第四章 數據分布特征的描述

第四章數據分布特征的描述通過本章學習，掌握各種指標的分類及計算，特別是平均指標與變異度指標的計算，能運用所學的計算方法分析具體問題。

教學目的與要求：2005年全國1%人口抽樣調查主要數據公報

2005年11月1日零時，全國31個省、自治區(qū)、直轄市和現(xiàn)役軍人的總人口為130628萬人，與2000年11月1日零時第五次全國人口普查的總人口126583萬人相比，增加了4045萬人，增長3.2%；年平均增加809萬人，年平均增長0.63%。根據調查數據推算，2005年年末總人口為130756萬人。全國人口中，男性為67309萬人，占總人口的51.53%；女性為63319萬人，占總人口的48.47%。性別比（以女性為100，男性對女性的比例）為106.30，與第五次全國人口普查相比下降0.44。全國人口中，0-14歲的人口為26478萬人，占總人口的20.27%；15-59歲的人口為89742萬人，占總人口的68.70%；60歲及以上的人口為14408萬人，占總人口的11.03%（其中，65歲及以上的人口為10045萬人，占總人口的7.69%）。與第五次全國人口普查相比，0-14歲人口的比重下降了2.62個百分點，60歲及以上人口的比重上升了0.76個百分點（其中，65歲及以上人口比重上升了0.73個百分點）。

討論：以上諸多指標中，哪些是總量指標？哪些是相對指標？指出他們分別屬于什么相對指標。并對這些指標進行初步的分析。

1、人口繼續(xù)保持低速增長，年平均增長0.63%。。2、男女性別比例失調的狀況得到了有效遏制,并進一步趨向合理。農村的“養(yǎng)兒防老，重男輕女”的傳統(tǒng)生育觀念尚未得到根本的轉變。3、老齡化社會特征明顯

——按照國際通行定義，60歲及以上人口超過10%或65歲及以上人口超過7%的國家或地區(qū)，被稱為老齡化社會的國家或地區(qū)。進入老齡化社會，反映了我國經濟社會的進步，醫(yī)療衛(wèi)生條件的改善，出生率和死亡率的下降，平均預期壽命的提高……但與此同時，老齡化社會也會給我國經濟社會帶來一些重大影響。我國應大力發(fā)展社會經濟，建立健全和完善社會保障體系、養(yǎng)老保障體系，積極應對日益突出的老齡化問題。對這些指標的初步分析：第一節(jié)總量指標一、總量指標的概念與作用

1、概念：指反映社會經濟現(xiàn)象在一定的時間、地點條件下達到的的總規(guī)?；蚬ぷ骺偭康木C合指標。2、作用：它是對社會經濟現(xiàn)象認識的起點。是編制計劃、實行經營管理的重要依據。是計算相對指標和平均指標的基礎。計量單位自然單位：頭、輛、人

復合單位：臺/千瓦、千瓦小時人/平方公里標準實物單位：實物單位貨幣單位勞動量單位度量衡單位：米、公斤、噸二、總量指標的計量單位三、總量指標的種類（一）按其所反映的內容不同分１、總體總量：反映總體中單位數多少。如：一個企業(yè)的職工人數，一個地區(qū)的企業(yè)個數２、標志總量：反映總體各單位某一數量標志值總和。如：企業(yè)全部職工的工資總額，一個地區(qū)的工業(yè)總產值（二）按其所反映的時間狀況不同分１、時期指標：反映現(xiàn)象在某一段時期內的總量。２、時點指標：反映現(xiàn)象在某一時刻上的總量。

▲兩者區(qū)別：①時期指標可累計，具有可加性，時點指標是間斷的，只能間斷計數；②時期指標的大小與時期長短有關，時點指標與時點間隔長短無直接關系；③時期指標需連續(xù)登記取得，時點指標只能在某一時刻取得。單位名稱企業(yè)數（個）職工人數（人）固定資產增加額（萬元）工業(yè)增加值（萬元）紡織局化工局機械局300250450

800050007000

100020002000

200500300合計

100020000

5000

1000通過下表：1、區(qū)分總體單位總量與總體標志總量；

2、區(qū)分時期指標與時點指標?？傮w標志總量時點指標時期指標總體單位總量（三）按所采用計量單位的不同

1、實物指標：以實物單位計量的總量指標

2、價值指標：以貨幣單位計量的總量指標

3、勞動量指標：以勞動單位計量的總量指標如：工日、工時等勞動時間1、計算總量指標必須對指標的含義、范圍做嚴格的確定。2、計算實物總量指標時，要注意現(xiàn)象的同類性。3、計算總量指標要有統(tǒng)一的計量單位。四、計算和應用總量指標的原則選擇題：1、下列統(tǒng)計指標屬于時期指標的是（）。

