計算機圖形學第六章

在當今的工程制造領域，計算機輔助設計/制造(CAD/CAM)占著重要的地位。曲線和曲面作為一門嶄新的數(shù)學與計算機科學相交叉的邊緣學科，近幾十年來發(fā)展迅速，其應用領域日益廣泛。本章簡單介紹一些簡單的曲線基本理論與方法，讓同學們了解了解一些曲線的構造方法。第六章自由曲線CAD/CAMDassaultSystem公司的CATIACATIA系統(tǒng)設計的輪船boeing777CAD/CAMCAD/CAMCAD/CAMCAD/CAM工程圖及其三維重建結果CAD/CAM用AutoCAD軟件制作

三維實體模型CAD/CAM用AutoCAD軟件制作三維實體模型1.概述2.Bezier曲線3.B樣條曲線第六章自由曲線6.1概述曲線的分類規(guī)則曲線

具有確定描述函數(shù)的曲線，如圓錐曲線、正弦曲線、漸開線等。擬合曲線（不規(guī)則曲線或自由曲線）

由離散的特征點(或稱為型值點)構造函數(shù)來描述的曲線稱為擬合曲線，也稱自由曲線。

這里的特征點是通過實驗、測量或計算得到的。對于同樣的特征點，由于構造函數(shù)的方法不同，因而出現(xiàn)了諸如最小二乘法擬合曲線、三次參數(shù)樣條曲線、Bézier曲線、B樣條曲線、非均勻有理B樣條(NURBS)曲線等眾多曲線。6.1概述

曲面也分為規(guī)則曲面和擬合曲面(不規(guī)則曲面)兩大類。規(guī)則曲面就是具有確定描述函數(shù)的曲面，如二次曲面(圓柱、圓錐、圓球、雙曲面、拋物面等)、螺旋面、直紋曲面、掃描曲面(旋轉掃描面即旋轉曲面、拉伸曲面)等，它們都是軌跡曲面。由離散特征點構造函數(shù)來描述的曲面稱為擬合曲面，也稱自由曲面，如Coons曲面、Bézier曲面、B樣條曲面、非均勻有理B樣條曲面等。研究分支計算幾何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest給出正式定義CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美國Utah大學的一次國際會議上提出6.1概述研究內容對幾何外形信息的計算機表示對幾何外形信息的分析與綜合對幾何外形信息的控制與顯示6.1概述對形狀數(shù)學描述的要求？從計算機對形狀處理的角度來看（1）唯一性（2）幾何不變性對在不同測量坐標系測得的同一組數(shù)據(jù)點進行擬合，用同樣的數(shù)學方法得到的擬合曲線形狀不變。6.1概述（3）易于定界（4）統(tǒng)一性：統(tǒng)一的數(shù)學表示，便于建立統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫標量函數(shù)：平面曲線y=f(x)空間曲線y=f(x)z=g(x)矢量函數(shù)：平面曲線P(t)=[x(t)y(t)]空間曲線P(t)=[x(t)y(t)z(t)]6.1概述從形狀表示與設計的角度來看（1）豐富的表達能力：表達兩類曲線曲面（2）易于實現(xiàn)光滑連接（3）形狀易于預測、控制和修改（4）幾何意義直觀，設計不必考慮其數(shù)學表達6.1概述自由曲線曲面的發(fā)展過程目標：美觀，且物理性能最佳1963年，美國波音飛機公司，F(xiàn)erguson雙三次曲面片1964~1967年，美國MIT，Coons雙三次曲面片1971年，法國雷諾汽車公司，Bezier曲線曲面1974年，美國通用汽車公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B樣條曲線曲面1975年，美國Syracuse大學，Versprille有理B樣條80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法參數(shù)曲線基礎（1/6）曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示參數(shù)曲線基礎（2/6）參數(shù)表示參數(shù)的含義時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]參數(shù)曲線基礎（3/6）參數(shù)矢量表示形式例子：直線段的參數(shù)表示參數(shù)曲線基礎（4/6）參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導數(shù)存在，并且滿足記號參數(shù)曲線基礎（5/6）幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處1階幾何連續(xù)，如果它在該處,并且切矢量方向連續(xù)記為參數(shù)曲線基礎（6/6）2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處2階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)參數(shù)表示的好處與非參數(shù)形式相比，參數(shù)形式具有以下優(yōu)點:(1)能滿足幾何不變性的要求。(2)便于進行幾何變換。(3)便于處理多值問題和垂直切線等無限大斜率問題。(4)規(guī)格化的參數(shù)變量t∈［0,1］，使其相應的幾何形體是有邊界的，而不必用另外的參數(shù)去定義其邊界。參數(shù)表示的好處(5)便于曲線、曲面的分段、分片描述。(6)提供了更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。(7)易于用向量和矩陣的表示來簡化方程，達到簡化計算的目的。所有參數(shù)插值曲線的缺點：只限于作一條點點通過給定數(shù)據(jù)點的曲線只適用于插值場合，如外形的數(shù)學放樣不適合于外形設計參數(shù)多項式曲線（1/4）為什么采用參數(shù)多項式曲線表示最簡單理論和應用最成熟定義--n次多項式曲線參數(shù)多項式曲線（2/4）矢量表示形式加權和形式缺點沒有明顯的幾何意義與曲線的關系不明確，導致曲線的形狀控制困難參數(shù)多項式曲線（3/4）矩陣表示矩陣分解幾何矩陣控制頂點基矩陣M確定了一組基函數(shù)參數(shù)多項式曲線（4/4）例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+P1幾何矩陣G基矩陣MT繪制曲線的基本方法

