山西省忻州市秀容中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

山西省忻州市秀容中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值為﹣2，則f（x）的最大值為（）A．25 B．23 C．21 D．20參考答案：A【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】先將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值，再根據(jù)條件求出a的值，最小值即可求得．【解答】解：求導函數(shù)可得f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x+1）（x﹣3）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3∵x∈[﹣2，﹣1）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調減，x∈（﹣1，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)單調增，∴函數(shù)在x=﹣1時，取得最小值，在x=﹣2或x=2時，函數(shù)取得最大值，∵f（﹣1）=﹣5+a=﹣2，∴a=3，∴f（﹣2）=2+a=5，f（2）=22+a=25，函數(shù)的最大值為25，故選：A．2.甲、乙兩名運動員在某項測試中的6次成績如莖葉圖所示，，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的標準差，則有(

)

A.

B.

C.

D.]參考答案：B略3.已知數(shù)列的前項和為，且，，可歸納猜想出的表達式為（

）A． B． C． D．參考答案：A略4.若函數(shù)f(x)＝x3＋f′(1)x2－x＋3，則f(x)在點(0，f(0))處切線的傾斜角為(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D略5.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則的值為A.

B.

C.

D.或參考答案：A6.與圓都相切的直線有A、4條

B、3條

C、2條

D、1條參考答案：D7.已知△ABC，內角A、B、C的對邊分別是，則A等于（

）

A．45°B．30°C．45°或135°

D．30°或150°參考答案：A略8.展開式中項的系數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由于，

故，則其展開式通項公式為：，令可得：r=4，則展開式中x2項的系數(shù)為：.本題選擇C選項.

9.設i為虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解．【解答】解：∵=為純虛數(shù)，∴，解得a=﹣2．故選：C．10.非空數(shù)集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*）中，所有元素的算術平均數(shù)記為E（A），即E（A）=．若非空數(shù)集B滿足下列兩個條件：①B?A；②E（B）=E（A），則稱B為A的一個“保均值子集”．據(jù)此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個參考答案：C【考點】子集與交集、并集運算的轉換；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)集合A和“保均值子集”的定義把集合的非空真子集列舉出來，即可得到個數(shù)．【解答】解：非空數(shù)集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算術平均數(shù)E（A）==3，∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7個；故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是

．參考答案：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0【考點】命題的否定．【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案為：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【點評】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關系，是基礎題．12.在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則通項公式

.參考答案：，13.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題，則x的取值范圍是．參考答案：[1，2）【考點】元素與集合關系的判斷；四種命題的真假關系．【分析】原命題是假命題可轉化成它的否命題是真命題進行求解，求出滿足條件的x即可．【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題則它的否命題為真命題即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命題所以的取值范圍是[1，2），故答案為[1，2）．14.已知集合，則

．參考答案：15.已知函數(shù)若函數(shù)處有極值10，則b的值為

。參考答案：

16.若,，且為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為

。參考答案：17.高三年級位學生參加期末考試，某班位學生的語文成績、數(shù)學成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生．從這次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是__________．②在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是__________．參考答案：乙；數(shù)學①觀察散點圖可知，甲、乙兩人中，語文成績名次比總成績名次靠前的學生是乙．②觀察散點圖，作出對角線，發(fā)現(xiàn)丙的坐標橫坐標大于縱坐標，說明數(shù)學成績的名次小于總成績名次，所以在語文和數(shù)學兩個科目中，丙的成績名次靠前的科目是數(shù)學．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.（1）寫出a1,a2,a3,并推測an的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明所得的結論.參考答案：(1)a1＝,a2＝,a3＝,

猜測an＝2－

(2)①由（1）已得當n＝1時，命題成立；

②假設n＝k時,命題成立，即ak＝2－,

當n＝k＋1時,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2＋2－,

ak＋1＝2－,

即當n＝k＋1時,命題成立.根據(jù)①②得n∈N+,an＝2－都成立。19.已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．（1）求橢圓C的方程；（2）過點S（，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）先設處橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求的a和c的關系，進而根據(jù)拋物線的焦點求得c，進而求得a，則b可得，進而求的橢圓的標準方程．（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）2+y2=．聯(lián)立兩個圓的方程求得其交點的坐標，推斷兩圓相切，進而可判斷因此所求的點T如果存在，只能是這個切點．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達式，代入?的表達式中，求得?=0，進而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點為（0，1），所以，橢圓C的方程是x2+=1（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）2+y2=．由解得即兩圓相切于點（1，0）．因此所求的點T如果存在，只能是（1，0）．事實上，點T（1，0）就是所求的點．證明如下：當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（1，0）．若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k（x+）．由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．記點A（x1，y1），B（x2，y2），則又因為=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．所以在坐標平面上存在一個定點T（1，0）滿足條件20.（1）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2.求雙曲線C的方程。（2）設拋物線y2＝mx(m≠0)的準線與直線x＝－1的距離為2，求拋物線的方程．參考答案：（1）－y2＝1.（2）當m＞0時，準線方程為x＝－＝－3，∴m＝12.

此時拋物線方程為y2＝12x.當m＜0時，準線方程為x＝－＝1，∴m＝－4.此時拋物線方程為y2＝－4x.答案：y2＝12x或y2＝－4x

∴所求的拋物線方程為y2＝12x或y2＝－4x.

略21.(8分)已知圓C同時滿足下列三個條件：①與y軸相切;②在直線y=x上截得弦長為2;③圓心在直線x－3y=0上.求圓C的方程.參考答案：設所求的圓C與y軸相切，又與直線交于AB，∵圓心C在直線上，∴圓心C（3a，a），又圓與y軸相切，∴R