Ａ、工業(yè)總產值B、糧食產量Ｃ、電腦銷售量D、企業(yè)職工人數Ｅ、旅游入境人數2、下列指標屬于時點指標的有（）。Ａ、某地區(qū)企業(yè)個數B、某地區(qū)人口死亡數Ｃ、某城市在校學生數D、居民銀行存款余額Ｅ、某農場每年拖拉機臺數

3、“商品庫存額”屬于（）。Ａ、總量指標B、時期指標Ｃ、時點指標D、相對指標Ｅ、數量指標

第二節(jié)相對指標一、相對指標的概念1、概念：兩個有聯(lián)系的指標進行對比的比值。2、作用：（1）具體說明現(xiàn)象之間的數量關系；（2）使不能直接對比的絕對數變成可對比。

二、相對指標的表現(xiàn)形式（一）有名數：有具體計量單位的數值。（二）無名數：抽象化的數值。

1、系數和倍數：基數化為1

（當分子、分母相差不大時常用系數表示，當分子比分母數值大1倍以上時常用倍數表示）

2、成數：對比的基數化為103、百分數：基數化為1004、千分數：基數化為1000

三、相對指標的種類及計算

（一）計劃完成相對指標1、基本公式

2、短期計劃的檢查（1）計劃任務數為絕對數

例：某企業(yè)計劃規(guī)定本年度銷售收入達到1000萬元，實際為950萬元，計劃完成相對指標為：

（2）計劃任務數為平均數

例：某企業(yè)計劃某種產品單位成本為50元，實際為

45元，計劃完成相對指標為：注意：在分析計劃完成情況時，要注意計劃任務數的性質差異。若計劃數是以下限規(guī)定的（越大越好的指標），如產值、利潤等，其計劃完成相對數大于100%為超額完成計劃；若計劃數是以上限規(guī)定的（越小越好的指標），如產品成本、原材料消耗量等，其計劃完成相對數小于100%為超額完成計劃。（3）計劃數為相對數

某企業(yè)計劃勞動生產率今年比去年提高10%，實際提高了15%。計劃完成相對指標為：某企業(yè)計劃某種產品成本今年比去年降低5%，實際降低了6%。計劃完成相對指標為：計劃執(zhí)行進度的計算公式：

某公司2002年計劃實現(xiàn)工業(yè)增加值160萬元，第一、第二季度分別實現(xiàn)工業(yè)增加值42萬元和44萬元。則計劃執(zhí)行進度＝（42+44）÷160×100％＝53.75％例：某企業(yè)生產某種產品產量計劃完成情況如下：單位（噸）2、檢查累計至二月份的產量計劃完成情況。月份計劃產量實際產量

一二三180018001800122517202665合計

540056101、計算各月和一季度產量計劃完成相對指標。計劃完成程度（%）

68.0695.56148.06

103.89（計算結果見上表）

中長期計劃的檢查累計法水平法五年計劃規(guī)定全期任務規(guī)定期末任務3、中長期計劃完成相對數

——當計劃任務是以計劃期期末（最后一年）應達到的水平下達的，檢查計劃執(zhí)行情況用水平法。

確定提前完成計劃的時間：

——如果計劃期內有連續(xù)一年的實際數，達到計劃規(guī)定最后一年應達到的水平，后面所余的時間就是提前完成計劃的時間。公式：P51（1）水平法：例：甲企業(yè)某五年計劃規(guī)定，A產品產量在計劃期最后一年應達到200萬噸，實際執(zhí)行結果如下：萬噸試計算該企業(yè)產量計劃完成相對數和提前完成計劃時間。時間第1年第2年第3年第4年第5年上半年下半年一季二季三季四季一季二季三季四季產量11012266743738424953586572

提前完成計劃的時間

（2）累計法

——當計劃任務是以計劃期全期累計應達到的水平下達的，檢查計劃執(zhí)行情況用累計法。

確定提前完成計劃的時間：

——從計劃期開始至某一時間所累計完成的實際數達到了計劃規(guī)定的累計數，以后的時間就是提前完成計劃的時間。公式：P52

恩格爾系數食物支出總額消費支出總額（二）結構相對指標注意：組或各部分占總體的比重之和，必須為1或100%國內生產總值構成與從業(yè)人員構成(國內生產總值=100)