在平面直角坐標系內，如果一條曲線上的點都能符合某種條件，而滿足該條件的點又均位于這條曲線上，那么可以把這種對應關系寫成一個確定的函數(shù)式：這個函數(shù)式就稱為曲線的方程；同樣，該曲線即為這個方程的曲線。如圓、橢圓、雙曲線等的方程。在繪制這些曲線的時候，可以借助于各種標準工具。如畫圓可以用圓規(guī)等。但對于非圓曲線，繪制時的更一般方法是借助于曲線板。繪制曲線的基本方法先確定一些滿足條件的、位于曲線上的坐標點，然后借用曲線板把這些點分段光滑地連接成曲線。繪出的曲線的精確程度，則取決于所選擇的數(shù)據(jù)點的精度和數(shù)量，坐標點的精度高，點的數(shù)量取得多，則連成的曲線愈接近于理想曲線。其實，上面所說的方法也就是用計算機來繪制各類曲線的基本原理。由于圖形輸出設備的基本動作是顯示像素點或者是畫以步長為單位的直線段，所以，一般除了水平線和垂直線以外，其它的各種線條，包括直線和曲線，都是有很多的短直線段構成的鋸齒形線條組成的。從理論上講，絕對光滑的理想曲線是繪不出來的。繪制曲線的基本方法

這就告訴了我們一個繪制任何曲線的基本原理，就是要把曲線離散化---把它們分割成很多短直線段，用這些短直線段組成的折線來逼近曲線。至于這些短直線段取多長，則取決于圖形輸出設備的精度。在實際工程中經(jīng)常會遇到這樣的問題：由離散點來近似地決定曲線和曲面。如通過測量或實驗得到一系列有序點列，根據(jù)這些點列需構造出一條光滑曲線，以直觀地反映出實驗特性、變化規(guī)律和趨勢等。通常，幾何產(chǎn)品的幾何形狀大致可分為兩類或由這兩類組成：繪制曲線的基本方法一類由初等解析曲面，如平面、圓柱面、圓錐面、球面等組成，它們可以用畫法幾何與機械制圖完全清楚地表達和傳遞所包含的全部形狀信息。另一類由以復雜方式自由變化的曲線曲面，即所謂的自由曲線曲面組成。如飛機、汽車、船舶的外形零件等。顯然，這一類形狀單純用畫法幾何與機械制圖是不能表達清楚的。隨著計算機的普及和應用，人們發(fā)現(xiàn)可以用數(shù)學方法惟一地定義自由曲線曲面的形狀，由此導致了一門學科的誕生：計算機輔助幾何設計CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）CAGD是綜合了微分幾何、代數(shù)幾何、數(shù)值計算、逼近論、拓撲學以及數(shù)控技術等的一門邊緣性學科。依據(jù)定義形狀的幾何信息可建立相應的曲線曲面方程，即數(shù)學模型。并在計算機上通過計算和處理程序，計算出曲線曲面上大量的點及其它信息。樣條概念

