《自動(dòng)控制原理》 胡壽松 001-第05#2章 典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性

5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性

開環(huán)系統(tǒng)的（各種）頻率特性曲線是系統(tǒng)頻域分析的依據(jù)，掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性是繪制開環(huán)系統(tǒng)（各種）頻率特性曲線的基礎(chǔ)。在典型環(huán)節(jié)或開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，令s=j，即得到相應(yīng)的頻率特性。令由小到大取值，計(jì)算幅值、和相角，在復(fù)平面上和半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中描點(diǎn)畫圖，就可以分別畫出典型環(huán)節(jié)或開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線和對(duì)數(shù)頻率特性曲線。1典型環(huán)節(jié)（1）最小相位環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)G(s)=sG(s)=Ts+1（T>0）G(s)=1/sG(s)=K（K>0）G(s)=1/(Ts+1)（T>0）（2）非最小相位環(huán)節(jié)*比例環(huán)節(jié)一階微分慣性環(huán)節(jié)二階微分振蕩環(huán)節(jié)G(s)=-Ts+1（T>0）G(s)=K（K<0）G(s)=1/(-Ts+1)（T>0）

最小相位系統(tǒng)：當(dāng)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)和零點(diǎn)的實(shí)部均為負(fù)值時(shí)，稱為最小相位系統(tǒng)。

非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)中至少有一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)的實(shí)部值為正值的一類線性定常系統(tǒng)。

在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍為最小。最小相位和非最小相位之名即出于此。

最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。兩個(gè)特性中，只要一個(gè)被規(guī)定，另一個(gè)也就可唯一確定。然而，對(duì)非最小相位系統(tǒng)，卻不存在這種關(guān)系。非最小相位系統(tǒng)的過大的相位滯后使得輸出響應(yīng)變得緩慢。因此，若控制對(duì)象是非最小相位系統(tǒng)，其控制效果特別是快速性一般比較差，而且校正也困難。2典型環(huán)節(jié)的頻率特性如圖5-12所示的典型反饋控制系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般表達(dá)式為如果將其分子、分母進(jìn)行因式分解，則開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)通?？煞纸鉃橐韵缕叻N典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：圖5-12典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖－G(s)H(s)①比例環(huán)節(jié)②積分環(huán)節(jié)③微分環(huán)節(jié)④慣性環(huán)節(jié)⑤一階微分⑥振蕩環(huán)節(jié)⑦二階微分G(s)=sG(s)=Ts+1（T>0）G(s)=1/sG(s)=K（K>0）G(s)=1/(Ts+1)（T>0）（1）比例環(huán)節(jié)①幅相頻率特性曲線輸入輸出關(guān)系為，頻率特性為：圖5-13比例環(huán)節(jié)的幅相曲線0與頻率ω?zé)o關(guān)。是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為（k，j0）。db0020-20111010100100-/2圖5-14比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線20lgk②對(duì)數(shù)幅頻特性③對(duì)數(shù)相頻特性K>1時(shí)，分貝數(shù)為正；K<1時(shí)，分貝數(shù)為負(fù)。幅頻曲線升高或降低相頻曲線不變改變K（2）積分環(huán)節(jié)①幅相頻率特性曲線輸入輸出關(guān)系為:傳遞函數(shù)和頻率特性分別為:jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0一個(gè)負(fù)的純虛矢量矢量的模隨著ω的增大而減小￥o900從變化時(shí)，各矢量的角度均為－～＋w100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec]90000-900相角為-900是一條直線，斜率-20dB/dec②對(duì)數(shù)頻率特性曲線100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-202010090000-900相角為-900是一條直線，斜率-20dB/dec②對(duì)數(shù)頻率特性曲線[-20dB/dec]100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-202010090000-900相角為-900是一條直線，斜率-20dB/dec②對(duì)數(shù)頻率特性曲線[-20dB/dec]

積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/十倍頻程的直線。

斜率：

即橫坐標(biāo)lg每增加單位長度（每增加十倍）時(shí)，L()減少20dB，故斜率是-20dB/十倍頻程，記作-20dB/dec。相頻特性

（3）微分環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為傳遞函數(shù)和頻率特性分別為:①幅相頻率特性曲線一個(gè)純虛矢量矢量的模隨著ω的增大而增大￥o900從變化時(shí)，各矢量的角度均恒為～＋wjIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[20dB/dec]90000-900相角為900是一條直線，斜率20dB/dec②對(duì)數(shù)頻率特性曲線100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[20dB/dec]90000-900相角為900是一條直線，斜率20dB/dec②對(duì)數(shù)頻率特性曲線100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[20dB/dec]90000-900相角為900是一條直線，斜率20dB/dec②對(duì)數(shù)頻率特性曲線