年份國內生產總值(億元)國內生產總值構成（%）年底從業(yè)人員(萬人)從業(yè)人員構成（%）第一產業(yè)第二產業(yè)第三產業(yè)第一產業(yè)第二產業(yè)第三產業(yè)199626651.921.843.934.36555458.821.719.8199734560.519.947.432.76637356.422.421.2199846670.020.247.931.96719954.322.723.0199957494.920.548.830.76794752.223.024.8200066850.520.449.530.16885050.523.526.0200173142.719.150.030.96960049.923.726.4200276967.118.649.332.16995749.823.526.7200380729.817.348.732.97058650.123.026.9我國男女（0至4歲）性比例120.72：100

我國男女（5至9歲）性比例123.05：100

我國男女性比例106.74：100

例如：某年北京市工業(yè)總產值為708.97億元，上海市工業(yè)總產值為1515.35億元，則上海市工業(yè)總產值為北京的2.14倍（即1515.35÷708.97）。

★比例相對指標和比較相對指標的區(qū)別是：⑴子項與母項的內容不同----比例相對指標是同一總體內，不同組成部分的指標數值的對比；比較相對指標是同一時間同類指標在空間上的對比。⑵說明問題不同----比例相對指標說明總體內部的比例關系；比較相對指標說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度。比較相對指標是不同單位的同類指標對比而確定的相對數，用以說明同類現(xiàn)象在同一時期內各單位發(fā)展的不平衡程度。例如：某企業(yè)2005年上半年實現(xiàn)利潤1200萬元，2006

年上半年實現(xiàn)利潤1360萬元，則動態(tài)相對數＝1360/1200×100％＝113.33％(六)強度相對指標

1、基本公式強度相對指標如：人口出生率人口密度

12.9‰肇慶是2005年末：247人/平方公里全國2006年：136人/平方公里計量單位有兩種表示形式：（1）復名數：如“人/平方公里，元/人”等例：某地區(qū)2003年末土地面積為36萬平方公里，年末人口數為1158萬人，則人口密度約為

1158/36＝32人/平方公里（2）無名數：一般用千分數、百分數表示，如人口出生率、流通費用率等

2、指標形式——有些強度相對指標分子、分母可以互換位置（1）正指標：指標數值的大小與現(xiàn)象的強度、密度和普遍程度成正方向。例：某地區(qū)2004年末人口數為100萬人，年末擁有商業(yè)網點1200個，則商業(yè)網點密度＝1200/1000000=12個/萬人（2）逆指標：指標數值的大小與現(xiàn)象的強度、密度和普遍程度成反方向。商業(yè)網點密度＝1000000/1200=833人/個練習：想一想可以計算哪幾種相對指標？根據第五次人口普查調整數

1990年

2000年人口總數其中：男女

1133685849554873

1265836535561228單位：萬人又知我國國土面積為960萬平方公里。結構相對指標比例相對指標比較相對指標強度相對指標動態(tài)相對指標√√√√×計劃完成相對數×六種相對數指標的比較不同時期比較動態(tài)相對數強度相對數不同現(xiàn)象比較不同總體比較比較相對數同一總體中部分與部分比較部分與總體比較實際與計劃比較比例相對數結構相對數計劃完成相對數同一時期比較同類現(xiàn)象比較課堂練習判斷題：1、同一個總體，時期指標值的大小與時期長短成正比，時點指標值的大小與時點間隔成反比。（）2、全國糧食總產量與全國人口對比計算的人均糧食產量是平均指標。（）

3、同一總體的一部分數值與另一部分數值對比得到的相對指標是比較相對指標。（）4、某企業(yè)生產某種產品的單位成本，計劃在上年的基礎上降低2%，實際降低了3%，則該企業(yè)差一個百分點沒有完成計劃任務。（）5、甲企業(yè)工人勞動生產率是乙企業(yè)的一倍，這是比較相對指標。（）

選擇題：1、下列統(tǒng)計指標屬于總量指標的是（）。

Ａ、工資總額B、商業(yè)網點密度Ｃ、商品庫存量D、人均國民生產總值Ｅ、進出口總額2、某廠2006年完成產值2000萬元，2007年計劃增長10%，實際完成2310萬元，超額完成計劃（ ）。

