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文檔簡介

3.3解一元一次方程(二)化簡下列各式:(1)3a+2b+(6a-4b)(2)(-3a+2b)+3(a-b)(3)-5a+4b-(-3a+b)9a-2b-b-2a+3b想一想去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化規(guī)律.去括號(hào)法則

1.括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù),去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同.2.括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反.知識(shí)回顧解這個(gè)方程:3x+5(138-x)=5403x+690-5x=5403x-5x=540-690-2x=-150x=75解:去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1去括號(hào)法則

問題:王大伯承包了25畝土地,今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜,用去了44000元,其中種茄子每畝用了1700元,種西紅柿每畝用了1800元.問兩蔬菜各種了多少畝?分析:設(shè)王大伯共種了x畝茄子,則他種西紅柿__________畝.種茄子每畝用了1700元.那么種茄子一共用去了________元;種西紅柿每畝用了1800元,則他種西紅柿共用去了______________元.根據(jù)王大伯種這兩種蔬菜共用去了44000元,可列方程(25-x)1700x1800(25-x)1700x+1800(25-x)=44000.怎樣解這個(gè)方程?1700x+1800(25-x)=44000.x=10-100x=-10001700x+45000-1800x=440001700x-1800x=44000-45000去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1去括號(hào)是解方程時(shí)常用的變形.解:由上可知,種茄子10畝.所以種西紅柿:25-10=15(畝).答:種茄子10畝,種西紅柿15畝.

例1解方程

(1)x+5(2x-1)=3-2(-x-5)解:去括號(hào),得x+10x-5=3+2x+10移項(xiàng),得x+10x-2x=3+10+5合并同類項(xiàng),得9x=18系數(shù)化為1,得x=2.(2)4x-3(15-x)=6x-7(11-x)解:去括號(hào),得4x-45+3x=6x-77+7x移項(xiàng),得4x+3x-6x-7x=-77+45合并同類項(xiàng),得-6x=-32系數(shù)化成1,得討論:解一元一次方程的步驟是什么?(1)去括號(hào)(2)移項(xiàng)(3)合并同類項(xiàng)(4)系數(shù)化成1(1)3x-5(x-3)=9-(x+4)(2)6x=-2(3x-5)+10(3)-2(x+5)=3(x-5)-6解下列方程.x=10x=14練一練

1.某校準(zhǔn)備將2000元獎(jiǎng)金全部發(fā)給20名三好生,其中市級(jí)三好生每人得獎(jiǎng)金200元,校級(jí)三好生每人得獎(jiǎng)金50元,請(qǐng)問全校市級(jí)三好生、校級(jí)三好生各有多少人?解:高全校市級(jí)三好生x人,列方程200x+50(20-x)=2000解,得x=5.所以校級(jí)三好生:20-x=15(人)答:市級(jí)三好生5人;校級(jí)三好生15人.練一練

2.一個(gè)籠中裝有雞、兔若干只,從上面看,共有21個(gè)頭;從下面看,共有66只腳,問雞、兔各有多少只.解:設(shè)雞x只,列方程2x+4(21-x)=66解,得x=9所以兔的個(gè)數(shù)為:21-x=12(只)答:籠中有雞9只,兔12只.

(3)李白街上走,提壺去買酒,遇店加一倍,見花喝一斗;三遇店和花,喝光壺中酒,試問酒壺中原有多少酒?斗:古代的一個(gè)計(jì)量單位;1斗=10升.解:設(shè):設(shè)酒壺中原有x斗酒.第一次遇店:第一次遇花:第二次遇店:第二次遇花:第三次遇店:第三次遇花:2x2x-1=2x-12(2x-1)=4x-24x-2-1=4x-32(4x-3)=8x-68x-6-1=8x-7列方程,得8x-7=0解,得x=0.875答:酒壺中原有0.875斗酒.

