第九講MATLAB在信號處理中的應(yīng)用(二)

第九講MATLAB在信號處理中的應(yīng)用（二）1主要內(nèi)容9.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法9.2無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器9.3有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器2Z變換信號與系統(tǒng)的變換域分析連續(xù)時間信號與系統(tǒng)：拉普拉斯變換和傅里葉變換離散時間信號與系統(tǒng)：z變換和離散時間傅里葉變換Z變換的作用和數(shù)字濾波器的功能類似：將輸入信號通過一定的運(yùn)算變化成輸出序列，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程。Z變換定義若序列為x(n),則冪級數(shù)稱為序列x(n)的z變換，其中z為變量,它表示z平面，用極坐標(biāo)表示為：。收斂域：即只要滿足絕對可和的條件該級數(shù)收斂。本章我們只講右邊序列即無限長序列左邊為0.濾波器：所謂的濾波器是指對輸入信號起濾波的作用的裝置。為了處理信號，必須設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)稱之為濾波器（在某些領(lǐng)域或稱為頻譜分析儀）的各種系統(tǒng)。濾波器設(shè)計(jì)受到它的類型（IIR或FIR）和實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)等因素的影響。所以有必要了解濾波器是如何實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)輸入、輸出是離散信號，濾波器的沖激響應(yīng)是單位抽樣響應(yīng)h（n）時，這樣的濾波器稱作數(shù)字濾波器（DigitalFilter，DF）。DF是由差分方程來描述的一種特殊的離散時間系統(tǒng)。常系數(shù)線性差分方程與系統(tǒng)函數(shù)假設(shè)常系數(shù)線性差分方程的一般形式為：若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，直接兩邊取z變換，利用移位特性得：9.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法

數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)的方法：（1）利用計(jì)算機(jī)編程，即軟件實(shí)現(xiàn);（2）數(shù)字信號處理器（DSP）,即專用硬件實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為：其中ak和bk都是常量，當(dāng)ak不等于0時，有反饋環(huán)路是遞歸型結(jié)構(gòu)。若ak=0則沒有反饋，稱為非遞歸結(jié)構(gòu)。實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的基本運(yùn)算單元

單位延時

常數(shù)乘法器加法器這些單元有兩種表示法：1）方框圖2）信號流圖z-1az-1ax(n)x(n-1)x(n)ax(n)x1(n)x2(n)x1(n)+x2(n)補(bǔ)充知識方框圖與信號流圖若二階數(shù)字濾波器表示為：

方框圖信號流圖其中1,2,3,4,5稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，x(n)為輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)），y(n)處為輸出節(jié)點(diǎn)（阱節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)之間用有向支路相連接，任一節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)值等于它的所有輸入支路的信號之和。而輸入支路的信號值等于這一支路起點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)信號值乘以支路上的傳輸系數(shù)。如果支路上不標(biāo)注傳輸系數(shù)值，則認(rèn)為其傳輸系數(shù)為1。分支節(jié)點(diǎn)：只有一個輸入，一個輸出或多個輸出。如2,3,4。相加器：有兩個或兩個以上的輸入。如1,5。12345213459.2無限長單位沖激響應(yīng)濾波器無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器的特點(diǎn)：1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)無限長；2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面內(nèi)有極點(diǎn)存在；3）從輸出到輸入存在反饋環(huán)路（回路），即存在遞歸型結(jié)構(gòu)。1.直接型直接型結(jié)構(gòu)是按照給出的系統(tǒng)差分方程或者系統(tǒng)函數(shù)直接實(shí)現(xiàn)的。例9-1二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)差分方程為：試構(gòu)造它的直接型I型和直接II型方框圖，并觀測它們的單位沖激響應(yīng)。x(n)y(n)直接I型仿真模型對應(yīng)的信號流圖H(Z)轉(zhuǎn)置定理如果將線性時（移）不變網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不改變。1）將全部路徑箭頭方向顛倒過來。2）將全部支路節(jié)點(diǎn)用加法器替換，將全部加法器節(jié)點(diǎn)替換成支路節(jié)點(diǎn)。3）將輸入和輸出節(jié)點(diǎn)交換。所得的結(jié)構(gòu)稱為轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)，即直接II型對調(diào)y(n)z-1z-1z-1b0b1b2bM+1bMx(n)z-1z-1a1a2z-1aN-1aNy(n)x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-1x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-1x(n)b0y(n)a1a2z-1z-1aN-1b1b2bM+1bMz-1aNz-1合并直接II型直接II型仿真模型對應(yīng)的信號流圖MATLAB提供了專門求離散系統(tǒng)單位響應(yīng)，并繪制其時域波形的函數(shù)impz()（數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)），該函數(shù)有以下幾種調(diào)用格式：impz(b,a)%以默認(rèn)格式繪制向量a和b定義的離

散系統(tǒng)的單位響應(yīng)impz(b,a,n)%繪制0~n時間范圍內(nèi)的單位響應(yīng)波形impz(b,a,n1:n2)%繪制n1~n2時間范圍內(nèi)的單位