A、5.5% B、5% C、115.5%D、15.5%3、下列指標中的結構相對指標是（）。

Ａ、國有制企業(yè)職工占總數的比重

B、某工業(yè)產品產量比上年增長的百分比Ｃ、大學生占全部學生的比重

D、中間投入占總產出的比重Ｅ、某年人均消費額4、下列指標屬于相對指標的是（）。

A、某地區(qū)平均每人生活費245元

B、某地區(qū)人口出生率14.3%

C、某地區(qū)糧食總產量4000萬噸

D、某產品產量計劃完成程度為113%E、某地區(qū)人口自然增長率11.5‰

5、下列指標中強度相對指標是（）。

Ａ、人口密度

B、平均每人占有糧食產量

Ｃ、人口自然增長率

D、人均每國內生產總值

Ｅ、生產工人勞動生產率練習：1.某企業(yè)2007年某種產品單位成本為800元，2008年計劃規(guī)定比2007年下降8%，實際下降6%。企業(yè)2008年產品銷售量計劃為上年的108%，2007～2008年動態(tài)相對指標為114%，試確定：⑴該種產品2008年單位成本計劃數與實際數。⑵2008年單位產品成本計劃完成程度。⑶2008年單位產品成本實際比計劃多或少降低的百分點。⑷2008年產品銷售計劃完成程度。解：以2007年的產品單位成本為基數，根據2008年的計劃百分比和實際完成百分比可以計算出：⑴2008年計劃單位產品成本800×（100%-8%）=736（元）實際單位產品成本800×（100%-6%）=752（元）⑵單位產品成本計劃完成程度相對數或⑶2008年實際比計劃少降低6%-8%=-2%即2個百分點

⑷2008年產品銷售計劃完成程度設2007年銷售量為a，依題意則2008年的計劃銷售量為a×108％，

2008年的實際銷售量為a×114％，所以2008年產品銷售計劃完成程度＝（a×114％）÷（a×108％）＝114％÷108％＝105.56％

2.假定某產品按五年計劃規(guī)定,最末一年產量應達到50萬噸,實際產量如下表，檢查長期計劃完成情況及提前完成的時間。單位:萬噸13.5+12.5+12.5+13=51.5(萬噸)從第四年的第二季度起到第五年的一季度止,實際產量已達到計劃規(guī)定的50萬噸,即12+12.5+13+13.5=51(萬噸)，所以提前完成任務的天數為(20-17）×90+1/(13.5-11)/90＝270+36=306（天）

51.5×100%=103%50時間第一年第二年第三年第四年第五年上下一二三四一二三四產量44452224111212.51313.512.512.513提前完成任務的時間：長期計劃完成程度＝解:計劃末期實際產量＝3.某企業(yè)三個車間生產同種產品，2002年上半年有關生產資料如下：要求：(1)計算該企業(yè)產品計劃完成百分比；

(2)計算該企業(yè)產品的實際優(yōu)質品率。車間實際產量(臺)完成計劃(％)實際優(yōu)質品率(％)甲乙丙15001800220012010080939596案例引入

在正常的市場經濟環(huán)境下，投資的高收益總是伴隨著高風險。所以，投資理財專家總是在提醒人們：不僅要看到收益率的高低，還要注意到風險的大小。某投資者為了比較不同類型投資基金的收益率水平，收集了30只投資基金某年的收益率數據如下：30只投資基金某年的收益率表

偏債券型（%）中間型（%）偏股票型（%）6.36.05.28.17.53.94.85.910.86.99.87.211.52.34.18.77.47.38.113.918.75.1-1.89.68.47.612.010.514.311.4思考與討論1、如何比較三種類型投資基金的收益率高低？試計算出有關指標的數值。2、各種類型投資基金的風險大小如何度量？3、哪類投資基金收益率的波動較大？試計算出有關指標的數值來具體說明，并可得出什么結論？4、對于一個穩(wěn)健型的投資者，你會建議他購買哪種類型的投資基金，為什么？

第三節(jié)平均指標一、平均指標的概念、特點和作用

1、概念：各總體單位某一標志值在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平。（平均指標反映同類現(xiàn)象的一般水平，是總體內各單位參差不齊的標志值的代表值，也是對變量分布集中趨勢的測定。）數據集中區(qū)變量x2、平均指標的特點

（1）同質性（2）代表性（3）抽象性

3、平均數的作用

（1）可以比較不同空間同一事物一般水平的差異

——消除了總體數量差異使其具有可比性（2）反映總體不同時期的發(fā)展變化規(guī)律（3）分析研究現(xiàn)象之間的依存關系（4）可以推算和預測

時間狀況---靜態(tài)平均數和動態(tài)平均數計算方法---數值平均數和位置平均數數值平均數算術平均數調和平均數幾何平均數眾數中位數二、平均指標的種類三、算術平均數（一）算術平均數的基本計算公式例如，

