高中數(shù)學人教B版第三章基本初等函數(shù) 高質(zhì)作品 第34課時

第34課時函數(shù)的應用(Ⅱ)課時目標1.能夠運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)來解決某些簡單的實際問題．2．了解函數(shù)模型在社會生活及科研中的廣泛應用．3．培養(yǎng)應用數(shù)學的意識和分析問題、解決問題的能力．識記強化1．平均增長率問題如果原來產(chǎn)值的基數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y為y＝N(1＋p)x.2．儲蓄中的復利問題如果本金為a元，每期利率為r，本利和為y，存期為x，則它們的關系為y＝a(1＋r)x.3．常見的函數(shù)模型：(1)指數(shù)函數(shù)模型，y＝kax＋b(k≠0，a＞0，a≠1)．(2)對數(shù)函數(shù)模型，y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1，x＞0)．(3)冪函數(shù)模型，y＝kxn＋b(k≠0，n為常數(shù)，n≠1)．課時作業(yè)(時間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數(shù)關系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數(shù)關系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log3xD．f4(x)＝2x答案：D解析：在同一坐標系中畫出函數(shù)f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的圖象(圖略)，可知當x＞4時，f4(x)＞f1(x)＞f2(x)＞f3(x)，故選D.2．某人2010年1月1日到銀行存入a元，年利率為x，若按復利計算，則到2015年1月1日可取款()A．a(chǎn)(1＋x)5元B．a(chǎn)(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元D．a(chǎn)(1＋x5)元答案：A解析：2010年1月1日到銀行存入a元，到2023年1月1日本息共a(1＋x)元，作為本金轉(zhuǎn)入下一個周期，到2023年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2015年1月1日可取款a(1＋x)5元，故選A.3．某個體企業(yè)的一個車間有8名工人，以往每人年薪為1萬元，從今年起，計劃每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪為8千元，第二年起與老工人的年薪相同．若以今年為第一年，那么，將第n年企業(yè)付給工人的工資總額y(單位：萬元)表示成n的函數(shù)，其表達式為()A．y＝(3n＋5)×＋B．y＝8×＋C．y＝(3n＋8)×＋D．y＝(3n＋5)×－1＋答案：A解析：第一年企業(yè)付給工人的工資總額為1××8＋×3＝＋＝12萬元，而對于4個選項而言，當n＝1時，C，D相對應的函數(shù)值均不為12，故可排除C，D.再考慮第二年企業(yè)付給工人的工資總額，第二年有11個老工人，3個新工人，工資總額為(11×＋萬元，故選A.4．某山區(qū)為加強環(huán)境保護，綠色植被的面積每年都比上一年增長%，那么，經(jīng)過x年綠色植被的面積可以增長為原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()答案：D解析：設該山區(qū)第一年的綠色植被的面積為a，則y＝eq\f(a×1＋%x,a)＝(1＋%)x，故選D.5．某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，則使產(chǎn)品達到市場要求的最少過濾次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈，lg3≈()A．10B．9C．8D．7答案：C解析：設經(jīng)過n次過濾，產(chǎn)品達到市場要求，則eq\f(2,100)×(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,1000)，即(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，由nlgeq\f(2,3)≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，所以選C.6．如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系：y＝at，有以下敘述：①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過④浮萍每月增加的面積都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3，則t1＋t2＝t3.其中正確的命題個數(shù)為()A．1B．2C．3答案：C解析：由圖象可知①②⑤正確．二、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)7．2023年某品牌手機經(jīng)兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，那么這種手機兩次降價的平均百分率為________．答案：20%解析：設兩次降價的平均百分率為x%，則2000(1－x%)2＝1280，∴(1－x%)2＝64%，∴1－x%＝80%，∴x%＝20%，∴這種手機平均降價的百分率為20%.8．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(單位：萬件)與月份x滿足關系式y(tǒng)＝a·＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份分別生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬件、萬件．則此工廠3月份生產(chǎn)該產(chǎn)品________萬件．