模糊推理課件

模糊推理系統(tǒng)模糊邏輯

模糊命題

模糊推理規(guī)則

模糊推理系統(tǒng)

模糊邏輯語言是一種符號系統(tǒng)，通常包括自然語言和人工語言兩種。自然語言是指人類交流信息時使用的語言，它可以表示主、客觀世界的各種事物、觀念、行為、情感等。自然語言具有相當(dāng)?shù)牟淮_定性，其主要特征就是模糊性，這種模糊性主要是由于自然語言中經(jīng)常用到大量的模糊詞(如黎明、模范、優(yōu)美、擁護(hù)等)。人工語言主要是指程序設(shè)計(jì)語言，如我們熟悉的C語言、匯編語言等。人工語言的格式是非常嚴(yán)密、且概念十分清晰。模糊邏輯一切具有模糊性的語言都稱為模糊語言，它是一種廣泛使用的自然語言，如何將模糊語言表達(dá)出來，使計(jì)算機(jī)能夠模擬人的思維去推理和判斷，這就引出了語言變量這一概念。語言變量是以自然語言中的詞、詞組或句子作為變量。語言變量的值稱為語言值，一般也是由自然語言中的詞、詞組或句子構(gòu)成。語言變量的語言值通常用模糊集合來描述，該模糊集合對應(yīng)的數(shù)值變量稱作基礎(chǔ)變量。模糊邏輯一個完整的語言變量可定義為一個五元體（X,T(X),U,G,M)其中X——語言變量的名稱；T(X)——語言變量的語言值；

U

——論域；

G

——語法規(guī)則；

M

——語義規(guī)則。實(shí)例

以“年齡”作為語言變量X，該語言變量的論域U取[0,∞)。根據(jù)語法規(guī)則可知，描述語言變量“年齡”的語言值有“年青”、“中年”、“年老”幾種，那么T(X)可表示為T(X)＝年青＋中年＋年老語義規(guī)則主要是用來反映實(shí)際論域中的歲數(shù)與模糊集合“年青”、“中年”、“年老”之間的關(guān)系。模糊語言變量的完整描述見后圖“年齡”語言變量的五元體“年齡”語言變量的五元體

模糊邏輯

數(shù)理邏輯是建立在經(jīng)典集合論上的研究概念、判斷和推理形式的一門學(xué)科，又稱為經(jīng)典邏輯。其最大的特點(diǎn)是所反映的內(nèi)容非真即假，在客觀世界中這樣的命題不勝枚舉。比如：◆北京是中華人民共和國的首都◆石頭可以當(dāng)飯吃但是，還有一類命題很難做出這樣明確的判斷。比如：◆機(jī)動車比自行車的速度更快◆南方的天氣很熱

對于這樣的模糊性命題，經(jīng)典邏輯往往不能給出符合實(shí)際情況的結(jié)果。模糊邏輯是二值邏輯的推廣，可以在[0,1]區(qū)間上任意取值。模糊邏輯運(yùn)算規(guī)則也是以經(jīng)典邏輯運(yùn)算規(guī)則為基礎(chǔ)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展而形成的。布爾代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)若存在a,b,c∈{0,1}，在布爾代數(shù)中則有以下性質(zhì)(1)冪等律

a∧a=aa∨a=a(2)交換律a∧b=b∧aa∨b=b∨a(3)結(jié)合律（a∨b）∨c=a∨(b∨c)

（a∧b）∧c=a∧(b∧c)(4)吸收律（a∨b）∧b=b（a∧b）∨b=b(5)分配律

(6)復(fù)原律

(7)補(bǔ)余律

（模糊邏輯運(yùn)算不符合）(8)av1=1av0=aa∧1=aa∧0=0

模糊邏輯對應(yīng)于模糊集合論，模糊邏輯運(yùn)算除了不滿足布爾代數(shù)里的補(bǔ)余律外，布爾代數(shù)的其它運(yùn)算性質(zhì)它都適用。除此之外，模糊邏輯運(yùn)算滿足De-Morgan代數(shù)，即

對于補(bǔ)余運(yùn)算，De-Morgan代數(shù)中是這樣定義的：

模糊命題

模糊命題是指帶有模糊性的陳述句。

模糊命題的真值不是絕對的“真”或“假”，而

反映其隸屬于“真”的程度。模糊邏輯是表征模糊命題的工具，是研究模糊推理最基本的數(shù)學(xué)手段。模糊命題可以分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種，通常用大寫字母表示，如：P~：金屬物體的導(dǎo)電性能好；Q~：100比1大得多。

