卮髿鈮?、工程大氣壓?biāo)準(zhǔn)大氣壓（patm)的變遷：在0℃、緯度45°海平面上大氣壓強(qiáng)的絕對值為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。大約等于76cm汞柱。（受風(fēng)力和溫度的影響）一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓等于76cm汞柱。（汞的密度受溫度的影響，g也隨緯度而變）1954年第十屆國際計量大會決定：一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓＝101325Pa當(dāng)?shù)卮髿鈮海╬a）：當(dāng)?shù)卮髿鈮号c當(dāng)?shù)氐暮０胃叨群彤?dāng)時的溫度有關(guān)。當(dāng)?shù)卮髿鈮阂话愕陀跇?biāo)準(zhǔn)大氣壓。工程大氣壓（pat）：工程上為計算方便，規(guī)定1kgf/cm2為一個工程大氣壓。工程大氣壓低于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。工程上常用液柱高度表示壓強(qiáng)的大小。常用的液柱有：米水柱mH2o毫米水柱mmH2o毫米汞柱mmHg其原理來自于靜壓強(qiáng)基本方程：4.靜壓強(qiáng)的表示方法和壓強(qiáng)單位壓強(qiáng)單位1帕斯卡1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓1工程大氣壓1毫米水柱1毫米汞柱換算1Pa101325Pa98100Pa9.81Pa133.32Pa單位換算【例題】煙囪高h(yuǎn)＝20m，煙氣平均溫度T＝300℃，平均密度ρ＝0.44kg/m3，外界空氣平均密度ρ＝1.29kg/m3，試求煙囪的抽力△p？解：抽力指煙囪爐門內(nèi)外的壓強(qiáng)差。答：煙囪的抽力為166.8Pa。2.5壓強(qiáng)的測量用于測量流體壓強(qiáng)的測壓計一般分三種類型：金屬測壓計電測式測壓計液柱式測壓計：將被測壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成液柱高度進(jìn)行測量。用于測量低壓，負(fù)壓或壓力差。常用的液柱式壓力計有單管式測壓計，U型管測壓計和斜管測壓計等。1.測壓管通常由一根內(nèi)徑大于5mm的垂直玻璃用橡皮管將一端直接連在盛有液體的壓力容器上，另一端與大氣相通。如圖所示。若液體在玻璃管內(nèi)上升的高度為h,液體的重度為γ，則容器中A點的壓強(qiáng)

測壓管測壓計優(yōu)點：簡單、準(zhǔn)確。缺點：只能用來測量液體的壓強(qiáng)，而不能用來測量氣體的壓強(qiáng)。容器內(nèi)壓強(qiáng)必須大于大氣壓強(qiáng)，否則空氣被抽吸進(jìn)容器。不能用來測量很高的壓強(qiáng)，否則測壓管很長，用起來很不方便。2.U型管測壓計

U型管測壓計的一端與大氣相通，另一端連接到所要測量壓強(qiáng)的容器上。

U型管測壓計克服了上述單管測壓計的缺點。它的優(yōu)點是既可以測量液體的壓強(qiáng)，也可以測量氣體的壓強(qiáng)。若被測流體的壓強(qiáng)較小，U型管中裝較輕的液體，如水或酒精。當(dāng)被壓強(qiáng)較大時，U型管中裝較重的液體，如水銀。paU形管測壓計2.U型管測壓計

若被測流體是氣體，則由于氣體重度γ1比液體重度小得多，可以略去γ1h1

項。pa因為B－C為等壓面，由此可以建立A點壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之間的關(guān)系：故有U形管測壓計3.復(fù)式U型管測壓計

當(dāng)所測點的壓強(qiáng)較大時（比如超過300kPa），可串聯(lián)使用多個U型管，此時壓強(qiáng)計算較為復(fù)雜，但只要注意在連通的同一種靜止液體中找準(zhǔn)等壓面就可以方便地計算。如圖，根據(jù)等壓面關(guān)系有整理得

4.U型管壓差計U型管測壓計還可以用來測量兩點間的壓強(qiáng)差，即構(gòu)成U型管壓差計。U型管兩端分別連接在容器A和B上。由圖可知C-D是等壓面，因此可得A、B兩點的壓強(qiáng)差為：則有γ1γ2γ35.微壓計對于微小壓強(qiáng)的測量，可以將測壓管傾斜放置，即利用斜管測壓計將讀數(shù)放大。圖為斜管測壓計測壓管傾斜角為α，容器內(nèi)的壓強(qiáng)為可見l比h放大了倍，α愈小，l愈長，從而提高了讀數(shù)和測量精度。斜管測壓計常用來測量氣體的壓強(qiáng)，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，得即微壓計6.真空計若測點的壓強(qiáng)小于大氣壓，則可使用真空計。如圖。此時關(guān)系式為可見，測點壓強(qiáng)小于大氣壓。討論：式中的p0為絕對壓強(qiáng)？表壓強(qiáng)？或是真空度？即真空計7.解題關(guān)鍵可見在進(jìn)行液體壓強(qiáng)測量計算的過程中，兩個關(guān)鍵問題是：找準(zhǔn)等壓面正確使用靜壓強(qiáng)基本方程注意:在高精度測量過程中，要考慮溫度對液體密度的影響。等壓面分析不考慮氣柱造成的壓強(qiáng)，請分析等壓面？作業(yè)1.證明靜止流體中任意點的靜壓強(qiáng)值只能由該點的坐標(biāo)位置決定,而與該壓強(qiáng)的作用方向無關(guān).2.推導(dǎo)靜止流體的平衡微分方程(歐拉靜平衡方程).2.6靜止液體對壁面作用力的計算工程上常需要計算液體與固體壁面的作用力大小。鐵水對砂箱的作用力深孔閘門受到靜水的壓力2.6靜止液體對壁面作用力的計算水壩上游受到靜水的作用力平板閘門受到上、下游靜水的作用力1.靜止液體作用在平面壁上的總壓力一任意形狀的平板傾斜放置在液體中。平板垂直于紙面，與水平面之夾角為α，自由液面的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)pa