注意：強度相對指標與平均指標的區(qū)別（１）指標的含義不同。強度相對指標說明的是某一現(xiàn)象在另一現(xiàn)象中發(fā)展的強度、密度或普遍程度；而平均指標說明的是現(xiàn)象發(fā)展的一般水平。（２）計算方法不同。兩者雖然都是兩個有聯(lián)系的總量指標之比，但是，強度相對指標分子與分母的聯(lián)系，只表現(xiàn)為一種經濟關系，它的分子、分母可以互換。而平均指標是在一個同質總體內標志總量和單位總量的比例關系，分子與分母的聯(lián)系是一種內在的聯(lián)系，即分子是分母（總體單位）所具有的標志，有一一對應的關系，對比結果是對總體各單位某一標志值的平均。

（二）簡單算術平均數舉例：5名學生的學習成績分別為：75、91、64、

53、82，則平均成績?yōu)椋?/p>

計算公式:應用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數都是1。

——資料已經分組

1、根據單項數列計算應用條件：單項式分組，各組次數不同。（三）加權算術平均數計算公式：標志值權數舉例：某車間20名工人加工某種零件資料：

平均日產量

按日產量分組（件）x工人數（人）f日產總量

xf14151617182485128601288518

合計

203192、根據組距數列計算應用條件：組距式分組，各組次數不同。用各組的組中值代替各組平均數。注意：計算出來的加權算術平均數是一個近似值。舉例：某車間200名工人日產量資料：按日產量分組（公斤）工人數

f組中值

x日產總量xf20—3030—4040—5050—601070903025354555250245041501650合計

200

—84003、由比重權數計算應用條件：已知的是比重權數（次數是比重）公式：按日產量分組（公斤）人數比重（%）組中值x20—3030—4040—5050—60

535451525354555例：兩個班組工人生產資料如下：根據資料分別計算兩個班組工人的平均日產量。

一班二班日產量工人數比重日產量工人數比重（件）（人）（%）（件）（人）（%）

202102015211521152215752215231523152415241680

合計20100合計20100一班工人平均日產量

二班工人平均日產量

計算得到：=21.9(件)=23.5(件)注意：權數在平均數形成中起的作用權數的選擇：

當分組的標志為相對數或平均數時，經常會遇到選擇哪一個條件為權數的問題。如下例：計劃完成程度企業(yè)數計劃產值

(%)(個)(萬元)

80—9055090—1001080100—110120200110—1203070合計165400某工業(yè)局下屬各企業(yè)按產值計劃完成程度分組資料如下，根據資料計算該工業(yè)局產值平均計劃完成程度。選擇權數的原則:1、變量與權數的乘積必須有實際經濟意義。2、依據相對數或平均數本身的計算方法來選擇權數。根據原則本題應選計劃完成產值為權數平均計劃完成程度：

簡單算數平均數與加權算數平均數的關系

當四、調和平均數（H）

例如：某人買蔬菜，早上是每斤1元，中午是每斤0.8元，傍晚是每斤0.5元，現(xiàn)在他早、午、晚各買1元，問平均每斤的價格？分析：平均價格=總金額÷總重量，現(xiàn)在一共花了3元錢，買到蔬菜的數量分別為：

1/1.00,1/0.8,1/0.5,一共為4.25斤,

于是，平均價格＝總金額÷總重量＝3/4.25=0.71(元/斤)（一）簡單調和平均數——資料未分組，各個變量值次數都是1。計算公式:調和平均數：各單位標志值倒數的算術平均數的

倒數。舉例:一個人步行兩里，走第一里時速度為每小時

10里，走第二里時為每小時20里，則平均速度為：舉例：上列若不是各買1元，而是早上買了5元，中午買了4元，傍晚買了2元，則平均價格的計算為：分析：總共花了5+4+2=11元，買回的蔬菜重量為5/1+4/0.8+2/0.5=14（斤）∴平均價格=11/14=0.79(元/斤)（二）加權調和平均數

——資料經過分組，各組次數不同。計算公式：

權數

例1：按速度分

x行走里程m所需時間201510123

合計6求平均速度。

按月工資分組x工資總額m100020003000500040000030000合計435000

例2工人數m/x520010215求平均工資。例3：某工業(yè)局下屬各企業(yè)按產值計劃完成程度分組資料如下，根據資料計算該工業(yè)局產值平均計劃完成程度：計劃完成程度企業(yè)數實際產值