模糊命題從構(gòu)成上劃分，又可分為簡單模糊命題和復(fù)合模糊命題兩種。簡單模糊命題的一般形式為:其中元素x∈X，X是論域；A~是某個模糊概念所對應(yīng)的模糊集合.模糊命題的真值，由元素x對模糊集合A~的隸屬程度表示。在模糊命題中，“is”稱作模糊謂詞。簡單模糊命題通過連接詞“且”、“或”、“非”等連接起來，就構(gòu)成了復(fù)合模糊命題。復(fù)合模糊命題一般形式如下：由于模糊命題間的“且”、“或”、“非”實(shí)質(zhì)上可以通過模糊邏輯“交”、“并”、“補(bǔ)”實(shí)現(xiàn)。因此，對于復(fù)合模糊命題的真值，需要通過模糊合成運(yùn)算來求取。模糊命題之間的“并”、“交”、“補(bǔ)”基本運(yùn)算的定義：模糊推理

推理是根據(jù)一定的規(guī)則，從一個或幾個已知判斷引伸出一個新判斷的思維過程?！阏f來，推理都包含兩個部分的判斷，一部分是已知的判斷，作為推理的出發(fā)點(diǎn)，叫做前提(或前件)。由前提所推出的新判斷，叫做結(jié)論(或后件)。

推理的形式主要有直接推理和間接推理。只有一個前提的推理稱為直接推理，由兩個或兩個以上前提的推理稱為間接推理。間接推理又可分為演繹推理、歸納推理和類比推理等，其中演繹推理是生活中最常用的推理方法，它的前提與結(jié)論之間存在著確定的蘊(yùn)涵關(guān)系。模糊推理又稱模糊邏輯推理，是指在確定的模糊規(guī)則下，由已知的模糊命題推出新的模糊命題作為結(jié)論的過程。模糊推理是一種近似推理，主要有以下兩種形式：(1)已知模糊蘊(yùn)涵關(guān)系“若x是A,則y是B”，其中A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集，模糊蘊(yùn)涵關(guān)系往往是大量的實(shí)驗(yàn)觀測和經(jīng)驗(yàn)的概括。在模糊推理過程中，認(rèn)為該蘊(yùn)涵關(guān)系提供的信息是可靠的，它是近似推理的出發(fā)點(diǎn)。又知X上的一個模糊集A*，它可能與A相近，也可能與A相去甚遠(yuǎn)，那么從模糊蘊(yùn)涵關(guān)系能推斷出什么結(jié)論B*?(2)已知模糊蘊(yùn)涵關(guān)系“若x是A,則y是B”，其中A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集，又知Y上的模糊集B*，那么從模糊蘊(yùn)涵關(guān)系能推斷出什么結(jié)論A*?模糊推理規(guī)則模糊規(guī)則也稱模糊條件語句，其表達(dá)式為：

ifxisA,thenyisB

其中A和B分別是論域上的模糊集合定義的語言值。含有多個前提條件的稱為多維模糊規(guī)則。1、近似推理2、模糊條件推理3、多輸入模糊推理4、多輸入多規(guī)則推理前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果x是,結(jié)論：y是第一步：求的關(guān)系矩陣第二步：求y即：利用關(guān)系矩陣可以得到近似推理的隸屬度函數(shù)為：模糊關(guān)系矩陣元素的計(jì)算方法：瑪達(dá)尼(Mamdani)法其隸屬度函數(shù)為：例：設(shè)論域,上的模糊子集“大”、“小”、“較小”分別定義為：“大”“小”“較小”已知規(guī)則：若x小，則y大問題：當(dāng)x較小時，y應(yīng)是多少？

解：已知模糊子集“大”、“小”、“較小”的隸屬度函數(shù)分別為：由瑪達(dá)尼(Mamdani)推理法,可以得到由“小”到“大”的模糊關(guān)系矩陣：于是，當(dāng)x”較小“時的推理結(jié)果即：1、近似推理2、模糊條件推理3、多輸入模糊推理4、多輸入多規(guī)則推理語言規(guī)則：如果x是A,則y是B,否則y是C。其邏輯表達(dá)式為：那么，x與y的模糊關(guān)系矩陣就是直積的子集，表示為：其隸屬度函數(shù)寫作：于是，當(dāng)輸入為時，根據(jù)模糊推理合成規(guī)則，得到模糊推理輸出：例：對于一個系統(tǒng)，當(dāng)輸入A時，輸出為B，否則為C，且有已知當(dāng)前輸入。求輸出B'。首先求系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣由瑪達(dá)尼(Mamdani)法得則模糊關(guān)系矩陣于是，當(dāng)輸入為時，輸出即：1、近似推理2、模糊條件推理3、多輸入模糊推理4、多輸入多規(guī)則推理多輸入模糊推理常應(yīng)用于多輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，這種規(guī)則的一般形式為：前提1：如果A且B，那么C