響應(yīng)波形y=impz(b,a,[n1:n2])%并不繪制波形，而是求出單位響應(yīng)的數(shù)值解將差分方程化簡為：a=[1-1/3-1/4];b=[111];impz(b,a,[0:10])title('單位脈沖響應(yīng)')xlabel('Time(s)')axis([0,10,-3,3])2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)是把系統(tǒng)函數(shù)H（z）進(jìn)行因式分解為較低的二階節(jié)，然后將系統(tǒng)函數(shù)表示成二階節(jié)的乘積，其中每個二階節(jié)用直接II型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。x(n)β1ka2kz-1z-1a1kβ2ky(n)一般用直接II型（典范型）表示用多個二階節(jié)級聯(lián)表示濾波器系統(tǒng)β1Mβ2Mx(n)β11a21z-1z-1a11β21β12a22z-1z-1a12β22a2Mz-1z-1a1M…...y(n)例9-2用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的仿真建模x(n)y(n)3.并聯(lián)型結(jié)構(gòu)其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為：AN1z-1a1x(n)aN1a11z-1z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2z-1z-1z-1例9-3用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下用系統(tǒng)函數(shù)表示為IIR濾波器。法一：分解為：并聯(lián)型結(jié)構(gòu)仿真模型x(n)y(n)例9-4用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下用系統(tǒng)函數(shù)表示為IIR濾波器。法二：解：自定義函數(shù)文件dir2par(b,a).m>>b=[61.64.8-1.3];a1=[1-0.5];a2=[10.90.8];a=conv(a1,a2)>>[C,B,A]=dir2par(b,a)C=3.2500B=-0.2500-2.52503.00000A=1.00000.90000.80001.0000-0.50000并聯(lián)型結(jié)構(gòu)仿真模型x(n)y(n)9.3有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個n值時不為零；2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面中只有零點(diǎn)，全部的極點(diǎn)都位于z=0處；3）結(jié)構(gòu)上不存在由輸出到輸入的反饋，僅在某些實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)（例如頻率抽樣型）中含有反饋的遞歸部分。有限長單位沖激響應(yīng)濾波器的主要實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)有直接型、級聯(lián)型、線性相位型等。FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為一個N點(diǎn)序列，0<=n<=N-1，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：即它有N-1階極點(diǎn)在z=0處，有N-1個零點(diǎn)位于有限z平面的任何位置。其中H(z)為：本章只考慮無反饋情況（沒有輸出到輸入的反饋）即ai=0。（若結(jié)構(gòu)為頻率抽樣則包含反饋即有遞歸部分）其差分方程為1.直接型（卷積型、橫截型結(jié)構(gòu)）h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)轉(zhuǎn)置定理h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)信號流圖FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)舉例例9-5一FIR濾波器由下面的系統(tǒng)函數(shù)給出（要求畫出信號流圖、方框圖與仿真模型）：直接型FIR濾波器仿真模型x(n)y(n)2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)是把系統(tǒng)函數(shù)H(z)分解為二階因式，然后將各階因式以級聯(lián)鏈接方式實(shí)現(xiàn)。例如采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)例3-10將系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，分解成：x(n)2.8257z-1z-13.9921-2.825z-1z-13.9921-0.7078z-1z-10.2505y(n)…...111FIR級聯(lián)型仿真模型x(n)y(n)特點(diǎn)：1）由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多，所需乘法運(yùn)算也比直接型多，很少用。2）由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點(diǎn)，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時用。3.FIR濾波器線性相位型當(dāng)一個FIR濾波器具有線性相位響應(yīng)時，它的脈沖響應(yīng)呈現(xiàn)線性相位的對稱條件。這時，可利用其對稱關(guān)系減少相乘的次數(shù)。所謂線性相位：是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號頻率成線性關(guān)系。對稱關(guān)系：若FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為實(shí)數(shù)，0<=n<=N-1，且滿足條件

偶對稱h(n)=h(N-1-n);奇對稱h(n)=-h(N-1-n);也就是說h(n)的對稱中心在（N-1）/2，則這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格線性相位。舉例：例3-12信號流圖和仿真模型x(n)y(n)IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較比較項(xiàng)目IIRFIR相同性能（同樣的選擇性）階數(shù)低高相位非線性線性經(jīng)濟(jì)性成本低成本高結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)遞歸結(jié)構(gòu)非遞歸結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)才穩(wěn)定始終穩(wěn)定運(yùn)算誤差大，寄生震蕩小快速運(yùn)算不能應(yīng)用FFT算法可用FFT算法適用范圍規(guī)格化的、頻率特性為分段常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器對相位要求不敏感（語音通訊）可適用于各種幅度特性和相位特性對相位要求敏感（圖像處理）習(xí)題：1.寫出差分方程表示系統(tǒng)的直接型和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。（要求畫出信號流圖和仿真模型，輸入用x(n)表示，輸出用y(n)表示。）2.用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)以下用系統(tǒng)函數(shù)表示的IIR濾波器。（要求畫出信號流圖和仿真模型，輸入用x(n)表示，輸出用y(n)表示。）分解后為：令n’=N-1-n代入用n=n’并應(yīng)用線性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)線性相位型討論：當(dāng)h(n)為偶，N=偶數(shù)時FIR的線性相位的特性其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……

h(n)為偶，N=偶數(shù)時,線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1共有（N/2-1）項(xiàng)當(dāng)N=奇數(shù)時，有一中間項(xiàng)h((N-1)/2)無法合并，需提出來：當(dāng)h(n)為偶，N=奇數(shù)時FIR的線性相位的特性其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2項(xiàng)h(n)為偶，N=奇數(shù)時,線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….當(dāng)h(n)=偶對稱時，即h(n)=h(N-1-n),可