講義案例講稿

組合數(shù)學中的計數(shù)原理一 組合數(shù)學中的著名問二 排＝8，＝3，玩家一共可以填出的3匹馬號的排列數(shù)為如果在個元素中取出個元素進行排列，這個元素可以重復(fù)出現(xiàn)，那么排列數(shù)則有如下公式83=三 組四 要點考注意:0!=1; =????+ ;????=

???? (n?

???? 兩個公式：①???? ②????+?????1

??!(n? 五 典型例題140404組進行單循環(huán)賽，第二輪由各組的前兩名再進行單3、（交大）2005!的末尾有連 個4、某公司欲在某一條街一側(cè)的6個燈箱中任意布置5個不同的，中間包括一個特定的公益。如果要求其中有兩個燈箱必須布置這個公益，則公司恰好將公益布置在兩個相鄰的燈箱中的方法種數(shù)為。79名翻譯中，6名懂英語，453人擔任英語翻譯，2人擔任日語①1,3,5,7,9,

數(shù)學歸納法②1,2,6,15,31,一 數(shù)學歸納法的一般形式（此章適合復(fù)旦班，華約班，名校班例1.1證明：在2n2n的正方形格子中，任意挖去一個格子，余下的部分均可用及其旋轉(zhuǎn)的四種圖形覆蓋，1.2an,滿足a3a3a3aaa)2,求a 第二歸納法的其他形式（第三歸納法1.3若數(shù)列an滿足a15,a212，且對一切正整數(shù)n，an25an16an，求an的通項公將質(zhì)數(shù)從小到大編號,2算作第一個質(zhì)數(shù)，3算作第二個，依次類推，求證:n個質(zhì)數(shù)參加過一次比試，試求n所有可能的值（2012年華約自主招生試題）二 數(shù)學歸納法的其他形式（此講義適合華約班、名校班例2.1設(shè)a,a,...a是n個整數(shù)，求證 a1a2...an(均值不等式的證明

na1a2 例2.2數(shù)列Fn滿足:F11,F21,Fn2Fn1Fn(n )，證明F2F2

(nmn!(m函數(shù)f:NN具有如下性質(zhì):（1）f(2)2 (2)對任意的正整數(shù)m,n，f(mn)f(m)f(n) 正整數(shù)m,n，mn，有f(m)f(n) 證明:f(n)n數(shù)列ana

3l2,a2l

1l(4l23l2l

,S

1l(4l23l1)f(mn滿足:f(mnf(mn1)f(m1,nmnmn2f(1,nf(m,1mnN，證明:f(mnk①an:a11,ak1ak

數(shù)列遞歸方法②an:a14,a27,an16an③aa2 an 2an一、 №1.線性遞歸型數(shù)列（本講適合復(fù)旦班，華約班）k階線性遞歸數(shù)列:nk階線性遞歸數(shù)列例1.1已知數(shù)列a滿足：a2，a2 2,求a的通項公 3 不動點: 1.2已知數(shù)列ana12,a24，以及遞推關(guān)系:an24an1一．求證an例1.3已知數(shù)列a滿足ats,ats2,ats3，且有遞推關(guān)系: qa,求證:at 1.4問什么樣的等比數(shù)列xn，才能滿足xn2pxn1qxn呢?(假設(shè)pq給定1.5求證:假設(shè)等比數(shù)列xnyn均滿足遞推xn2pxn1qxn，則數(shù)列an=xnyn也滿足遞推關(guān)系an2pan1qan 特征方程：二階線性遞推數(shù)列an2pan1qan,以及給定a1a2的統(tǒng)一求法 (1)若特征方程有兩個不同的根xxnyyna 1.6若數(shù)列an滿足a15a212，且對一切正整n，an25an16an，求an

xny)nxyaa 1.7.已知數(shù)列an滿足:an26an19an,a16,a254,求an的通1.810n階樓梯的不*高階其次線性遞推數(shù)列的求法1.9設(shè)數(shù)列an滿足通項公式：3an34an2an12an，且a1a21a32，求數(shù)列an的通項公式已知數(shù)列a滿足遞推關(guān)系:a1, 3a2n24n4(n=1,2...)，求數(shù)列a的通項公式 a2已知數(shù)列an滿足a1a21，an ，求數(shù)列an的通項公式已知數(shù)列a定義如下：a1， 1(14a )，求數(shù)列a的通項公式.并求出a的極

(2 3)n(2證明:對(2 3)n(22設(shè)數(shù)列ab滿足a1b0,an17an6bn3，求證a的每一項均為某個整數(shù)的平方

8a7b *№2分式型遞歸數(shù)列（本講適合華約班）1一階分式型遞推數(shù)列 axnb以及給定a的統(tǒng)一求法1

cxn 2a nnn 7an9,(n1,2,...)，求數(shù)列a的通項公n a 不等一 基本不等aabbab,bcaabab0（作差法ab0a1（作商法babaccb（三角不等式nna1a2 調(diào)和平均數(shù):Hn

1

...

aa...算術(shù)平均數(shù)：An 2

a 2 nHGAQaaa 2 n n 記兩列數(shù)分別是a,b，則有n

ab

i f 為上凸函數(shù)（滿 fx1fx2fx1x2 ）， f(x1x2...xn)f(x1)f(x2)...f(xn f(a1x1a2x2...anxn)a1f(x1)a2f(x2)...anf(xn ai 二 例題精 求證：xmnymnxmynxnym，其中x,y0,m,n1a 求證 (a 求證：x4y4z4x2y2y2z2z2x2xyzxyz，其中x,y,z01【例4 4

形的三條邊的邊長，令u=111且

A. B. C. 已知x,y0，x2y1，

a,b,c0且abc1，證明abbcca6】求sin3cos3x22x5 x22x5 x24xgx求fx的最小gx的最大 【例8】求證：1 ... 91*3*5*7...*992*4*6 三 練 1Cauchy(a2)(b2)

i 2、已知aaa...a1，求證 a a a 3M0,NnN1k1復(fù) 關(guān)于復(fù)數(shù)的模運算，最顯然的做法是設(shè)出z=a+bi然后z 2Rez=1z+z22Imz=1zz2z2 A． 二 復(fù)數(shù)的幾何意a 在復(fù)平面中，一個復(fù)數(shù)對應(yīng)平面上的一個向量。即z=a+bi對應(yīng)ab，那么arctanbargz由此引申a 1 1 計算arctan arcsin argzRezImzzz0zz1zzz1z

寫出下面式子代表的z1z2z3z4的幾何關(guān)系z

z4 1 z3

z4 n P,P,....P是平面上的n個點，求點A，使得PA2達到最小值n i三 多項式與單位 求C0+C3+C6 【例6 （千分考2011.135）設(shè)有復(fù)數(shù)ω1=?1+√3i，ω2=cos2??+isin2??，令ω=ω1ω2，則復(fù)數(shù) 四 練1A1A2A3A4是圓內(nèi)接四邊形，H1H2H3H4A2A3A4A1A3A4A1A2A4