高中數學蘇教版1第3章空間向量與立體幾何 第3章

3．1空間向量及其運算3．空間向量及其線性運算[學習目標]1.掌握空間向量相關的概念，幾何表示法、字母表示法.2.掌握空間向量的加減運算及運算律.3.借助圖形理解空間向量加減運算及其運算律的意義．[知識鏈接]觀察正方體中過同一個頂點的三條棱所表示的三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，它們和以前所學的向量有什么不同？(如圖)答：eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))是不同在一個平面內的向量，而我們以前所學的向量都在同一平面內．[預習導引]1．空間向量的概念在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量，向量的大小叫向量的長度或模．2．空間向量的加減法(1)加減法定義空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．(如圖)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.(2)運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．空間向量的數乘運算(1)定義實數λ與空間向量a的乘積λa仍是一個向量，稱為向量的數乘運算．當λ>0時，λa與a方向相同；當λ<0時，λa與a方向相反；當λ＝0時，λa＝0.λa的長度是a的長度的|λ|倍．如圖所示．(2)運算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；結合律：λ(μa)＝(λμ)a.4．共線向量定理(1)共線向量的定義與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b.(2)充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數λ，使b＝λa.要點一空間向量的概念例1判斷下列命題的真假．(1)空間向量就是空間中的一條有向線段；(2)不相等的兩個空間向量的模必不相等；(3)兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；(4)向量eq\o(BA,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度相等．解(1)假命題，有向線段只是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來．(2)假命題，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可．(3)假命題，當兩個向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等，但兩個向量相等卻不一定有相同的起點和終點．(4)真命題，eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))僅是方向相反，它們的長度是相等的．規(guī)律方法在空間中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．跟蹤演練1給出以下命題：①若空間向量a，b，c滿足a∥b，b∥c，則a∥c；②若空間向量a、b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中不正確命題的個數是________．答案3解析因為0平行于任意向量，若b＝0則a與c不一定平行，故①錯；根據向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同，故②錯；根據正方體的性質，在正方體ABCDA1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，應有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正確；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯．要點二空間向量的線性運算例2如圖所示，已知長方體ABCDA′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量：(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(3)連結AC′，設M是線段AC′的中點，則eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AM,\s\up6(→))如圖所示．規(guī)律方法化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，遇到減法時既可轉化成加法，也可按減法法則進行運算．加減法之間可以轉化．表達式中各向量的系數相等時，根據數乘分配律，可以把相同的系數提到括號外面．跟蹤演練2已知平行六面體ABCDA′B′C′D′，點M是棱AA′的中點，點G在對角線A′C上且CG∶GA′＝2∶1，設eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，試用向量a、b、c表示向量eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(CA′,\s\up6(→))、eq\o(CM,\s\up6(→))、eq\o(CG,\s\up6(→)).

解如圖所示，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝a＋b＋c；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)c；eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b＋c)．要點三空間向量的共線問題例3設e1、e2是平面上不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A、B、D三點共線，求k的值．解∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，又A、B、D三點共線，由共線向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，∴k＝－8.規(guī)律方法靈活應用共線向量定理，正確列出比例式．跟蹤演練3設兩非零向量e1、e2不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)．試問：A、B、D是否共線，請說明理由．解∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，又∵B為兩向量的公共點，∴A、B、D三點共線．1．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，與向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量共有________個．答案3解析與eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))，共3個．2．設M是△ABC的重心，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AM,\s\up6(→))等于________．答案eq\f(c－b,3)解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→)),2)＝eq\f(1,3)(c－b)．3．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，模與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的模相等的向量有________個．答案7解析|eq\o(D′C′,\s\up6(→))|＝|eq\o(C′D′,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′A′,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.4．在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).其中運算的結果為eq\o(AC1,\s\up6(→))的有________個．答案4解析根據空間向量的加法運算以及正方體的性質逐一進行判斷：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).所以4個式子的運算結果都是eq\o(AC1,\s\up6(→)).1.空間向量的概念和平面向量類似，向量的模，零向量，單位向量，相等向量等都可以結合平面向量理解．2．向量可以平移，任意兩個向量都是共面向量．因此空間兩個向量的加減法運算和平面向量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來進行．3．空間向量的數乘運算和平面向量完全相同；利用數乘運算可判定兩個向量共線．一、基礎達標1．下列命題中，假命題是________．①若eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A、B、C、D不一定在同一直線上；②空間中，把所有單位向量的起點移到同一個點上，則終點形成一個球面；③只有零向量的模等于0；④共線的單位向量都相等．答案④解析容易判斷④是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量．2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up6(→))等于________．答案c－a－b解析如圖，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.即a＋b＋eq\o(CD,\s\up6(→))－c＝0，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝c－a－b.3．給出下列命題：①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數為________．答案3解析①假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；②真命題；③假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；④假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段．4．已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于________．答案－a－b解析如圖，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(BO,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－b－a.5．下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是________．①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))②eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))③eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))④eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))答案②解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，又因有一共同的點B，故A、B、C三點共線．6.如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于____________________．答案－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c解析由向量加法法則可知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)(b＋c)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.7．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是AB、B1C的中點．如何用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))？解eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)).二、能力提升8．如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是________．①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))②eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))③eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))④eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))答案④解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，AB∥DC，即四邊形ABCD為平行四邊形，由平行四邊形的性質知，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).9．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up6(→))＝____________.答案－a＋b－c解析eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－c＋b－a.10．如圖，在三棱錐A－BCD中，若△BCD是正三角形，E為其重心，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))化簡的結果為________．答案0解析延長DE交邊BC于點F，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.11.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點．化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).解(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)因為M是BB1的中點，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→)).又eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).向量eq\o(CA1,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))如圖所示．12．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連結AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并標出化簡結果的向量．解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(