高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量 優(yōu)質(zhì)課獎(jiǎng)

課時(shí)提升作業(yè)平面向量基本定理一、選擇題(每小題3分,共18分)1.若O為平行四邊形ABCD的中心,AB→=4e1,BC→=6e2,則3e2-2e1等于(A.AO→ B.BO→ C.CO→【解析】選B.由于AB→=4e1,BC→=6e2,3e2-2e1=12(6e2-4e1)=12(=12(BC→+BA→)=12.已知在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且CD→=2DB→,CD→=rAB→+sAC→,則A.23 B.43 【解析】選D.因?yàn)镃D→=AD→-DB→=AB→-AD所以CD→=AB→-DB=AB→-12CD所以32CD→=AB所以CD→=23AB又CD→=rAB→+sAC→,所以r=2所以r+s=0.3.已知e1=a+5b,e2=3a-2b,e3=-6a+4b,a與b不共線,其中不能作為基底的是()與e2 與e3與e3 +e2與e3【解析】選B.由于e3=-6a+4b=-2(3a-2b)QUOTE3a-2b=-2e2.故e2與e3共線,不能作為基底,A,C,D中的向量均不共線,能作為基底.是△ABC所在平面上的一點(diǎn),滿足PA→+PB→+2PC→=0,若△ABC△ABP的面積為() C.12 D.【解題指南】由向量加法的運(yùn)算法則,設(shè)AB的中點(diǎn)是D,則PA→+PB→=2PD→=-2PC→,所以P為CD的中點(diǎn),所以△PAB的面積與△ABC的面積之比即為AB上的高之比,也即為PD【解析】選C.設(shè)AB的中點(diǎn)是D,則PA→+PB→=2PD→=-2PC→,所以P為CD的中點(diǎn),所以△PAB的面積為△ABC的面積的12,即5.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共線,則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系為()A.不共線 B.共線C.相等 D.不能確定【解析】選+b=3e1-e2=12c,故a+b與c共線6.(2023·大慶高一檢測(cè))在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若AC→=a,BD→=b,則AF→=14+12b 1312+14b 23【解題指南】根據(jù)兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例,得到DF與FC之比,作FG平行BD交AC于點(diǎn)G,使用已知向量表示出要求的向量,得到結(jié)果.【解析】選D.因?yàn)橛深}意可得△DEF∽△BEA,所以DEEB=DFAB=13,再由AB=CD可得DF所以DFFC=1作FG平行BD交AC于點(diǎn)G,所以FGDO=CGCO=所以GF→=23OD→=1因?yàn)锳G→=AO→+OG→=AO→+1=23AC→=所以AF→=AG→+GF→=23a二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2023·北京高一檢測(cè))如圖,向量BP→=14BA→,若OP→=xOA→+y【解析】因?yàn)锽P→=14BA→,所以BO→+OP→=14(BO→+OA→),整理得OP→=14OA→-14OB→+答案:-18.(2023·四川高考)在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB→+AD→=λAO→,則【解析】在平行四邊形ABCD中,AB→+AD→=AC→,而AC→=2答案:29.(2023·宿州高一檢測(cè))已知a=xe1+2e2與b=3e1+ye2共線,且e1,e2不共線,則xy的值為.【解析】因?yàn)閍與b共線,所以xe1+2e2與3e1+ye2對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)成比例,即x3=2y,答案:6【舉一反三】若將“b=3e1+ye2”改為“b=3e1+4e2”,其他條件不變,則x=.【解析】因?yàn)閍與b共線,所以存在實(shí)數(shù)λ使得a=λb,即xe1+2e2=λ(3e1+4e2).所以x=3λ,2=4λ,所以答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)10.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA→,OB→,OC→,其中OA→與OB→的夾角為120°,OA→與OC→的夾角為30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=23,若OC→【解析】如圖,以O(shè)A,OB所在射線為鄰邊,OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE,則OC→=OD→+OE→,在直角△OCD中|OC→|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD→|=4,|CD→|=2,故OD→=4OA→,OE→=211.在△ABC中,點(diǎn)D和E分別在BC,AC上,且BD→=13BC→,CE→=13CA→,AD與BE【解題指南】由A,D,R三點(diǎn)共線,可得CR→=λCD→+(1-λ)CA→=23λ由B,E,R三點(diǎn)共線,可得CR→=μCB→+(1-μ)CE→=μCB→+根據(jù)平面向量的基本定理,可構(gòu)造關(guān)于λ和μ的方程組,進(jìn)而求出λ,μ的值,進(jìn)而根據(jù)向量減法的三角形法則,得到答案.