，試求作用于平板上的合力及其作用點。為研究方便起見，假設(shè)將平板繞oy軸旋轉(zhuǎn)90°如圖：1.靜止液體作用在平面壁上的總壓力作用力的大小積分上式可得整個淹沒平面上的合力：在平面上任取一微面積dA，液體作用于其上的作用力為dP=pdA作用在整個淹沒面積上的壓力為

若只考慮靜止液體對平面的作用力，則該力為：P1.靜止液體作用在平面壁上的總壓力式表明：靜止液體對平壁的作用力等于浸水面積與其形心壓強(qiáng)的乘積。作用力的方向指向受壓面積的內(nèi)法線方向。1.靜止液體作用在平面壁上的總壓力壓力中心（總作用力P的作用點）設(shè)作用點的y

坐標(biāo)為yD，因：合力對某軸的力矩等于其分力對該軸的力矩之和則：由慣性矩平行移軸定理得：由此可知，壓力中心的位置總是位于平壁形心之下。1.靜止液體作用在平面壁上的總壓力注意：y坐標(biāo)是從液面算起的，壓力中心中的yD

也是是從液面算起的；平面壁的放置方向可能不同。若垂直放置則yD＝hD；若壁面是對稱的幾何形狀，則壓力中心的求解只需要一個y方向的坐標(biāo)即可；由于大氣壓強(qiáng)在平壁兩面平衡，所以此類工程問題一般不計算大氣壓作用；常用幾何圖形的靜力矩和慣性矩可查找附表2。平板閘門受到上、下游靜水的作用力深孔閘門受到靜水的壓力AB壓力中心到A點的距離為T注意：對于在重力作用下平衡的氣體，也就是所謂的靜止氣體，在所處的空間不是十分大的情況下，可以不考慮氣體的壓縮性，而認(rèn)為密度是常數(shù)，此時上式仍然是適用的；對于大氣來說，其密度、壓強(qiáng)等狀態(tài)參數(shù)隨高度變化是很大的，因此大氣的密度ρ就不再作為常數(shù)看待了。2.靜止流體對曲面的作用力在柱面AB上取一微元面積dA，其淹沒深度為h。dA上所受靜水壓力為將dP分解為x和y方向上的分力，有

兩個相互垂直的力系分別相加得：dAXdAZAXdA結(jié)論：1)作用在二維曲面上的靜止液體作用力可以分解為兩個垂直方向上的力，其中，水平方向的力等于該曲面在x方向投影面積上的靜水作用力；垂直方向的力等于壓力體內(nèi)的液體重量。2.靜止流體對曲面的作用力即2)作用在曲面上的總作用力為3)總作用力的方向可以通過求解角度的方式確定：4)總作用力的作用點通過Px和Pz的交點，并作用在曲面上。2.靜止流體對曲面的作用力5)若為三維曲面，則y方向的力等于曲面在y方向上的投影面積上的靜水作用力：A2.靜止流體對曲面的作用力

壓力體的體積V

是指由自由液面、曲面、以及曲面垂直方向投影線所包圍的體積。它可以是充滿了流體的體積，也可以是空體積。當(dāng)壓力體內(nèi)充滿液體時，曲面所受的垂直作用力向下時，壓力體稱為正壓力體或?qū)崏毫w。當(dāng)壓力體內(nèi)沒有液體時，曲面所受垂直方向的力向上，這種情況下的壓力體稱為負(fù)壓力體或虛壓力體。abcd浮力原理（阿基米德原理）物體所受到的液體的浮力等于它所排開的液體重量。2.靜止流體對曲面的作用力【例題】一容器壁面上有兩個半球形蓋子。已知d＝0.5m，h1＝1.5m，h2＝2m。求作用在每個半球蓋子上的液體壓力。解（1）求側(cè)蓋上的液體壓力P1 x方向:z方向：合力：2.靜止流體對曲面的作用力P1通過球體的形心并與X方向所成的夾角為（2）底蓋上液體壓力P2P2X=0，P2y＝0所以，P2＝P2z。其方向垂直向下，并通過球體的形心。合力：2.7液體的相對平衡相對平衡是指液體與盛裝它的容器作為整體而言對地球有相對運(yùn)動,但液體相對容器則是靜止的,液體宏觀上沒有相對運(yùn)動。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，如果把坐標(biāo)系取在盛裝液體的容器上，加上一個假想的由牽連運(yùn)動而形成的慣性力，液體相對于坐標(biāo)系則呈現(xiàn)平衡狀態(tài)。現(xiàn)分三種情況進(jìn)行討論。1勻速直線運(yùn)動容器中液體的相對平衡當(dāng)容器做勻速直線運(yùn)動的時候，容器中液體受到的質(zhì)量力只有重力，所以X＝0，Y＝0，Z＝－g此時為重力場。等壓面為水平面。壓力分布規(guī)律為p=p0+γh2勻加速直線運(yùn)動的容器中液體的相對平衡當(dāng)容器以恒定的加速度a運(yùn)動時，容器內(nèi)液體受到的質(zhì)量力除重力外，還有一個假想的與運(yùn)動方向相反的慣性力（依據(jù)達(dá)朗貝爾原理）。慣性力是指:當(dāng)物體有加速度時（可以是加速階段，也可以是減速階段）時，物體具有的慣性會使物體有保持原有運(yùn)