例2:一艘輪船在兩個(gè)碼頭之間航行,順?biāo)叫行枰?小時(shí),逆水行駛需要5小時(shí),水流的速度是2千米/時(shí),求輪船在靜水中的行駛速度.分析:已知兩個(gè)碼頭之間的距離相等所以:順流速度×順流時(shí)間=逆流速度×逆流時(shí)間去括號(hào),得4x+8=5x-10移項(xiàng)及合并同類項(xiàng),得-x=-18系數(shù)化為1,得x=18.答:船在靜水中的行駛速度為18千米/時(shí).解:設(shè)輪船在靜水中的行駛速度為x千米/時(shí),則順流速度為(x+2)千米/時(shí),逆流速度為(x-2)千米/時(shí).可列方程4×(x+2)=5×(x-2)

常用的關(guān)系式

順流時(shí)的速度=靜水中的速度+水流的速度逆流時(shí)的速度=靜水中的速度-水流的速度歸納

(1)一艘輪船從一碼頭逆流而上,再順流而下.如果輪船在靜水中的速度為每小時(shí)15千米,水流速度為每小時(shí)3千米,那么這艘輪船最多開出多遠(yuǎn)然后返回才能保證在7.5小時(shí)內(nèi)回到原碼頭?解:設(shè)這艘輪船開出x小時(shí)后多返回,才能保證在7.5小時(shí)內(nèi)回到原碼頭.列方程(15-3)x=(15+3)×(7.5-x)解,得:x=4.5即輪船開出后:(15-3)x=54(千米)后,返回才能保證在7.5小時(shí)內(nèi)回到原碼頭.練一練

(2)甲、乙兩人在一條長400米的環(huán)形跑道上跑步.甲的速度是360米/分,乙的速度是240米/分.1.兩人同時(shí)同地同向跑,多長時(shí)間兩人第一次相遇,此時(shí)兩人一共跑了幾圈?2.兩人同時(shí)同地反向跑,幾秒后兩人第一次相遇?3.兩人同時(shí)同向跑,甲先跑30秒,問還要多長時(shí)間兩人第一次相遇?4.兩人同時(shí)同向跑,乙先跑30秒,問還要多長時(shí)間兩人第一次相遇?54011秒26秒

(3)一小船由A港到B港順流行駛航行需6h,由B港到A港逆流航行需要8h,一天,小船從早晨6時(shí)由A港出發(fā)順流到達(dá)B港時(shí),發(fā)現(xiàn)救生圈在途中掉落了水中,立即返回,1h后找到救生圈.

1.若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多長時(shí)間?2.救生圈是在什么時(shí)候掉入水中的?48小時(shí)11時(shí)

例3:(1)某工廠計(jì)劃用26小時(shí)生產(chǎn)一批零件,后因每小時(shí)多生產(chǎn)5件,用24小時(shí)不但完成了任務(wù),而且比原計(jì)劃多生產(chǎn)了60件,問原計(jì)劃生產(chǎn)多少件零件?分析:原計(jì)劃生產(chǎn)x件零件,所以計(jì)劃每小時(shí)生產(chǎn)零件數(shù)×26=實(shí)際每小時(shí)生產(chǎn)零件數(shù)×24-60.解:設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)生產(chǎn)x件零件,列方程

24x×(x+5)-60=26x去括號(hào),得

24x+120-60=26x移項(xiàng)及合并同類項(xiàng),得

2x=60系數(shù)化成1,得

x=30

所以原計(jì)劃26×30=780(件)答:原計(jì)劃生產(chǎn)780件零件.

(2)一個(gè)服裝車間,共有90人,每人每小時(shí)加工1件衣服或2條褲子,問怎樣安排工作才能使衣服和褲子正好配套?(一件衣服配一條褲子)分析:為了使每天生產(chǎn)的衣服和褲子正好配套,應(yīng)使生產(chǎn)的衣服和褲子數(shù)量相等.解:設(shè)做衣服人數(shù)為x人,則做褲子的人數(shù)為(90-x)人.列方程x=2(90-x)去括號(hào),得x=180-2x

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng),得3x=180系數(shù)化為1,得x=60.所以做褲子的人數(shù)為:60-x=20(人).答:做衣服人的人數(shù)為40人,做褲子的人為20人.

(1)某車間每天能生產(chǎn)甲種零件100個(gè),或者乙種零件100個(gè).甲、乙兩種零件分別取3個(gè)、2個(gè)才能配成一套.要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品,問怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)?解:設(shè)生產(chǎn)甲種零件x天,列方程:2×100x=3×100(30-x)解,得:x=18則生產(chǎn)乙種零件的天數(shù)為:30-x=12(天)答:應(yīng)安排生產(chǎn)甲種零件18天,乙種零件12天.練一練

(2)某水利工地派40人去挖土和運(yùn)土,如果每人每天平均挖土5方或運(yùn)土3方,那么應(yīng)怎樣安排人員,正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走?解:設(shè)每天派x人挖土,列方程5x=3(40-x)解,得x=15所以每天運(yùn)土人數(shù)為:40-x=25(人)答:每天派15人挖土,25人運(yùn)土,正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走.