在利用計算機自動繪圖之前，航空、汽車和船舶制造業(yè)中常借助于稱為樣條(spline)的工具手工繪制自由曲線。繪圖用的樣條工具是一根富有彈性的勻質細木條、金屬或有機玻璃條，可讓它按要求通過一組指定點來生成平滑曲線。繪圖時，繪圖員用壓鐵強迫彈性條通過給定的數(shù)據(jù)點。三次樣條曲線二次樣條曲線自由曲線曲面構造方法已知條件的表示方法一系列有序的離散數(shù)據(jù)點型值點控制點邊界條件連續(xù)性要求構造自由曲線曲面的方法插值、逼近是構造擬合曲線的重要方法。

插值點點通過型值點插值算法：線性插值、拋物樣條插值、Hermite插值逼近提供的是存在誤差的實驗數(shù)據(jù)最小二乘法、回歸分析提供的是構造曲線的輪廓線用的控制點Bezier曲線、B樣條曲線等

插值方法構造的插值函數(shù)的次數(shù)與插值點的個數(shù)有關,當插值點太多時,構造插值函數(shù)是相當困難的,并且,過多的插值點也會帶來一定的誤差。而逼近方法構造的多項式函數(shù)與型值點的個數(shù)無關。逼近的方法很多,最常用的有最小二乘法。擬合方法舉例：最小二乘法

在科學研究中，通過實驗或測量，可以獲得大量的實驗數(shù)據(jù)。一般在獲得數(shù)據(jù)之后，對這些數(shù)據(jù)進行某種處理，然后繪成圖形。

但由于實驗本身會受到各種具體因素的影響，使得通過實驗測得的數(shù)據(jù)或多或少地帶有誤差。也就是說，這些實驗數(shù)據(jù)本身并不準確。因此如果僅僅是簡單地將這些數(shù)據(jù)點連成曲線，那么這種看起來似乎很精確的方法恰恰不符合實際情況，也是不可取的。正確的方法應該是用一條平滑的曲線以適當?shù)姆绞絹肀M可能地靠近這些數(shù)據(jù)點，以彌補由于誤差造成的數(shù)據(jù)點的跳動。最小二乘法那么對于一系列的數(shù)據(jù)點（xi,yi）（i=1,2…n），所要繪制的曲線y=f(x)，用什么樣的標準來評價這條曲線是否處于較為合理的狀態(tài)呢？通常把數(shù)據(jù)點的坐標值與曲線上對應的坐標值之差ε作為評判的標準：εi：稱為殘差f(xi)：為理論值yi：為相應的實測值

常用的評判方法是：使殘差的平方和即達到最小。這也就是所謂的最小二乘法。最小二乘原理最小二乘原理Y=a0+a1X(式1-1)φ=∑(Yi-Y)2(式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ=∑(Yi-a0-a1Xi)2(式1-3)當∑(Yi-Y)平方最小時，可用函數(shù)φ對a0、a1求偏導數(shù)，令這兩個偏導數(shù)等于零。最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理6.2Bezier曲線1962年，法國雷諾汽車公司P.E.Bezier工程師以“逼近”為基礎UNISURF系統(tǒng)1972年雷諾汽車公司正式使用Bezier曲線（1/19）Bezier基函數(shù)--Bernstein多項式的定義三次Bézier曲線的四個混合函數(shù)

