二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)-自制(第三節(jié)課)

10.4二項(xiàng)式定理——二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一、本節(jié)教材地位及命題趨勢(shì)：高考對(duì)本單元的特點(diǎn)是基礎(chǔ)和全面，每年對(duì)本單元知識(shí)點(diǎn)的考查沒(méi)有遺漏。估計(jì)每年一道排列組合題，一道二項(xiàng)式定理題是不會(huì)變的，試題難度仍然回維持在較易到中等的程度。二項(xiàng)式定理的試題是多年來(lái)最缺少變化的試題，今后也很難有什么大的改變。二、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握二項(xiàng)式定理及有關(guān)概念，通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；2、思想方法目標(biāo)：使學(xué)生領(lǐng)悟并掌握方程的思想方法，賦值法，構(gòu)造法，并通過(guò)變式提高學(xué)生的應(yīng)變能力，創(chuàng)造能力及邏輯思維能力。3、情感目標(biāo)：通過(guò)學(xué)生的主體活動(dòng)，營(yíng)造一種愉悅的情境，使學(xué)生自始至終處于積極思考的氛圍中，不斷獲得成功的體驗(yàn)，從而對(duì)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿信心。三、復(fù)習(xí)策略：本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)要重視基礎(chǔ)，要按教學(xué)大綱和考試說(shuō)明的要求弄懂遇按理，適當(dāng)掌握一些方法，會(huì)分析。

3.二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng):1.

二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(a+b)1……(a+b)2…(a+b)3………………(a+b)4……………(a+b)5……………(a+b)6…………………遞推法二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法楊輝三角《九章算術(shù)》楊輝楊輝三角《詳解九章算法》中記載的表這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書(shū)里，記載著類似右面的表：在歐洲，人們認(rèn)為這個(gè)表是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal.1623—1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。然而，類似這樣的表，早在我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就已出現(xiàn)，我們稱它為楊輝三角。楊輝指出此方法出自《釋鎖》，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約11世紀(jì))已經(jīng)用過(guò)它。這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。楊輝三角:表中除“1”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和11121133114641151010511615201561用現(xiàn)代的觀點(diǎn)看“楊輝三角”

當(dāng)n=6時(shí),其圖象是7個(gè)孤立點(diǎn)f（r）r63O615201其定義域是rCrn為自變量的函數(shù)可看成是以從函數(shù)的角度看，{0,1,2,…,n}

當(dāng)n=7時(shí)呢？f（r）rnO61520120103035Onf（r）n為奇數(shù)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值。歸納性質(zhì)11121133114641151010511615201561f（r）rnO61520120103035Onf（r）rn是偶數(shù)n是奇數(shù)(1)對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。(2)增減性與最大值

先增后減當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)同時(shí)取得最大值（2）增減性與最大值的證明

二項(xiàng)式系數(shù)的增減性由與1的大小決定可知，當(dāng)時(shí)，

二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，

由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

應(yīng)用性質(zhì)例1.(1)(1+2x)6展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第

項(xiàng);(2)(1+2x)7展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第

項(xiàng);(3)求(1+2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：(1)當(dāng)r=時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大故二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng)(2)當(dāng)r=時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，即r=3或4故二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)反思：此類問(wèn)題一般先定r，再定是第幾項(xiàng).(r+1)(4)求(1-2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).例1.(3)求(1+2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解:(3)

設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則：故系數(shù)最大項(xiàng)為例1：(4)求(1-2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).分析：設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則需討論r的奇偶約分，麻煩！(4)求(1-2x)7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).解：展開(kāi)式中系數(shù)正負(fù)相間，研究系數(shù)絕對(duì)值由可知r從0到5，系數(shù)的絕對(duì)值增大,r從5到7，系數(shù)的絕對(duì)值減小.故當(dāng)r=5時(shí)，系數(shù)最小項(xiàng)為當(dāng)r=4或6時(shí)，二者中系數(shù)較大者為系數(shù)最大項(xiàng)得當(dāng)r=4時(shí)，系數(shù)最大項(xiàng)為2、在(a＋b)10展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是().1、在(a＋b)20展開(kāi)式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是().AA.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)CA.第15項(xiàng)B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)D.第18項(xiàng)3(1)已知展開(kāi)式中只有第10項(xiàng)系數(shù)最大，求第五項(xiàng)；(2)若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？試求此時(shí)n值.

施展才華解：由于不含非1常數(shù)，展開(kāi)式的系數(shù)即二項(xiàng)式系數(shù)3(1)已知展開(kāi)式中只有第10項(xiàng)系數(shù)最大，求第五項(xiàng)；(2)若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？試求此時(shí)n值.

(1)依題意,n為偶數(shù)，當(dāng)r=n/2時(shí)，系數(shù)最大解：

(2)若

n為偶數(shù)，同上得n=18若n

為奇數(shù)，則解得n=17或n=193(1)已知展開(kāi)式中只有第10項(xiàng)系數(shù)最大，求第五項(xiàng)；(2)若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？試求此時(shí)n值.

綜上故n=17，n=18或n=19除了運(yùn)用組合數(shù)公式展開(kāi)以外，你能利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性和增減性，解不等式嗎？解：由C20r對(duì)稱性和增減性得例5

證明：在(a＋b)n展開(kāi)式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.例題選講小結(jié)：求解二項(xiàng)式系數(shù)和時(shí)，靈活運(yùn)用賦值

法可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。通常選取賦值

時(shí)?。?，1。-2-10941093２、若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于

；3、1＋2＝

．例題分析例1在的展開(kāi)式中,求:①二項(xiàng)式系數(shù)的和;②各項(xiàng)系數(shù)的和;③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;④奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和;⑤x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和.歸納總結(jié)(1)對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。(2)增減性與最值

先增后減當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)同時(shí)取得最大值(3)注意區(qū)分“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”，“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)”三個(gè)概念1.

知識(shí)點(diǎn)：

2.

數(shù)學(xué)方法：

——利用不等式研究數(shù)列增減性和最值的思想對(duì)數(shù)列{an}，有①{an}遞增

；{an}遞減②若ak是最大項(xiàng)，則若ak是最大項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(a+b)1……(a