微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為20dB/十倍頻程的直線。

斜率：

即橫坐標(biāo)lg每增加單位長度（每增加十倍）時(shí)，L()增加20dB，故斜率是20dB/十倍頻程，記作20dB/dec。相頻特性

（4）慣性環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為傳遞函數(shù)和頻率特性分別為:如，當(dāng)T=0.5時(shí)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為：當(dāng)T=0.5時(shí)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為：j01Im[G(jω)]Re[G(jω)]①幅相曲線可以證明，慣性環(huán)節(jié)的幅相特性曲線為半圓。證明:

頻率特性分解為實(shí)部和虛部G(jω)=U(ω)+jV(ω)即配方后慣性環(huán)節(jié)的幅相特性曲線為半圓②慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線在工程實(shí)踐中，為簡化慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的作圖，常用低頻和高頻漸近線近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，稱之為對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線。

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式為：慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線可記成如下形式：由上分析可見：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近線低頻部分是零分貝線，高頻部分是斜率為-20dB/dec的直線。兩線交于ω頻率處：——慣性環(huán)節(jié)的交接頻率100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100②對(duì)數(shù)頻率特性漸近曲線0o-30o-45o-60o-90oω=1/T=2為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率[-20]100.2210.1L(ω)dBω0dB204026-40-20201000o-30o-45o-60o-90oω=1/T=5為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率o[-20]②對(duì)數(shù)頻率特性漸近曲線用漸近線的方式表示幅頻特性,必然存在誤差。最大誤差發(fā)生在交接頻率處:最大誤差:誤差分析（圖示誤差曲線）利用誤差曲線對(duì)近似曲線修正即得精確曲線。修正后的對(duì)數(shù)頻率特性精確曲線100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20]慣性環(huán)節(jié)低通濾波器（5）一階微分環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為傳遞函數(shù)和頻率特性分別為:實(shí)部恒為1，虛部隨ω增大而增大的矢量。①幅相頻率特性曲線矢量的模隨著ω的增大從1變化到無窮。￥0從變化時(shí)，各矢量的角度從到變化?！玾jIm[G(jω)]Re[G(jω)]012341②一階微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線對(duì)數(shù)幅頻與對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式：對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線:由上分析可見：一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近線低頻部分是零分貝線，高頻部分是斜率為20dB/dec的直線。兩線交于ω頻率處：——一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100對(duì)數(shù)頻率特性漸近曲線

——例1ω=1/T=2為一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率[20dB/dec]0o+30o+45o+60o+90o對(duì)數(shù)頻率特性漸近曲線——例2100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100ω=1/T=4為一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率,增益K=0.03[20dB/dec]0o+30o+45o+60o+90o對(duì)數(shù)頻率特性漸近曲線

——例2（6）振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)（欠阻尼二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)）：頻率特性：幅頻率特性：相頻率特性：①幅相頻率特性曲線

二階振蕩環(huán)節(jié)幅相特性的形狀與ζ的取值有關(guān)，當(dāng)ζ分別取0.4、0.6和0.8值時(shí)，幅相曲線如圖所示。②諧振頻率ωr和諧振峰值Mr

由幅相頻率特性曲線圖可看出，ζ取值較小時(shí)，隨ω=0→∞變化，G(jω)的幅值A(chǔ)(ω)先增加然后再逐漸衰減直至0。A(ω)達(dá)到極大值時(shí)對(duì)應(yīng)的幅值稱為諧振峰值，記為Mr，對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率，記為ωr

Mr、ωr的計(jì)算公式推導(dǎo)根據(jù)諧振峰值的定義，A(ω)的極值和極值點(diǎn)即為諧振峰值Mr和諧振頻率ωr。令A(yù)(ω)的導(dǎo)數(shù)為零即可求得。0j1

可見，Mr、ωr均為ζ的減函數(shù)。當(dāng)，且時(shí)，A(ω)單調(diào)遞增；，A(ω)單調(diào)遞減。而當(dāng)時(shí)，A(ω)單調(diào)遞減。

Mr和h(tp)密切相關(guān):Mr大，h(tp)就大；

反之亦然。因而，Mr直接表征了超調(diào)量的大小，故稱之為振蕩性指標(biāo)。曲線與虛軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，頻率為ωn；諧振幅值ζ越小，ωr越接近ωn，Mr越大；當(dāng)ζ→0時(shí)，ωr趨于ωn，Mr趨于無窮大。諧振頻率ζ較小時(shí)，幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值，(0<ζ<0.707)ζ越小，曲線與虛軸交點(diǎn)的幅值越大，即結(jié)論：幅頻率特性：③振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線可見，二階振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的低頻部分為0dB線，高頻漸近線為-40dB/dec的直線。交接頻率為ωn

。

振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)不僅ω/ωn與有關(guān)，而且與阻尼比ζ有關(guān)，而La(ω)與阻尼比ζ無關(guān)。

