山西省忻州市南西力學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省忻州市南西力學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結(jié)果為0，那么輸入的x為（

）A．

B．－1或1

C．1

D．－1參考答案：D2.“”是“”的（

）A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略3.若，則“成立”是“成立”的

（

）（A）充分非必要條件

（B）必要非充分條件（C）充要條件

（D）既非充分又非必要條件參考答案：C4.曲線在點(diǎn)處的切線為．若直線與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，則△OAB的周長的最小值為

A.

B.

C.2

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；基本不等式求最值.

B11

E6A

解析：∵，∴即，可得A(,0)，B(0,)，∴△OAB的周長，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選A.【思路點(diǎn)撥】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的方程，從而求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而用表示△OAB的周長，再用基本不等式求得周長的最小值.

5.已知函數(shù)的圖象如圖①所示，則圖②是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象c

A．

B.

C.

D.參考答案：C略6.某程序框圖如圖所示,若輸出的S=120,則判斷框內(nèi)應(yīng)為

A.

B.

C.

D.參考答案：B7.已知z=m﹣1+（m+2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣2，1）．故選：B8.設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（

）(A) (B) (C) (D)參考答案：B9.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是A． B．C．D．參考答案：D10.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：B【分析】令，得或，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點(diǎn).【詳解】由，得或，，．在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直線l2：2x+（5+a）y=8平行，則a=．參考答案：﹣7【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．進(jìn)而可求出a的值．【解答】解：直線l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直線l2：2x+（5+a）y=8平行，則（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案為：﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線平行的條件，其中5﹣3a≠8是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．屬于基礎(chǔ)題．12.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果S=

▲

．參考答案：略13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m>0，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱為F函數(shù)．給出下列函數(shù)： ①；②；③；④； ⑤是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x1、x2均有．其中是F函數(shù)的序號(hào)為.參考答案：①④⑤略14.在鈍角△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，b=1，c=，∠B=30°，則△ABC的面積等于___________．參考答案：略15.若，.則.參考答案：略16.一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________．參考答案：由題意知，解得。所以這組數(shù)據(jù)的方差為。17.函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：（1）在上是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為函數(shù)的“完美區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“完美區(qū)間”的是________（只需填符合題意的函數(shù)序號(hào)）.①；

②；

③；

④.參考答案：①④考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.題目首先需對(duì)給定的新定義進(jìn)行讀取與理解，從題給定義尋找問題的突破口：①函數(shù)在區(qū)間單調(diào)；②函數(shù)滿足，且方程的根必須有兩根，其中小根為，大根為.由此，可得可對(duì)各函數(shù)解析式進(jìn)行一一的驗(yàn)證，并假設(shè)存在“完美區(qū)間”，通過方程根的情況進(jìn)行判斷，最后檢驗(yàn)函數(shù)的單調(diào)性.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知（Ⅰ）若，求使函數(shù)為偶函數(shù)。（Ⅱ）在（I）成立的條件下，求滿足＝1，∈[－π，π]的的集合。參考答案：(1)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)要使f(x)為偶函數(shù)，則必有f(－x)＝f(x)∴2sin(－2x＋θ＋)＝2sin(2x＋θ＋)∴2sin2xcos(θ＋)＝0對(duì)x∈R恒成立∴cos(θ＋)＝0又0≤θ≤π

θ＝

(2)當(dāng)θ＝時(shí)f(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x＝1∴cos2x＝∵x∈[－π，π]

∴略19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=8，證明：直線AB過定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件知b=2，，由此能夠求出橢圓方程．（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С鲋本€AB過定點(diǎn)（﹣，﹣2）．若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x0，由題設(shè)條件能夠?qū)С鲋本€AB過定點(diǎn)（﹣，﹣2）．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形，∴b=2，，所求橢圓方程為．…（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…則，．∵，∴，即2k+（m﹣2）?=8．…所以k=﹣，整理得m=．故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直線AB過定點(diǎn)（﹣，﹣2）．…若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x0，設(shè)A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此時(shí)AB方程為x=﹣，顯然過點(diǎn)（﹣，﹣2）．綜上，直線AB過定點(diǎn)（﹣，﹣2）．…20.已知函數(shù)()，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式：；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，過點(diǎn)是否存在函數(shù)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，對(duì)任意，試比較與的大小(常數(shù)).參考答案：(I)當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解集為.

3分(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)，∴切線方程：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，即，

①法1：設(shè)，則．………………6分，在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故．又，注意到在其定義域上的單調(diào)性知僅在內(nèi)有且僅有一根方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．8分.法2：令()，考查，則，從而在增，減，增.故，，而，故在上有唯一解.從而有唯一解，即切線唯一.法3：，；當(dāng)；所以在單調(diào)遞增。又因?yàn)?，所以方程有必有一解，所以這樣的切線存在，且只有一條。(Ⅲ)對(duì)恒成立，所以，令，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，.

10分得，.

令，，注意到，即，所以，

=.

14分21.設(shè)函數(shù)．（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試用a表示b，并求函數(shù)的減區(qū)間；（2）若，，證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，；（2）見解析．（1）由，有，得．此時(shí)有．由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可知，得．①當(dāng)，即時(shí)，令，得或，函數(shù)的減區(qū)間為，．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，．（2）由題意有，要證，只要證：令有．則函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則．故不等式成立．22.過拋物線y2=2px（p為不等于2的素?cái)?shù)）的焦點(diǎn)F，作與x軸不垂直的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交MN于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q．（1）求PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程；（2）證明：軌跡L上有無窮多個(gè)整點(diǎn)，但L上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】J3：軌跡方程．【分析】（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由題意設(shè)出直線l的方程為y=k（x﹣）（k≠0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合PQ⊥l，求得PQ的方程，再設(shè)R的坐標(biāo)為（x，y），再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程；（2）直接得到對(duì)任意非零整數(shù)t，點(diǎn)（p（4t2+1），pt）都是l上的整點(diǎn)，說明l上有無窮多個(gè)整點(diǎn)．再反設(shè)l上由一個(gè)整點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離為正數(shù)m，不妨設(shè)x＞0，y＞0，m＞0，然后結(jié)合p是奇素?cái)?shù)、點(diǎn)在拋物線上及整點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離為正數(shù)m，逐漸推出矛盾，說明l上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù)．【解答】（1）解：y2=2px的焦點(diǎn)F（），設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣）（k≠0），由，得，設(shè)M，N的橫坐標(biāo)為x1，x2，則，得，，由PQ⊥l，得PQ的斜率為﹣，故PQ的方程為，代入yQ=0，得，設(shè)R的坐標(biāo)為（x，y），則，整理得：p（x﹣p）=，∴PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程為4y2=p（x﹣p）（y≠0）；（2）證明：顯然對(duì)任意非零整數(shù)t，點(diǎn)（p（4t2+1），pt）都是l上的整點(diǎn)，故l上有無窮多