前提2：現(xiàn)在是且結(jié)論：隸屬度函數(shù)“如果A且B，那么C”的隸屬度函數(shù)表達(dá)式就是：其模糊關(guān)系矩陣，矩陣的計(jì)算就變成：于是，規(guī)則的推理結(jié)果為：其隸屬度函數(shù)為：

其中，

分別是指模糊集合與、與交集的高度。

AA'BB'CC'該方法叫做“瑪達(dá)尼推理消頂法”，它的意義就是：分別求出對、對的隸屬度，并且取兩者之中小的一個作為總的模糊推理前件的隸屬度，再以此為基準(zhǔn)去切割推理后件的隸屬度函數(shù)，便得到結(jié)論。

對于論域是有限集，即模糊子集的隸屬度函數(shù)是離散的情況，多輸入模糊推理過程仍然用模糊關(guān)系矩陣的運(yùn)算來描述。推理規(guī)則：如果A且B，那么C求：當(dāng)和時，輸出是多少？解：Step1:先求，令得矩陣為Step2:將D寫成列矢量DT,即

Step3:求出關(guān)系矩陣Step4:由求出Step5:同step2,將寫成列矢量Step6:最后求出模糊推理輸出量1、近似推理2、模糊條件推理3、多輸入模糊推理4、多輸入多規(guī)則推理IFA1andB1THENC1IFA2andB2THENC2IFAmandBmTHENCm一系列模糊控制規(guī)則構(gòu)成一個完整的模糊控制系統(tǒng)，它的推理運(yùn)算就采用多輸入多規(guī)則推理方法。以二輸入多規(guī)則為例，考慮如下一般形式：如果A1且B1，那么C1否則如果A2且B2，那么C2否則如果An且Bn，那么Cn.已知：

且，那么這里，、、分別是不同論域上的模糊集合。利用瑪達(dá)尼推理方法，規(guī)則“如果且，那么”的模糊關(guān)系可以表示為：系列規(guī)則中，“否則”的含義是“OR”，在推理計(jì)算過程中可以寫成并集形式。由此，整個系列的推理結(jié)果為：模糊關(guān)系第一條條件規(guī)則其中，其隸屬度函數(shù)為：例：二輸入多規(guī)則的推理方法A1A1”B1B1”C1C1”A2A2”B2B2”C2C2”C1”C2”

推理過程的意義：從不同的規(guī)則得到不同的結(jié)論。從幾何意義上講就是分別在不同規(guī)則中用各自推理前件的總隸屬度去切割推理規(guī)則后件的隸屬度函數(shù)以得到輸出結(jié)果。

模糊推理系統(tǒng)系統(tǒng)是指兩個或兩個以上彼此相互作用的對象所構(gòu)成的具有某種功能的集體。模糊推理系統(tǒng)又稱為模糊系統(tǒng)，是以模糊集合理論和模糊推理方法等為基礎(chǔ)，具有處理模糊信息能力的系統(tǒng)。模糊推理系統(tǒng)以模糊邏輯理論為主要計(jì)算工具，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的非線性映射關(guān)系，而且其輸入輸出都是精確的數(shù)值，因此已被廣泛應(yīng)用。

1模糊推理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)一、模糊推理系統(tǒng)的組成模糊推理是一種基于行為的仿生推理方法，主要用來解決帶有模糊現(xiàn)象的復(fù)雜推理問題。由于模糊現(xiàn)象普遍存在，因此，模糊推理系統(tǒng)被廣泛使用。從功能上來看，模糊推理系統(tǒng)主要由模糊化、模糊規(guī)則庫、模糊推理方法及去模糊化幾部分組成，其基本結(jié)構(gòu)如圖二、模糊推理系統(tǒng)的工作過程