【證明】由A,D,R三點(diǎn)共線,可得CR→=λCD→+(1-λ)CA→=23λ由B,E,R三點(diǎn)共線,可得CR→=μCB→+(1-μ)CE→=μCB→+所以23λ=μ,所以CR→=47CB所以AD→=CD→-CA→=2RD→=CD→-CR→=23CB→-47CB→一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2023·東營(yíng)高一檢測(cè))設(shè)e1,e2是不共線向量,則下面四組向量中,能作為基底的組數(shù)是()①e1和e1+e2; ②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1; ④e1+e2和e1-e2. 【解析】選C.不共線的兩個(gè)非零向量才能作為基底,③中,因?yàn)?e2-2e1=-2(e1-2e2),所以兩向量共線,其他不共線,故選C.【變式訓(xùn)練】設(shè)O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),下列向量組:①AD→與AB→;②DA→與BC→;③CA→與DC→;④OD【解析】①AD→與AB→不共線,②DA→=-BC→,DA→∥BC→,DA→與BC→共線,③CA→與DC→不共線,④OD→=-答案:①③2.(2023·重慶高一檢測(cè))如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)E,F分別在線段AB,BC上,且滿足AB=3AE,BC=3CF,若OB→=λOE→+μOF→(λ,μ∈R),則λ+μ=A.83 B.C.53 【解析】選B.OB→=λOE→+μOF→=λOAλ+13μ又因?yàn)镺B→=OA→+OC→,所以λ+13.(2023·瀘州高一檢測(cè))△ABC中,若AD→=2DB→,CD→=13CA→+λCB→A.13 B.23 23【解析】選B.如圖所示,因?yàn)镃D→=CA→+AD→,AD→=23AB→,所以CD→=CA→+23(CB=13CA→因?yàn)镃D→=13CA所以λ=234.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若AE→=AD→+μAB→,則μ的取值范圍是A.[0,1] B.[0,3]C.0,12 【解題指南】過點(diǎn)C作CF⊥AB,垂足為F.在Rt△BCF中,∠B=30°.可得CF=1,BF=3.再利用已知AB=23,可得AF=3.由四邊形AFCD是平行四邊形,可得CD=AF=3=12AB.再利用向量的三角形法則和向量共線定理即可得出【解析】選C.如圖所示,過點(diǎn)C作CF⊥AB,垂足為F.在Rt△BCF中,∠B=30°.所以CF=1,BF=3.因?yàn)锳B=23,所以AF=3.由四邊形AFCD是平行四邊形,可得CD=AF=3=12因?yàn)锳E→=AD→+DE→=AD所以DE→=μAB→,因?yàn)镈E→∥DC→,所以0≤μ≤12二、填空題(每小題5分,共10分)5.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2=.【解題指南】設(shè)e1+e2=ma+nb(m,n∈R),根據(jù)e1與e2不共線及平面向量基本定理求m,n.【解析】設(shè)e1+e2=ma+nb(m,n∈R),因?yàn)閍=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.因?yàn)閑1與e2不共線,所以m-n=1,所以m=23,n=-1所以e1+e2=23a-13答案:23a-16.在△ABC中,點(diǎn)P是AB上的一點(diǎn),且CP→=23CA→+13CB→,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又CM→【解題指南】先根據(jù)向量關(guān)系CP→=23CA→+13CB→得AP→=13AB→,即P是AB的一個(gè)三等分點(diǎn),利用平面幾何知識(shí),過點(diǎn)Q作【解析】因?yàn)镃P→=23CA所以CP→-CA→=-13所以AP→=13AB→,即P過點(diǎn)Q作PC的平行線交AB于D,因?yàn)镼是BC的中點(diǎn),所以QD=12PC,且D是PB的中點(diǎn),從而QD=2PM,所以所以CM=34CP,又CM→=tCP→,則答案:3三、解答題(每小題12分,共24分)7.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),設(shè)BA→=a,BC→=(1)用a,c表示向量AE→(2)若點(diǎn)F在AC上,且BF→=15a+45c,求【解析】(1)因?yàn)锳C→=BC→-BA→=c所以AD→=12AC→=12所以AE→=12(AB→=12AB=-12a+14(c-=14c-34(2)設(shè)AF→=λAC所以BF→=BA→+AF→=BA=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.又BF→=15a+45c,所以λ所以AF→=45AC→,所以AF【變式訓(xùn)練】設(shè)M,N,P是△ABC三邊上的點(diǎn),它們使BM→=13BC→,CN→=13CA→,AP→=13AB→,若AB→=a,AC→=【解析】因?yàn)锽M→=13BC→,所以由此可得,MN→=CN→-CM→=-1因?yàn)镃B→=AB→-所以MN→=-13AC→-23(AB→-AC→)=13AC同理可得NP→=13a-23b,PM→=-MP→=-(MN→+NP→)【拓展提升】用基底表示向量的技巧用基底表示未知向量,一般有兩種方法,一是直接利用基底,結(jié)合向量的線性運(yùn)算,靈活應(yīng)用三角形法則與平行四邊形法則求解;二是利用“正難則反”原則引入?yún)?shù)或添加輔助線,采用方程思想借助向量運(yùn)算確定參數(shù).8.如圖所示,點(diǎn)L,M,N分別為△A