(%)(個)(萬元)80—9055090—1001080100—110120200110—1203070

合計165400平均計劃完成程度=400394=101.52%組中值

(%)x8559958410519011561—394m說明：該工業(yè)局實際比計劃多完成6萬元，超額1.52%

完成產值計劃任務。計劃產值m價格（元）3.32.52.0合計銷售量（斤）34512加權算術平均法求某種商品三種零售價格的平均價格加權調和平均法價格（元）3.32.52.0合計銷售額（元）10101030加權算術平均數求某種商品三種零售價格的平均價格加權調和平均數★結論：

在統(tǒng)計實務中，調和平均數常常作為算術平均數的變形來使用，它雖然與算術平均數計算方法不同，但其實質是一樣的（即）。凡是掌握被平均指標的分母資料時，用加權算術平均法計算平均數。凡是掌握被平均指標的分子資料時，用加權調和平均法計算平均數。

班組平均勞動生產率x產品產量(件)m一二三四五

101215203010002400450060006000合計

—19900練習：某車間各班組工人勞動生產率資料如下表，計算該車間平均勞動生產率。實際工時1002003003002001100

五、幾何平均數（G）

車間投入量產出量合格率%x一

二三

1000800720800720504809070例：某企業(yè)生產某種產品需經過三個連續(xù)作業(yè)車間才能完成。

幾何平均數：n個變量值連乘積的n次方根。

（適用于對速度、比率等現(xiàn)象計算平均數。）

（一）簡單幾何平均數計算公式：應用條件：資料未分組（各變量值次數都是1）。

例：某投資者持有的一種股票，2005—2008年的收益率分別為4.5%，2.1%，25.5%，1.9%。計算該投資者四年的平均收益率。平均收益率＝108.08%-1=8.08%(二)加權幾何平均數計算公式：應用條件：資料經過分組，各組次數不同。舉例1：某地區(qū)近20年來的經濟發(fā)展速度如下，計算20年中經濟平均發(fā)展速度。發(fā)展速度（％）x年次f10210510711015104合計20計算過程：舉例2：

某人將一筆錢存入銀行，存期10年，以復利計息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9

年至第10年12%，計算平均年利率。本利率x年數f105%108%110%112%2332合計10平均年利率=108.77％-1＝8.77％幾何平均數的適用范圍：

——當變量值是比率，而且變量值之間存在連乘關系，這時反映現(xiàn)象的一般水平要用幾何平均數。六、中位數（）

——把總體各單位標志值按大小順序排列起來，居于中間位置的那個數就是中位數。（一）由未分組資料確定中位數方法：①把資料按大小順序排列②求中間項次

Om=③確定中位數：

n為奇數時，第Om項對應的標志值

n為偶數時，第Om項兩邊標志值的平均數1、標志值的個數是奇數例：7名工人生產某種產品，日產量（件）分別為4、6、6、8、9、12、14。中間位置為（7+1）/2＝4即位于第四名工人的日產量8件為中位數。2、標志值的個數是偶數上例增加為8名工人，日產量為4、6、6、8、9、12、13、14。由于（8+1)/2=4.5，即中間位置在第四和第五名中間，中位數為(8+9)/2=8.5(二）由分組資料確定中位數

②確定中位數所在組

——按累計次數的方向找出第一個能夠容納的累計次數所對應的組；

方法：①確定中間位置Om=

③確定中位數若為單項式數列，中位數組所對應的標志值；若為組距式數列，用公式計算。

1、由單項數列確定中位數

例：中間位置為80/2＝40，中位數組為第三組，則中位數為24。

按日產量分組（件）x工人數（人）f累計次數以下累計以上累計20222426101530251025558080705525合計80——2、由組距數列確定中位數

（1）計算公式某車間50名工人日加工零件數分組表按零件數分組頻數（人）累積頻數105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計50—（2）【例題】根據表中的數據，計算50名工人日加工零件數的中位數舉例年人均純收入（千元）農戶數（戶）以下累計次數5以下5—66—77—88—99以上24048011007003201602407201820252028403000合計3000—(1)確定中間位次(2)確定中位數組為

6—7(3)確定中位數七、眾數（）

——總體中出現(xiàn)次數最多的標志值是眾數。1、由未分組資料確定眾數例：7名工人日產量（件）為4、5、6、6、6、7、

8。則眾數是6。

無眾數

原始數據:10591268一個眾數

原始數據:6598

55多于一個眾數

原始數據:25

2828

36

4242

——次數最多的組對應的變量值例：

按日產量分組（件）工人數（人）20212223153020102、由單項數列確定眾數：3、由組距數列確定眾數（1）計算公式：某車間50名工人日加工零件數分組表按零件數分組頻數（人）累積頻數105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計50—（2）【例題】根據表中的數據，計算50名工人日加工零件數的眾數課堂練習