Bezier曲線（2/19）Bernstein基函數(shù)的性質正性權性對稱性降階公式升階公式Bezier曲線（3/19）導數(shù)積分最大值在t=i/n處取得最大值線性無關性是n次多項式空間的一組基Bezier曲線（4/19）Bezier曲線的定義n次多項式曲線P(t)稱為n次Bezier曲線控制頂點控制多邊形P0P1P2P3Bezier曲線（5/19）Bezier曲線的性質端點位置P0P1P2P3Bezier曲線（6/19）端點切矢量導數(shù)曲線P0P1P2P3Bezier曲線（7/19）對稱性不是形狀對稱保持貝塞爾曲線全部控制點Pi的坐標位置不變，只是將控制點Pi的排序顛倒，曲線形狀保持不變這個性質說明Bezier曲線在起點處有什么幾何性質，在終點處也有相同的性質。Bezier曲線（8/19）凸包性點集的凸包包含這些點的最小凸集Bezier曲線位于其控制頂點的凸包之內Bezier曲線（9/19）多值性P4P1P4P2P0=P5P3Bezier曲線（10/19）幾何不變性

Bezier曲線位置和形狀與其特征多邊形頂點的位置有關，它不依賴坐標系的選擇。平面曲線的變差縮減性

平面內任意直線與曲線的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù)，這一性質叫變差縮減性質。Bezier曲線（11/19）二次Bezier曲線n=2拋物線P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)Bezier曲線（12/19）三次Bezier曲線n=3P0P1P2P3P(0)P(1)Bezier曲線（13/19）三次Bezier曲線的矩陣表示Bezier曲線（14/19）遞推公式--DeCasteljau算法計算過程幾何解釋Bezier曲線（15/19）曲線的拼接Bezier曲線（16/19）零階幾何連續(xù)條件一階幾何連續(xù)條件二階幾何連續(xù)條件？三點共線，且Q1,Pm-1在連接點的異側反求控制頂點給定n+1個型值點，要求構造一條Bezier曲線通過這些點Bezier曲線（17/19）優(yōu)點：形狀控制直觀設計靈活Bezier曲線（18/19）缺點：所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠局部控制能力弱，因為曲線上任意一點都是所有給定頂點值的加權平均控制頂點數(shù)增多時，生成曲線的階數(shù)也增高控制頂點數(shù)較多時，多邊形對曲線的控制能力減弱曲線拼接需要附加條件，不太靈活Bezier曲線（19/19）B樣條曲線（1/17）產(chǎn)生：1946年，Schoenberg發(fā)表關于B樣條函數(shù)的第1篇論文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的啟發(fā)，將B樣條函數(shù)拓廣成參數(shù)形式的B樣條曲線優(yōu)于Bezier曲線之處：與控制多邊形的外形更接近局部修改能力任意形狀，包括尖點、直線的曲線易于拼接階次低，與型值點數(shù)目無關，計算簡便B樣條曲線（2/17）定義：給定m+n+1個空間向量，(k=0,1,…,m+n)，稱n次參數(shù)曲線

為n次B樣條曲線的第i段曲線（i=0,1,…,m）它的全體稱為n次B樣條曲線，它具有Cn-1連續(xù)性B樣條曲線（3/17）為簡化記號，取i=0來代表樣條中的任意一段基函數(shù)為B樣條函數(shù)

B樣條曲線（4/17）二次B樣條n=2拋物線B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)B樣條曲線（5/17）三次B樣條n=3P(t)B0B1B2B3B樣條曲線（6/17）三次B樣條的C2連續(xù)性如果增加一個控制頂點P4，則前一段曲線是否會受影響？B樣條曲線（7/17）特殊外形設計三頂點共線位于控制多邊形邊上的一個點P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)B樣條曲線（8/17）特殊外形設計四頂點共線含有直線段的曲線P0P3P1P2P(0)M1P(1)M2B樣條曲線（9/17）特殊外形設計兩頂點重合P0P2P1MP’(0)P0P2MP1P(0)P(0)B樣條曲線（10/17）特殊外形設計兩頂點重合相切于控制多邊形邊的曲線P2P5P1P0P4P3B樣條曲線（11/17）特殊外形設計三頂點重合含有尖點的曲線P2P6P1P0P4P3P5B樣條曲線（12/17）特殊外形設計如何構造通過控制多邊形某一頂點的B樣條曲線？提示：將控制多邊形的首尾兩條邊各延長1/6，將新的頂點置為二重頂點將控制多邊形的首尾兩條邊各延長1/2，利用三點共線B樣條曲線（13/17）在數(shù)據(jù)擬合中的應