(3)用白鐵皮做罐頭盒,每張鐵片可制盒身16個(gè)或制盒底45個(gè)一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒.現(xiàn)有100張白鐵皮,用多少張制盒身,多少張制盒底,可以既使做出的盒身和盒底配套,又能充分地利用白鐵皮?解:設(shè)x張白鐵皮做盒身,列方程2×16x=45×(100-x)解,得x=60則做盒底的鐵皮為:100-x=40(張)答:用60張白鐵皮做盒身,40張白鐵皮做盒底.

目前初中數(shù)學(xué)主要分成代數(shù)與幾何兩大部分,其中代數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是引人了未知數(shù),建立方程,對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算.而最早提出這一思想并加以舉例論述的,是古代數(shù)學(xué)名著《算術(shù)》一書,其作者是古希臘后期數(shù)學(xué)家一“代數(shù)學(xué)之父”丟番圖.

丟番圖是希臘數(shù)學(xué)家,他的13卷巨著《算術(shù)》在代數(shù)符號(hào)、數(shù)論、代數(shù)方程解法等方面均有重要貢獻(xiàn),其不定方程理論對(duì)后世產(chǎn)生了巨大影響,以至后人把整系數(shù)不定方程稱為“丟番圖方程”.關(guān)于丟番圖的生平,我們僅能從其墓志銘中略知梗概,這篇墓志銘本身就是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題,因?yàn)楸?世紀(jì)數(shù)學(xué)家麥特勞德爾收入一部數(shù)學(xué)問題集中,得以流傳至今:丟番圖的生平讀一讀

這是一座石墓,里面安葬著丟番圖.請(qǐng)你告訴我,丟番圖壽數(shù)幾何?他一生的六分之一是幸福的童年,十二分之一是無憂無慮的少年.再過去七分之一的年程,他建立了幸福的家庭.五年之后兒子出生,不料兒子竟先其父四年而終,只活到父親一半的年齡.晚年喪子老人真可憐,悲痛之中渡過風(fēng)燭殘年.請(qǐng)你告訴我,丟番圖壽數(shù)幾何?

解:設(shè)丟番圖去世時(shí)的年齡為x歲,由題意可列方程怎樣使這個(gè)方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式?

請(qǐng)你列出方程算一算,丟番圖去世時(shí)的年齡?

分析:

為使方程變?yōu)檎禂?shù)方程,方程兩邊應(yīng)該同乘以什么數(shù)?各分母的最小公倍數(shù)84.去分母(方程兩邊同乘各分母的最小分倍數(shù))移項(xiàng)系數(shù)化為1答:丟番圖去世時(shí)的年齡為84歲.合并同類項(xiàng)14x+7x+12x+420+42x+336=84x14x+7x+12x+42x-84x=-420-336-21x=-756x=84.解:

這件珍貴的文物是紙莎草文書,是古代埃及人用象形文字寫在一種特殊的草上的著作,至今已有3700多年的歷史了,在文書中記載了許多有關(guān)數(shù)學(xué)的問題.

問題:一個(gè)數(shù),它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起來總共是33.解:設(shè)這個(gè)數(shù)為x,可得方程:

為使方程變?yōu)檎禂?shù)方程,方程兩邊應(yīng)該同乘以什么數(shù)?各分母的最小公倍數(shù)42.解:去分母,得28x+21x+6x+42x=1386.合并同類項(xiàng),得97x=1386.系數(shù)化為1,得歸納去分母時(shí)須注意

1.確定各分母的最小公倍數(shù);2.不要漏乘沒有分母的項(xiàng);3.去掉分母后,若分子是多項(xiàng)式,要加括號(hào),視多項(xiàng)式為一整體.

解有分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程的步驟:1.去分母;2.去括號(hào);3.移項(xiàng);4.合并同類項(xiàng);5.系數(shù)化為1.主要依據(jù):等式的性質(zhì)和運(yùn)算律等.歸納以上步驟是不是一定要順序進(jìn)行,缺一不可?