1、根據分組資料計算算術平均數，當各組單位數出現(xiàn)的次數均相等時，按加權算數平均數計算的結果與按簡單算數平均數計算的結果相同。（）

2、權數對算數平均數的影響作用只表現(xiàn)為各組出現(xiàn)次數的多少，與各組次數占總次數的比重無關。（）

3、各個變量值與其平均數離差的平方之和等于0。（）

4、一組數據中可能存在多個眾數。（）一、判斷題1.計算平均指標最常用的方法和最基本的形式是（）。

A.中位數B.眾數

C.算術平均數

D.調和平均數2.算術平均數的基本形式是（）。

A.同一總體不同部分對比

B.總體的部分數值與總體數值對比

C.總體單位數量標志值之和與總體單位總數對比

D.不同總體兩個有聯(lián)系的指標數值對比3.在加權算術平均數公式中，若各個變量值都擴大3倍，而頻數都減少為原來的1/3，則平均數（）。

A.不變B.減少了

C.擴大3倍D.不能確定二、選擇題

4.影響加權算術平均數的因素有（）。Ａ.各組頻率或頻數Ｂ.各組標志值的大?。?各組組距的大?。?各組組數的多少Ｅ.各組組限的大小

5.在下列條件下，加權算術平均數等于簡單算術平均數（）。

A.各組次數相等

B.各組變量值不等

C.變量數列為組距數列

D.各組次數都為1E.各組次數占總次數的比重相等三、計算題

1、某集團公司公司工資資料如下：求公司職工平均工資。月平均工資（元）企業(yè)個數（個）職工人數（人）1000元以下1000--14001400--18001800以上31052150020001200800合計205500計算如下：月平均工資（元）組中值（X）職工人數（人）X*f1000元以下1000--14001400--18001800以上8001200160020001500200012008001200000240000019200001600000合計——55007120000

（元）

解釋：由于職工平均工資＝職工工資總額÷職工人數故應選職工人數作為權數。

某自行車公司下屬20個企業(yè)，1999年甲種車的單位成本分組資料如下：

試計算該公司1999年甲種自行車的平均單位成本。

單位成本（元/輛）企業(yè)數（個）各組產量占總產量的比重（％）200-220220-240240-26051234045152、平均單位成本為：

第四節(jié)

變異度指標（一）變異度指標的概念和作用——反映總體各標志值間差異程度的綜合指標作用：1、衡量平均數代表性——變異度指標值越大，平均數的代表性越小。2、用來研究現(xiàn)象的穩(wěn)定性和均衡性3、是統(tǒng)計分析的一個基本指標數據的分散程度是數據分布的另一個重要特征，它所反映的是各變量值遠離中心值的程度，因此稱為離散趨勢。二、變異度指標的計算（一）全距（R）公式：R=最大值—最小值優(yōu)點：計算簡便缺點：易受極端值的影響舉例：5名學生的成績?yōu)?0、69、76、88、97

則R=97-50=47組距數列的全距R＝最高組的上限－最低組的下限全距反映總體標志值的變動范圍，其數值越大，平均數代表性越小。（二）四分位差1、定義：四分位數中間兩個分位數之差，一般以Q表示。四分位數：將所有總體單位的標志值從小到大順序排列后分為四個相等部分，處于這四個相等部分分割點位置上的所對應的標志值。通常用Q1，Q2，Q3表示，Q2即為中位數。其中：Q1的位置=（n+1）/4Q2的位置=2（n+1）/4Q3的位置=3（n+1）/42、計算方法：公式：Q=Q3-Q1

例：某車間有12名工人，其日產量按大小順序依次排列如下：10，20，22，24，25，26，27，28，30，32，34，35，求其四分位差。解：Q1的位置=（n+1）/4＝3.25

則Q1＝（22+24）÷2＝23Q3的位置=3（n+1）/4＝9.75

則Q3＝（30+32）÷2＝31所以，Q＝Q3-Q1

＝31-23＝8（件）3、特點：

——四分位差反映的只是數列中段占總體50％的單位的差異程度，故比全距要小得多。但它不是根據全部標志值計算的，存在與全距類似的缺點。（三）平均差（A.D)應用條件：資料未分組，各變量值出現(xiàn)的次數為1?！傮w各單位標志值對其算術平均數的離差絕對值的算術平均數。1、簡單平均差公式：計算步驟：（1）計算算術平均數（2）計算離差的絕對值（3）根據公式計算平均差例：甲乙兩個班組工人日產量資料如下：