答案：解析：由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝＋b,＝＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝2))，∴y＝(－2)×＋2，把x＝3代入，解得y＝.9．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的質(zhì)量M(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，要使火箭的最大速度可達12km/s，則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是__________．答案：e6－1解析：v＝12km/s＝×104m/s，代入v＝2000ln(1＋eq\f(M,m)1．2×104＝2000ln(1＋eq\f(M,m))?eq\f(M,m)＝e6－1，即燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是e6－1.三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)某食品廠對蘑菇進行深加工，每千克蘑菇的成本為20元，并且每千克蘑菇的加工費為t(t為常數(shù)，且2≤t≤5)元，設該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x(25≤x≤40)元．根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量q(單位：kg)與ex成反比，當每千克蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100(1)求該工廠的日銷售利潤y(單位：元)與每千克蘑菇的出廠價x(單位：元)的函數(shù)關系式：(2)若t＝5，則每千克蘑菇的出廠價為多少時，該工廠的日銷售利潤為100e4元？解：(1)設日銷售量q＝eq\f(k,ex)(25≤x≤40)，則eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日銷售量q＝eq\f(100e30,ex)(25≤x≤40)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40)．(2)當t＝5時，y＝eq\f(100e30x－25,ex)＝100e4，則x－25＝ex－26，根據(jù)函數(shù)y＝x－25與y＝ex－26的圖象(如圖所示)，可求得方程x－25＝ex－26的解為x＝26，∴當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的日銷售利潤為100e4元．11．(13分)某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間t的變化規(guī)律是N＝N0e－λt，其中N0、λ是正的常數(shù)．(1)說明函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(2)把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)；(3)求當N＝eq\f(N0,2)時t的值．解：(1)由于N0＞0，λ＞0，函數(shù)N＝N0e－λt是屬于指數(shù)函數(shù)y＝e－x類型的，所以它是減函數(shù)，即原子數(shù)N的值隨時間t的增大而減?。?2)將N＝N0e－λt寫成e－λt＝eq\f(N,N0)，根據(jù)對數(shù)的定義有－λt＝lneq\f(N,N0)，即t＝－eq\f(1,λ)(lnN－lnN0)＝eq\f(1,λ)(lnN0－lnN)．(3)把N＝eq\f(N0,2)代入t＝eq\f(1,λ)(lnN0－lnN)，得t＝eq\f(1,λ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnN0－ln\f(N0,2)))＝eq\f(1,λ)(lnN0－lnN0＋ln2)＝eq\f(1,λ)ln2.能力提升12．(5分)含有一組實驗數(shù)據(jù)如下：tv12現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似值表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是()A．v＝log2tB．v＝logtC．v＝eq\f(t2－1,2)D．v＝2t－2答案：C解析：取t＝≈2，代入A得v＝log22＝1≠，代入B得v＝log2＝－1≠，代入C得v＝eq\f(22－1,2)＝，代入D得v＝2×2－2＝2≠.13．(15分)某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(t)；(2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于毫克時，治療疾病有效．①求服藥一次治療疾病的有效時間；②當t＝5時，第二次服藥，問t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5，5\f(1,16)))時，藥效是否連續(xù)？(已知函數(shù)y＝4(x－5)＋(eq\f(1,2))x－3在t∈[5，tx]上是增函數(shù))解：(1)當0≤t＜1時，y＝4t.當t≥1時，y＝(eq\f(1,2))t－a，此時，M(1,4)在曲線上，∴4＝(eq\f(1,2))1－a，∴a＝3，這時y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3.∴y＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t0≤t＜1,\f(1,2)t－3t≥1.))(2)①由f(t)≥，解得eq\f(1,16)≤t≤5，所以服藥一次治療的有效時間為5－eq\f(1,16)＝4eq\f(15,16)小時．②設t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5，5\f(1,16)))，血液含藥量g(t)為：第二次的含藥量4(t－5)毫克加上第一次的剩余量(eq\f(1,2))t－3毫克即g(t)＝4(t－5)＋(e