高中數(shù)學人教A版1第三章空間向量與立體幾何 第三章空間向量與立體幾何

第三章空間向量與立體幾何空間向量及其運算3.1.1空間向量的線性運算學案編號：GEXX2-1T3-1【學習要求】1．理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示．2．掌握空間向量的加減運算及其運算律,能借助圖形理解空間向量及其運算的意義,掌握空間向量數(shù)乘運算的定義和運算律．【學法指導】把平面向量的有關概念和運算推廣到空間，空間向量的概念運算與平面向量類似，學習中要結合直觀圖形，培養(yǎng)空間想象能力.1．空間向量的概念2．空間向量的運算法則如圖已知兩個不平行的向量a，b，作向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b.這時，O，A，B三點不共線，于是這三點確定一個平面．有以下結論：(1)a＋b＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝________；(2)a－b＝a＋(－b)＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＝_______________；(3)當λ>0時，λa＝eq\o(QP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))；當λ＝0時，λa＝0；當λ<0時，λa＝eq\o(MN,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→)).所以，平面向量求和的__________法則和______________法則，對空間向量同樣成立．3．空間向量的運算律(1)加法交換律：________________；(2)加法結合律：________________________；(3)分配律：___________________，____________________.探究點一空間向量的概念問題1觀察正方體中過同一個頂點的三條棱所表示的三個向量eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))，它們和以前所學的向量有什么不同？問題2向量可以用有向線段表示，是否可以說向量就是有向線段？問題3若a∥b，b∥c，則a∥c，這個結論對嗎？例1給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們起點相同，終點也相同；②若空間向量a，b，滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD—A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(A1C1,\s\up14(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中不正確的命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4跟蹤訓練1下列說法中正確的是 ()A．若|a|＝|b|，則a、b的長度相同方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿足結合律D．在四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))探究點二空間向量的加減運算問題1怎樣計算空間兩個向量的和與差？問題2使用三角形法則和平行四邊形法則有哪些要求？例2如圖,已知長方體ABCD—A′B′C′D′,化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋B′C′.跟蹤訓練2化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→)))；(2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))．探究點三空間向量的數(shù)乘運算問題思考實數(shù)λ和空間向量a的乘積λa的意義？例3設A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))．跟蹤3如圖空間四邊形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點．證明：eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))．【達標檢測】1．已知空間四邊形ABCD，連接AC、BD，則eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))為()A.eq\o(AD,\s\up14(→)) B.eq\o(BD,\s\up14(→)) C.eq\o(AC,\s\up14(→)) D．02.已知正方體ABCD—A1B1C1D1的中心為O，則在下列各結論中正確的共有 (①eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))與eq\o(OB1,\s\up14(→))＋eq\o(OC1,\s\up14(→))是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))與eq\o(OA1,\s\up14(→))－eq\o(OD1,\s\up14(→))是一對相反向量；③eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))與eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OB1,\s\up14(→))＋eq\o(OC1,\s\up14(→))＋eq\o(OD1,\s\up14(→))是一對相反向量；④eq\o(OA1,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))與eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OC1,\s\up14(→))是一對相反向量．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，與向量eq\o(AD,\s\up14(→))相等的向量共有________個．4.eq\f(1,2)(2a－2b＋c)－eq\f(1,3)(a＋3b－c)＝____________.5．已知點O是平行六面體ABCD—A1B1C1D1對角線的交點，點P證明：eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＋eq\o(PD,\s\up14(→))＋eq\o(PA1,\s\up14(→))＋eq\o(PB1,\s\up14(→))＋eq\o(PC1,\s\up14(→))＋eq\o(PD1,\s\up14(→))＝8eq\o(PO,\s\up14(→)).【課堂小結】1．空間向量的概念和平面向量類似，向量的模，零向量，單位向量，相等向量等都可以結合平面向量理解．2．向量可以平移，任意兩個向量都是共面向量．因此空間兩個向量的加減法運算和平面向量完全相同，利用平行四邊形法則和三角形法則進行．3．空間加法和數(shù)乘運算和平面向量一樣，滿足交換律、結合律、分配律．第三章空間向量與立體幾何§空間向量及其運算空間向量的線性運算一、基礎過關1．下列說法正確的是 ()A．在平面內共線的向量在空間不一定共線B．在空間共線的向量在平面內不一定共線C．在平面內共線的向量在空間一定不共線D．在空間共線的向量在平面內一定共線2．設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．空間四邊形 B．平行四邊形C．等腰梯形 D．矩形3．已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點，連接AM、AG、MG，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于 ()\o(AG,\s\up6(→)) \o(CG,\s\up6(→)) \o(BC,\s\up6(→)) \f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))4．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).其中能夠化簡為向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是 ()A．①②B．②③C．③④D．①④5．如圖，空間四邊形OABC，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N是BC的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c6．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則 ()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 \o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向7．化簡：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.8．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則eq\o(B1M,\s\up6(→))＝____________.9.如圖，設O為?ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，則x＝________.二、能力提升10.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中點，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.試用a，b，c表示eq\o(AE,\s\up6(→)).11．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，O1為A1B1C1D化簡：eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→)))．12.如圖所示，在長、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1的長方體ABCD—A1B1C1D1且以八個頂點的兩點為始點和終點的向量中，(1)單位向量共