(1)碧空萬里,一群大雁在飛翔,迎面又飛來一只小灰雁,它對(duì)群雁說:“你們好,百只雁!你們百雁齊飛,好氣派!可憐我是孤雁獨(dú)飛.”群雁中一只領(lǐng)頭的老雁說:“不對(duì)!小朋友,我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足100只.將我們這一群加倍,再加上半群,又加上四分之一群,最后還得請(qǐng)你也湊上,那才一共是100只呢,請(qǐng)問這群大雁有多少只?解:設(shè)這群大雁有x只,列方程解方程,得x=36提示:練一練

(2)火車用26秒的時(shí)間通過一個(gè)長256米的隧道(即從車頭進(jìn)入入口到車尾離開出口),這列火車又以16秒的時(shí)間通過了長96米的隧道,求火車的長度.解:設(shè)火車長度為x米,列方程解,得x=160答:火車的長度為160米.例4:解方程解:去分母(方程兩邊同乘12),得3(x-1)-4(2x+5)=-3×12去括號(hào),得3x-3-8x-20=-36移項(xiàng),得3x-8x=-36+3+20合并同類項(xiàng),得-5x=-13系數(shù)化為1,得解:去分母(方程兩邊同乘12),得4(-x+4)-12x+5×12=4(x-3)-3(x-1)去括號(hào),得-4x-16-12x+60=4x-12-3x+3移項(xiàng),得-4x-12x-4x+3x=-12+3+16-60合并同類項(xiàng),得-17x=-53系數(shù)化為1,得解:去分母(兩邊同乘12),得8(x-6)=3(-2x-3)-2去括號(hào),得8x-48=-6x-9-2移項(xiàng),得8x+6x=-9-2+48合并同類項(xiàng),得14x=37系數(shù)化為1,得解下列方程:練一練

例5:(1)一件工作,甲單獨(dú)做25小時(shí)完成,乙單獨(dú)做12小時(shí)完成.那么兩人合作多少小時(shí)完成?分析:本題是一個(gè)典型的工程類應(yīng)用題.甲單獨(dú)做20小時(shí)完成的工作量+乙單獨(dú)做12小時(shí)完成的工作量=完成的工作總量1解:設(shè)兩人合作x小時(shí)完成此工作,可列方程

答:兩人合作6小時(shí)完成.

去分母,得4x+6x=60合并同類項(xiàng),得x=6

(2)一件工作,甲單獨(dú)做15小時(shí)完成,乙單獨(dú)做12小時(shí)完成.甲先單獨(dú)做6小時(shí),然后乙加入合作,那么兩人合作還要多少小時(shí)完成?

分析:把總工作量看作是1.設(shè)還要x小時(shí)才能完成工作.甲的工作總量+乙的工作總量=總工作量1.答:兩人合作還要4小時(shí)完成.解:設(shè)兩人合作還需x小時(shí)完成此工作,列方程去分母,得4x+24+5x=60移項(xiàng)及合并同類項(xiàng),得9x=36系數(shù)化為1,得x=4

(3)一件工作,甲單獨(dú)做15小時(shí)完成,甲、乙合做6小時(shí)完成.甲先單獨(dú)做6小時(shí),余下的乙單獨(dú)做,那么乙還要多少小時(shí)完成?分析:把總工作量看作是1.設(shè)乙還要x小時(shí)才能完成工作.甲的工作總量+乙的工作總量=總工作量1.答:乙還要6小時(shí)完成.解:設(shè)乙還需x小時(shí)完成此工作,依題意可得:去分母,得24+(10-4)x=60去括號(hào),得24+6x=60移項(xiàng),得6x=36系數(shù)化為1,得x=6工程問題

1.工作量、工作時(shí)間、工作效率;2.這三個(gè)基本量的關(guān)系是:

工作量=工作時(shí)間×工作效率工作效率=工作量÷工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量÷工作效率

3.工作總量通??醋鲉挝弧?”歸納

小明預(yù)定搭乘家門口的公共汽車趕往火車站,去家鄉(xiāng)看望爺爺.在行駛了三分之一路程后,估計(jì)繼續(xù)乘公共汽車將會(huì)在火車開車后半小時(shí)到達(dá)火車站,便隨即下車改乘出租車,車速提高了一倍,結(jié)果趕在火車開車前15分鐘到達(dá)火車站.已知公共汽車的平均速度

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