高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程 第4章2

§直線、圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系【課時目標(biāo)】1．能根據(jù)給定直線和圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系．2．能根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決有關(guān)問題．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)____個____個____個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d____rd____rd____r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ____0Δ____0Δ____0一、選擇題1．直線3x＋4y＋12＝0與⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系是()A．相交并且過圓心B．相交不過圓心C．相切D．相離2．已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與y軸切于原點，那么()A．D＝0，E＝0，F(xiàn)≠0B．D＝0，E≠0，F(xiàn)＝0C．D≠0，E＝0，F(xiàn)＝0D．D≠0，E≠0，F(xiàn)＝03．圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得弦長等于()A．eq\r(6)B．eq\f(5\r(2),2)C．1D．54．圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線l：x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點有()A．1個B．2個C．3個D．4個5．已知直線ax＋by＋c＝0(abc≠0)與圓x2＋y2＝1相切，則三條邊長分別為|a|，|b|，|c|的三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不存在6．與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y軸上的截距相等的直線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條二、填空題7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q為________．8．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為______________．9．P(3,0)為圓C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0內(nèi)一點，過P點的最短弦所在的直線方程是______________．三、解答題10．求過點P(－1,5)的圓(x－1)2＋(y－2)2＝4的切線方程．11．直線l經(jīng)過點P(5,5)，且和圓C：x2＋y2＝25相交，截得的弦長為4eq\r(5)，求l的方程．能力提升12．已知點M(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)一點，直線g是以M為中點的弦所在直線，直線l的方程為ax＋by＋r2＝0，則()A．l∥g且與圓相離B．l⊥g且與圓相切C．l∥g且與圓相交D．l⊥g且與圓相離13．已知直線x＋2y－3＝0與圓x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的兩個交點為A、B，O為坐標(biāo)原點，且OA⊥OB，求實數(shù)c的值．1．判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法中，幾何法要結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進行判斷，一般計算較簡單．而代數(shù)法則是通過解方程組進行消元，計算量大，不如幾何法簡捷．2．一般地，在解決圓和直線相交時，應(yīng)首先考慮圓心到直線的距離，弦長的一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形．還可以聯(lián)立方程組，消去x或y，組成一個一元二次方程，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系表達出弦長l＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|．3．研究圓的切線問題時要注意切線的斜率是否存在．過一點求圓的切線方程時，要考慮該點是否在圓上．當(dāng)點在圓上，切線只有一條；當(dāng)點在圓外時，切線有兩條．§4．2直線、圓的位置關(guān)系4．2．1直線與圓的位置關(guān)系答案知識梳理210<＝>>＝<作業(yè)設(shè)計1．D[圓心到直線距離d>r．]2．C[與y軸切于原點，則圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，0))，得E＝0，圓過原點得F＝0，故選C．]3．A[分別求出半徑r及弦心距d(圓心到直線距離)再由弦長為2eq\r(r2－d2)，求得．]4．C[通過畫圖可知有三個點到直線x＋y＋1＝0距離為eq\r(2)．]5．B[由題意eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1?|c|＝eq\r(a2＋b2)?c2＝a2＋b2，故為直角三角形．]6．C[需畫圖探索，注意直線經(jīng)過原點的情形．設(shè)y＝kx或eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，由d＝r求得k＝±1，a＝4．]7．{(1,1)}解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，,x＋y＝2，))得x＝y(tǒng)＝1．8．x－eq\r(3)y＋2＝0解析先由半徑與切線的垂直關(guān)系求得切線斜率為eq\f(\r(3),3)，則過(1，eq\r(3))切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0．9．x＋y－3＝0解析過P點最短的弦，應(yīng)為與PC垂直的弦，先求斜率為－1，則可得直線方程為x＋y－3＝0．10．解①當(dāng)斜率k存在時，設(shè)切線方程為y－5＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋5＝0．由圓心到切線的距離等于半徑得eq\f(|k－2＋k＋5|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(5,12)，∴切線方程為5x＋12y－55＝0．②當(dāng)斜率k不存在時，切線方程為x＝－1，此時與圓正好相切．綜上，所求圓的切線方程為x＝－1或5x＋12y－55＝0．11．解圓心到l的距離d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),2)))2)＝eq\r(5)，顯然l存在斜率．設(shè)l：y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，d＝eq\f(|5－5k|,\r(k2＋1))．∴eq\f(|5－5k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，∴k＝eq\f(1,2)或2．∴l(xiāng)的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．12．A[∵M在圓內(nèi)，∴a2＋b2<r2．∴(0,0)到l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>r即直線l與圓相離，又直線g的方程為y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∴l(xiāng)∥g．]13．解設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)．由OA⊥OB，知kOA·kOB＝－1，即eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0,x2＋y2＋x－2cy＋