為了滿足實(shí)際需要，模糊系統(tǒng)的輸入輸出必須是精確數(shù)值。模糊推理系統(tǒng)的工作機(jī)理是：首先通過模糊化模塊將輸入的精確量進(jìn)行模糊化處理，轉(zhuǎn)換成給定論域上的模糊集合；然后激活規(guī)則庫中對應(yīng)的模糊規(guī)則，并且選用適當(dāng)?shù)哪：评矸椒?，根?jù)已知模糊事實(shí)獲得推理結(jié)果，最后將該模糊結(jié)果進(jìn)行去模糊化處理，得到最終的精確輸出量。

2模糊化(Fuzzification)精確值進(jìn)入模糊推理系統(tǒng)時，一般要將其模糊化成給定論域上的模糊集合。模糊化的實(shí)質(zhì)是將給定輸入轉(zhuǎn)換成模糊集合。模糊化有三原則：①在精確值處模糊集合的隸屬度最大；②當(dāng)輸入有干擾時，模糊化結(jié)果具有一定的抗干擾能力；③模糊化運(yùn)算應(yīng)盡可能簡單。下面介紹三種常用的模糊化方法。一、模糊單值法

模糊單值法是將精確值轉(zhuǎn)化為模糊單值，這種模糊化方法只是形式上將精確值轉(zhuǎn)化成模糊量，實(shí)質(zhì)上仍然是精確量。

設(shè)為實(shí)測的精確值，為轉(zhuǎn)換后的模糊集合，則有

(3.3.1)模糊單值法優(yōu)點(diǎn)：易于實(shí)現(xiàn)模糊化運(yùn)算，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)準(zhǔn)確時，模糊化性能良好，是一種常用的模糊化方法。

模糊單值法不足：由于舍棄了所有處的隸屬度，因此，輸入數(shù)據(jù)抗干擾性較差。

二、三角隸屬函數(shù)法

如果輸入數(shù)據(jù)干擾嚴(yán)重，那么用模糊單值法進(jìn)行模糊化處理將會產(chǎn)生很大的誤差。對于這種情況，常常采用三角形隸屬函數(shù)法進(jìn)行模糊化處理。其模糊化運(yùn)算比較簡單，模糊化結(jié)果具有一定的魯棒性，是一種常用模糊化方法。設(shè)為精確值，為轉(zhuǎn)換后的模糊集合，三角隸屬函數(shù)法為

(3.3.2)其中：當(dāng)給定精確值為時，采用三角形隸屬函數(shù)法得到的模糊集合如圖所示?？梢钥闯觯孩佼?dāng)時，三角形隸屬函數(shù)模糊集合就變成了模糊單值。②越大，的變化對的影響越小。即當(dāng)足夠大時，該方法具有足夠強(qiáng)的抗擾能力。三、高斯隸屬函數(shù)法

高斯隸屬函數(shù)法模糊化運(yùn)算較前兩種去模糊方法復(fù)雜，但具有良好的抗干擾能力，且模糊化結(jié)果更接近于人的認(rèn)知特點(diǎn)。

設(shè)為精確值，為轉(zhuǎn)換后的模糊集合，高斯隸屬函數(shù)法為

(3.3.3)其中：參數(shù)決定了高斯函數(shù)的陡度。3模糊規(guī)則庫模糊規(guī)則庫是由模糊推理系統(tǒng)中的全部模糊規(guī)則組成，是模糊推理系統(tǒng)的核心部分。從某種意義上講，模糊推理系統(tǒng)的其它部分都是為了有效地執(zhí)行這些規(guī)則而存在。一、模糊規(guī)則的基本形式(省)

二、模糊規(guī)則庫的基本性質(zhì)

(1)完備性

規(guī)則完備性是指對于給定論域X

上的任意x

，在模糊規(guī)則庫中至少存在一條模糊規(guī)則與之對應(yīng)。也就是說：輸入空間中的任意值都至少存在一條可利用的模糊規(guī)則。這是模糊推理系統(tǒng)能正常工作的必要條件。(2)交叉性

為了保證模糊推理系統(tǒng)的輸入輸出行為連續(xù)、平滑，一般要求相鄰的模糊規(guī)則之間有一定的交叉性。模糊規(guī)則的交叉性也反映出概念類屬的不明確性，通過模糊規(guī)則的交叉設(shè)計(jì)，可以提高推理系統(tǒng)的抗干擾性。

(3)一致性

如果兩條模糊規(guī)則的條件部分相同，但結(jié)論部分相差很大，則稱這兩條規(guī)則相互矛盾。一致性是指模糊推理系統(tǒng)的規(guī)則庫中不能存在相互矛盾的模糊規(guī)則。4去模糊化(Defuzzification)

