高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【區(qū)一等獎(jiǎng)】_第1頁(yè)
高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【區(qū)一等獎(jiǎng)】_第2頁(yè)
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第三章3.2一、選擇題(每小題5分,共20分)1.下列結(jié)論:①(sinx)′=-cosx;②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′=eq\f(1,x2);③(log3x)′=eq\f(1,3lnx);④(lnx)′=eq\f(1,x).其中正確的有()A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)解析:(sinx)′=cosx,故①錯(cuò)誤;eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′=-eq\f(1,x2),故②錯(cuò)誤;(log3x)′=eq\f(1,xln3),故③錯(cuò)誤;(lnx)′=eq\f(1,x),故④正確.答案:B2.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-4,則α的值等于()A.4 B.-4C.5 D.-5解析:∵f′(x)=(xα)′=α·xα-1.由題意f′(-1)=-4,即α·(-1)α-1=-4.∴α=4.答案:A3.曲線f(x)=eq\f(1,3)x3-x2+5在x=1處的切線的傾斜角為()\f(π,6) B.eq\f(3π,4)\f(π,4) D.eq\f(π,3)解析:f′(x)=x2-2x,k=f′(1)=-1,故切線的傾斜角為eq\f(3π,4).答案:B4.曲線y=xsinx在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))處的切線與x軸、直線x=π所圍成的三角形的面積為()\f(π2,2) B.π2\f(π4,4) D.2π2解析:切線方程為y=-x,故圍成的三角形的面積為eq\f(π2,2).答案:A二、填空題(每小題5分,共10分)5.函數(shù)y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于________.解析:y′=[(x+1)2(x-1)]′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1∴y′|x=1=4.答案:46.曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________.解析:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得切線斜率.∵y=x(3lnx+1),∴y′=3lnx+1+x·eq\f(3,x)=3lnx+4,∴k=y(tǒng)′|x=1=4,∴所求切線的方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:y=4x-3三、解答題(每小題10分,共20分)7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=sinx-2x2;(2)y=cosx·lnx;(3)y=eq\f(ex,sinx);(4)y=eq\f(1,x4);(5)y=log2x2-log2x.解析:(1)y′=(sinx-2x2)′=(sinx)′-(2x2)′=cosx-4x.(2)y′=(cosx·lnx)′=(cosx)′·lnx+cosx·(lnx)′=-sinx·lnx+eq\f(cosx,x).(3)y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,sinx)))′=eq\f(ex′·sinx-ex·sinx′,sin2x)=eq\f(ex·sinx-ex·cosx,sin2x)=eq\f(exsinx-cosx,sin2x).(4)y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5=-eq\f(4,x5).(5)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y′=(log2x)′=eq\f(1,x·ln2).8.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx過點(diǎn)(1,5),其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,求f(x)的解析式.解析:∵f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c.由圖象可知f′(1)=0,f′(2)=0.∴3a+2b+c=0,①12a+4b+c又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1,5),∴f(1)=5,即a+b+c=5③由①②③可得a=2,b=-9,c=12.∴函數(shù)y=f(x)的解析式為f(x)=2x3-9x2+12x.9.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3-eq\f(a,2)x2+bx+c,其中a>0,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程為y=1,確定b,c的值.解析:由題意得:f(0)=c,f′(x)=x2-ax+b,由切點(diǎn)P(0,f(0))既在曲線f(x)=eq\f(1,3)x3-eq\f(a,2)x2+bx+c上又在切線y=1上知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c

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