高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 第三章空間向量與立體幾何

第三章空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量的線性運(yùn)算學(xué)案編號(hào)：GEXX2-1T3-1【學(xué)習(xí)要求】1．理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示．2．掌握空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律,能借助圖形理解空間向量及其運(yùn)算的意義,掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律．【學(xué)法指導(dǎo)】把平面向量的有關(guān)概念和運(yùn)算推廣到空間，空間向量的概念運(yùn)算與平面向量類似，學(xué)習(xí)中要結(jié)合直觀圖形，培養(yǎng)空間想象能力.1．空間向量的概念2．空間向量的運(yùn)算法則如圖已知兩個(gè)不平行的向量a，b，作向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b.這時(shí)，O，A，B三點(diǎn)不共線，于是這三點(diǎn)確定一個(gè)平面．有以下結(jié)論：(1)a＋b＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝________；(2)a－b＝a＋(－b)＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＝_______________；(3)當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝eq\o(QP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝eq\o(MN,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→)).所以，平面向量求和的__________法則和______________法則，對(duì)空間向量同樣成立．3．空間向量的運(yùn)算律(1)加法交換律：________________；(2)加法結(jié)合律：________________________；(3)分配律：___________________，____________________.探究點(diǎn)一空間向量的概念問(wèn)題1觀察正方體中過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所表示的三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))，它們和以前所學(xué)的向量有什么不同？問(wèn)題2向量可以用有向線段表示，是否可以說(shuō)向量就是有向線段？問(wèn)題3若a∥b，b∥c，則a∥c，這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？例1給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量a，b，滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD—A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(A1C1,\s\up14(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4跟蹤訓(xùn)練1下列說(shuō)法中正確的是 ()A．若|a|＝|b|，則a、b的長(zhǎng)度相同方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))探究點(diǎn)二空間向量的加減運(yùn)算問(wèn)題1怎樣計(jì)算空間兩個(gè)向量的和與差？問(wèn)題2使用三角形法則和平行四邊形法則有哪些要求？例2如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋B′C′.跟蹤訓(xùn)練2化簡(jiǎn)：(1)(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→)))；(2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))．探究點(diǎn)三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算問(wèn)題思考實(shí)數(shù)λ和空間向量a的乘積λa的意義？例3設(shè)A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))．跟蹤3如圖空間四邊形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)．證明：eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．已知空間四邊形ABCD，連接AC、BD，則eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))為()A.eq\o(AD,\s\up14(→)) B.eq\o(BD,\s\up14(→)) C.eq\o(AC,\s\up14(→)) D．02.已知正方體ABCD—A1B1C1D1的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的共有 (①eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))與eq\o(OB1,\s\up14(→))＋eq\o(OC1,\s\up14(→))是一對(duì)相反向量；②eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))與eq\o(OA1,\s\up14(→))－eq\o(OD1,\s\up14(→))是一對(duì)相反向量；③eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))與eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OB1,\s\up14(→))＋eq\o(OC1,\s\up14(→))＋eq\o(OD1,\s\up14(→))是一對(duì)相反向量；④eq\o(OA1,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))與eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OC1,\s\up14(→))是一對(duì)相反向量．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，與向量eq\o(AD,\s\up14(→))相等的向量共有________個(gè)．4.eq\f(1,2)(2a－2b＋c)－eq\f(1,3)(a＋3b－c)＝____________.5．已知點(diǎn)O是平行六面體ABCD—A1B1C1D1對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P證明：eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＋eq\o(PD,\s\up14(→))＋eq\o(PA1,\s\up14(→))＋eq\o(PB1,\s\up14(→))＋eq\o(PC1,\s\up14(→))＋eq\o(PD1,\s\up14(→))＝8eq\o(PO,\s\up14(→)).【課堂小結(jié)】1．空間向量的概念和平面向量類似，向量的模，零向量，單位向量，相等向量等都可以結(jié)合平面向量理解．2．向量可以平移，任意兩個(gè)向量都是共面向量．因此空間兩個(gè)向量的加減法運(yùn)算和平面向量完全相同，利用平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行．3．空間加法和數(shù)乘運(yùn)算和平面向量一樣，滿足交換律、結(jié)合律、分配律．第三章空間向量與立體幾何§空間向量及其運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．下列說(shuō)法正確的是 ()A．在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線B．在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線C．在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線D．在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線2．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．空間四邊形 B．平行四邊形C．等腰梯形 D．矩形3．已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AM、AG、MG，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于 ()\o(AG,\s\up6(→)) \o(CG,\s\up6(→)) \o(BC,\s\up6(→)) \f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))4．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，給出以下向量表達(dá)式：①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).其中能夠化簡(jiǎn)為向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是 ()A．①②B．②③C．③④D．①④5．如圖，空間四邊形OABC，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N是BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c6．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則 ()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 \o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向7．化簡(jiǎn)：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.8．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up6(→))＝____________.9.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，則x＝________.二、能力提升10.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.試用a，b，c表示eq\o(AE,\s\up6(→)).11．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，O1為A1B1C1D化簡(jiǎn)：eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→)))．12.如圖所示，在長(zhǎng)、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1的長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1且以八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，(1)單位向量共