去模糊化又稱為清晰化，其任務(wù)是確定一個最能代表模糊集合的精確值，它是模糊推理系統(tǒng)必不可少的環(huán)節(jié)。不過，由于模糊性的存在，獲得的代表模糊集合的清晰值可能有所不同，也就是說去模糊化方法并不唯一。但確定去模糊化方法時，一定要考慮到以下準(zhǔn)則：①有效性。所得到的精確值能夠直觀地表達(dá)該模糊集合；②簡便性。去模糊化運(yùn)算要足夠簡單，保證模糊推理系統(tǒng)實(shí)時使用；③魯棒性。模糊集合的微小變化不會使精確值發(fā)生大幅變化。下面介紹幾種在實(shí)際中經(jīng)常用到的清晰化方法。

一、最大隸屬度法

最大隸屬度法是指選取模糊集合覆蓋的論域中，對應(yīng)隸屬度最大的元素作為該模糊集合的精確值。如果給定模糊集合，則精確值應(yīng)滿足。見圖

最大隸屬度法的優(yōu)點(diǎn)是去模糊運(yùn)算特別簡單最大隸屬度法的缺點(diǎn)是精確值包含的信息量較少。這種方法完全排除了其它一切元素對精確值的影響，其結(jié)果是對兩個差異很大的模糊集合，可能獲得同樣的精確結(jié)果（見上圖）。為了保證清晰化后的精確值是唯一的，一般要求給定的模糊集合是正態(tài)凸模糊集合。對于離散論域上的模糊集合，直接取對應(yīng)于隸屬度最大的基礎(chǔ)變量作為清晰值即可。

例給定模糊集合試用最大隸屬度法求其清晰值。解：按最大隸屬度的原則清晰化，清晰值為顯然，對于隸屬函數(shù)只有唯一最大值的模糊集合，最大隸屬度去模糊化方法是適用的。但模糊推理系統(tǒng)的實(shí)際推理結(jié)果，其最大隸屬度對應(yīng)的基礎(chǔ)變量可能并不唯一，甚至有無窮多個基礎(chǔ)變量與之對應(yīng)。比如采用Mamdani方法進(jìn)行推理得到的結(jié)果，其清晰值往往是不唯一的，如圖。對于這種情況，可以采用以下三種方法清晰化處理：

其中inf為取最小值運(yùn)算。⑴左取大法取模糊集合隸屬函數(shù)左邊達(dá)到最大值時所對應(yīng)的基礎(chǔ)變量值作為清晰值的方法。即(3.3.7)其中sup為取最大值運(yùn)算。⑵右取大法取模糊集合隸屬函數(shù)右邊達(dá)到最大值時所對應(yīng)的基礎(chǔ)變量值作為清晰值的方法。即(3.3.8)⑶最大平均法取最大隸屬度對應(yīng)的所有基礎(chǔ)變量的平均值作為該模糊集合的精確值。對于下圖，有由上圖可以看出，雖然模糊推理結(jié)果由和兩個模糊集合構(gòu)成，但只要采用最大隸屬度法(包括左取大、右取大和最大平均法)去模糊化，模糊集合對最終獲得的精確值沒有任何貢獻(xiàn)。說明最大隸屬度法對模糊信息的丟失十分嚴(yán)重。二、重心法

重心法是指取模糊集合隸屬函數(shù)曲線同基礎(chǔ)變量軸所圍面積的重心對應(yīng)的元素作為清晰值的方法，也是一種常用的去模糊化方法。在連續(xù)論域上，重心法的計(jì)算公式為：其中，為清晰化量，，為模糊集隸屬函數(shù)。

下圖給出了在連續(xù)論域上，用重心法去模糊化的計(jì)算結(jié)果。

在離散論域上，重心法的計(jì)算公式為其中N

為論域中的元素個數(shù)，是指論域中的第i個單點(diǎn)模糊值，為對應(yīng)的隸屬度。重心去模糊化方法的優(yōu)點(diǎn)是充分利用了推理結(jié)果中的所有模糊信息，得到的清晰值具有很好的魯棒性。缺點(diǎn)是計(jì)算要求比較高。特別是當(dāng)推理得到的隸屬函數(shù)不規(guī)則時，對其進(jìn)行積分是一件困難的事情。

三、中心平均法

模糊推理的結(jié)果往往是多個模糊集合的并或交，其隸屬函數(shù)的表達(dá)形式比較復(fù)雜。最大隸屬度法雖然計(jì)算簡單，但丟失的模糊信息