在交接頻率附近一般不能簡單地用漸近線近似代替，否則可能引起較大的誤差。圖5-27給出當(dāng)ζ取不同值時(shí)對(duì)數(shù)幅頻特性的準(zhǔn)確曲線和漸近線。由圖可見，在ζ小于0.707時(shí)，曲線出現(xiàn)諧振峰值，ζ值越小，諧振峰值越大，它與漸近線之間的誤差越大。必要時(shí)，可以用圖5-28所示的誤差修正曲線進(jìn)行修正。圖5-27振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖由圖可見，在ζ小于0.707時(shí)，曲線出現(xiàn)諧振峰值，ζ值越小，諧振峰值越大，它與漸近線之間的誤差越大。圖5-28振蕩環(huán)節(jié)的誤差修正曲線振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線——仿真實(shí)驗(yàn)ks=[0.10.20.30.50.71.0];om=10;fori=1:length(ks)num=om*om;den=[12*ks(i)*om

om*om];

bode(num,den);holdon;end繪制振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性Matlab仿真程序振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線——仿真實(shí)驗(yàn)ks=[0.050.10.150.20.250.30.40.50.60.81.0];wwn=0.1:0.01:10;fori=1:length(ks)fork=1:length(wwn)

Lw=-20*log10(sqrt((1-wwn(k)^2)^2+(2*ks(i)*wwn(k))^2));ifwwn(k)<=1Lw1=0;elseLw1=-40*log10(wwn(k));end

m(k)=Lw-Lw1;endhandle=semilogx(wwn,m,'b-');set(handle,'linewidth',1.5);holdon;endgrid;繪制振蕩環(huán)節(jié)的誤差修正曲線Matlab仿真程序④振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線相角也是ω/ωn和ζ的函數(shù)，當(dāng)ω=0時(shí),；當(dāng)ω→∞時(shí)，；當(dāng)ω=ωn

時(shí)，不管ζ值的大小，總是等于，而且相頻特性曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，如圖5-27所示。振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線——舉例100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]-90o0o-180oφ

(ω)o（7）二階微分環(huán)節(jié)頻率特性傳遞函數(shù)幅頻率特性：相頻率特性：①幅相頻率特性曲線頻率特性由頻率特性的實(shí)部和虛部特性可見，二階微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線具有如下特點(diǎn)：ω/ωn

<1時(shí)，實(shí)部為正，矢量在第一象限ω/ωn＝1時(shí)，實(shí)部為零，矢量在正虛軸上ω/ωn

>1時(shí)，實(shí)部為負(fù)，矢量在第二象限ooo180~90~00時(shí)，矢量的角度從～從￥wjIm[G(jω)]Re[G(jω)]01②二階微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)相頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線0dBL(ω)dB[+40]ωn0<ξ<0.707時(shí)有峰值：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的對(duì)比

(dB)10110ω

0.11040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω20-40二階微分與振蕩環(huán)節(jié)1/jω和jωω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω積分與微分環(huán)節(jié)ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T

1+jT和1/(1+jT)(o)90-9000.1110ω一階微分與慣性環(huán)節(jié)

輸出量毫不失真地復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，但時(shí)間上存在恒定延遲的環(huán)節(jié)稱為延遲環(huán)節(jié)，如圖所示。其輸入-輸出關(guān)系為式中，是延遲環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間。（8）延遲環(huán)節(jié)應(yīng)用拉氏變換位移定理可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)延遲環(huán)節(jié)的頻率特性（1）幅相曲線（2）對(duì)數(shù)頻率特性曲線弧度→度

典型環(huán)節(jié)相角小結(jié)G(s)=s微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+11恒定正90o恒定負(fù)90o

0o~+90o

0o~-90o0o~90o~180o0o~

-90o~-180oG(s)=T2s2+2ξTs+11G(s)=T2s2+2ξTs+1延時(shí)環(huán)節(jié)0o~

G(s)=k(k<0)G(s)=-Ts+1不穩(wěn)定的比例環(huán)節(jié)不穩(wěn)定的一階微分不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)不穩(wěn)定的二階微分不穩(wěn)定的振蕩環(huán)節(jié)名稱G(s)恒定-180o0o~-90o0o~+90o0o~-180o0o~+180oG(s)=-Ts+11G(s)=T2s2-2ξTs+11G(s)=T2s2-2ξTs+1非最小相位環(huán)節(jié)相角小結(jié)3開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性曲線繪制

根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式G(jω)，可令ω由小到大取值，算出A(ω)和φ(ω)值，在復(fù)平面上描點(diǎn)繪圖可以得到準(zhǔn)確的開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性曲線。

實(shí)際系統(tǒng)分析過程中，往往只需要知道幅相頻率特性曲線的大致圖形（概略幅相頻率特性曲線）即可，并不需要繪出準(zhǔn)確曲線。在繪制開環(huán)系統(tǒng)的概略幅相頻率特性曲線時(shí)，可將開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)，然后，利用典型環(huán)節(jié)的幅相特性進(jìn)行繪制。繪制概略開環(huán)幅相頻率特性曲線時(shí)應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個(gè)重