甲班組（件）：2528303542

乙班組（件）：1824323848要求：計算平均差，比較兩個班組工人平均日產量的代表性。結論：平均差越大，其平均數代表性越小。

解：計算平均日產量甲組：x=

n

∑x=

5

160=乙組：x=

n

∑x=

5

160=

32（件）32（件）甲班組：=26÷5＝5.2(件)乙班組：=44÷5＝8.8(件)

甲班組工人日產量的平均差小于乙班組的∴甲班組工人平均日產量的代表性大于乙班組計算平均差

2、加權平均差應用條件：資料經過分組，各組次數不同。計算公式：計算步驟：（1）計算算術平均數（2）計算離差的絕對值（3）計算絕對值乘以次數（4）根據公式計算平均差按日產量分組（公斤）工人數

f20—3030—4040—5050—6010709030合計

200舉例：某車間200名工人日產量資料如下，計算其平均差。

按日產量分組（公斤）工人數f組中值x日產總量xf20—3030—4040—5050—601070903025354555

250245041501650170490270390合計200—84001320平均日產量：計算過程：平均差：3、平均差的優(yōu)缺點優(yōu)點：平均差是根據全部數值計算的，受極端值影響較全距小。缺點：由于采取絕對值的方法消除離差的正負號，應用較少。

（四）標準差（）和方差標準差：總體各單位標志值與其算術平均數的離差平方的算術平均數的平方根。方差：標準差的平方，用表示。注：方差（σ2）和標準差（σ）是應用最廣的變異度指標結論：標準差越大，其平均數代表性越小。應用條件：資料未分組，各組次數都是1。1、簡單標準差公式：簡單方差計算步驟：①求算術平均數②求離差③求離差平方④求離差平方總和⑤求方差⑥求標準差舉例：五名工人的日產量分別是：日產量（件）202223242691019合計202、加權標準差

應用條件：資料經過分組，各組次數不同。舉例：前例，日產量（公斤）工人數（f）20—3030—4040—5050—6010709030合計200公式：加權方差

解：已知日產量（公斤）工人數f組中值x20—3030—4040—5050—601070903025354555288034308105070合計200—12190標準差的簡捷計算：

——標準差等于各標志值平方的算術平均數減各標志值算術平均數的平方之差的平方根。計算公式：

證明：

日產量（公斤）工人數f組中值x20—3030—4040—5050—60107090302535455562508575018225090750合計200—365000前例，已知計算：（1）已知方差為25，各標志值的平方的平均數為250，求平均數。（2）已知總體標志值的平均數為13，各標志值的平方的平均數為174，求標準差。絕對數形式變異指標的適用條件

——當兩個或多個數列的平均水平相等時，衡量平均水平的代表性，用絕對數形式的變異指標。變異度指標值越大，說明變異程度越大，平均水平的代表性越低；反之亦然。思考：一群牛的平均體重是180公斤，標準差是10公斤；一群羊的平均體重是15公斤，標準差是3公斤，能不能說羊的平均體重的代表性高些？為什么？（五）變異度系數——用相對數形式反映各個變量值與其平均數的離差程度，其數值表現(xiàn)為系數或百分數。變異度系數包括：全距系數、平均差系數、標準差系數，使用最多的是標準差系數。其公式為：

例1：甲組日產量（件）為：6065707580

乙組日產量（臺）為：257912

甲組標準差：乙組標準差：＝7.07＝3.41

即：甲組的平均日產量的代表性高于乙組的。組別平均數標準差標準差系數%甲70（件）7.07(件)10.1乙7（臺）3.41(臺)48.7例題2：已知甲、乙兩個班組工人日產資料如下：

甲班乙班日產量工人數日產量工人數（件）（人）（件）（人）

568117101214912147108156134162

合計40合計40要求：比較一下哪個班組工人的平均日產量的代表性高？解題過程如下：

甲班

乙班日產量

工人數

日產量工人數56

8

11

7

101214

9

1214710815

613416

2合計40

合計

40307010880523408816898903247615049097280067630887042016137213505125954甲班：=8.5(件)乙班:=11.9(件)甲班:σ=2.22(件)乙班:σ=2.69(件)1、計