高中數(shù)學人教A版3第二章隨機變量及其分布單元測試 優(yōu)秀

2.3第三課時離散型隨機變量的均值與方差（綜合）一、課前準備1．課時目標(1)熟練應用離散型隨機變量的均值公式求均值；(2)熟練應用離散型隨機變量的方差公式求方差；(3)能熟練應用二項分布、兩點分布、超幾何分布的方差公式求均值與方差.2．基礎預探1.設離散型隨機變量X的分布列為X……P……則EX＝__________，________，=__________.2.兩點分布：若X服從兩點分布，則EX＝__________，_______.3.二項分布：若隨機變量X服從二項分布，即，則___________,_______.4.超幾何分布：若隨機變量X服從N，M，n的超幾何分布，故=___________,_______.二、學習引領1.滿足Y＝ａX＋ｂ兩個隨機變量均值的關系對隨機變量X，若Y＝ａX＋ｂ，其中ａ，ｂ是常數(shù)，則Y也是隨機變量，且有.對上述公式，特別地，有：①當ａ＝0時，E（ｂ）＝ｂ，即常數(shù)的數(shù)學期望就是這個常數(shù)本身；②當ａ＝1時，E（X＋ｂ）＝EX＋ｂ，即隨機變量X與常數(shù)之和的期望等于X的期望與這個常數(shù)的和；③當ｂ＝0時，，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積.2.隨機變量函數(shù)的方差當ａ，ｂ均為常數(shù)時，隨機變量函數(shù)的方差.特別地：①當ａ＝0時，D（ｂ）＝0，即常數(shù)的方差等于0；②當ａ＝1時，，即隨機變量與常數(shù)之積的方差等于這個隨機變量的方差本身；③當ｂ＝0時，，即隨機變量與常數(shù)之積的方差，等于這常數(shù)的平方與這個隨機變量方差的乘積.3.研究均值與方差問題的步驟①由題意抽象出題中需要的隨機變量及其取值范圍；②分析此隨機變量是否滿足某種常見的分布，若滿足則套用相關公式；③若不滿足，則找出隨機變量取值對應的事件，求出相應的概率值；④列出隨機變量的分布列；⑤利用均值和方差的公式求值.三、典例導析題型一含參的離散型隨機變量均值與方差問題例1現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調整有關,在每次調整中價格下降的概率都是,設乙項目產(chǎn)品價格在一年內進行2次獨立的調整,記乙項目產(chǎn)品價格在一年內的下降次數(shù)為,對乙項目每投資十萬元,取0、1、2時,一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.(=1\*ROMANI)求、的概率分布和數(shù)學期望、;(=2\*ROMANII)當時,求的取值范圍.思路導析：由，先列出其分布列，再利用與的關系得到的分布列，然后利用公式分別求得、的期望，建立解不等式便可求解第二問.解：(=1\*ROMANI)的概率分布為1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.由題設得,則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P所以的數(shù)學期望為E=++=.(=2\*ROMANII)由,得:，整理可得，解之得.因0<p<1,所以時,p的取值范圍是0<p<0.3.規(guī)律總結：本題給出了滿足一定關系的兩個隨機變量，通過解題過程可知，其中一個隨機變量的分布列可以借助另外一個建立，這是順利解決本題的關鍵.變式訓練：隨機變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則的值是．題型二離散型隨機變量均值與方差的計算例2國家隊為了選拔參加倫敦奧運會的羽毛球混雙運動員，組織一隊與二隊進行對抗比賽，在每局比賽中一隊獲勝的概率都是p（0≤p≤1）.（Ⅰ）若比賽6局，且p=,求一隊至多獲勝4局的概率是多少？（Ⅱ）若比賽6局，求一隊恰好獲勝3局的概率的最大值是多少？（Ⅲ）若采用“五局三勝”制，求一隊獲勝時的比賽局數(shù)的分布列和數(shù)學期望.思路導析：本題的（I）（II）問同為二項分布的問題，可以根據(jù)其公式來解決.（III）問一隊獲勝時的比賽局數(shù)=3，4，5，分別表示事件“三局連勝”“前三局勝兩局，第四局又勝”，“前四局勝兩局，第五局又勝”這幾個事件，可以分別求出概率值.解：（Ⅰ）設“比賽6局，一隊至多獲勝4局”為事件A，則=.∴一隊至多獲勝4局的概率為.（Ⅱ）設“若比賽6局，一隊恰好獲勝3局”為事件B,則.當p=0或p=1時，顯然有.當0<p<1時，.當且僅當p=1-p,即時取等號.故一隊恰好獲勝3局的概率的最大值是.（Ⅲ）若采用“五局三勝”制，一隊獲勝時的比賽局數(shù)=3，4，5.，；.所以，的分布列為345P．規(guī)律總結：本題主要利用分布列的性質：所有項的概率和為1，各項都為正，求分布列的參數(shù)值.本題還要注意第二、三問類似二項分布卻不是二項分布，要看清題意，防止審題出錯.變式訓練：新疆某110特警訓練班共8名隊員，進行實彈射擊比賽，（Ⅰ）通過抽簽將編號為1~8號的8名隊員排到1~8號靶位，試求恰有5名隊員所抽到靶位號與其編號相同的概率；(Ⅱ)此次射擊比賽規(guī)定每人射擊3次，總環(huán)數(shù)不少于29環(huán)的隊員可獲得神槍手稱號.已知某隊員擊中10環(huán)和9環(huán)的概率均為0.5，（1）求該隊員能獲得神槍手稱號的概率；（2）求該隊員三次中靶環(huán)數(shù)總和η的分布列和數(shù)學期望.題型三離散型隨機變量均值與方差與統(tǒng)計問題的綜合應用例3以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示．(1)如果X＝8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X＝9，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望．(注：方差s2＝eq\f(1,n)((x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2)，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數(shù))思路導析：需先從莖葉圖中還原出乙組同學種植樹棵數(shù)再求平均數(shù)和方差.第二問先根據(jù)莖葉圖，將甲、乙的植樹棵數(shù)列出，組合得到植樹總棵數(shù)Y的取值，進而列出分布列.解:(1)當X＝8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10.所以平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)；方差為s2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(35,4)))2＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,4)))2))＝eq\f(11,16).(2)當X＝9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學的植樹棵數(shù)是：9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取1名同學，共有4×4＝16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結果，因此P(Y＝17)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，同理可得P(Y＝18)＝eq\f(1,4)；P(Y＝19)＝eq\f(1,4)；P(Y＝20)＝eq\f(1,4)；P(Y＝21)＝eq\f(1,8).所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×eq\f(1,8)＋18×eq\f(1,4)＋19×eq\f(1,4)＋20×eq\f(1,4)＋21×eq\f(1,8)＝19.規(guī)律總結：本題利用莖葉圖給出題目需要的數(shù)據(jù)，展現(xiàn)了離散型隨機變量與統(tǒng)計問題的完美結合，能否準確的從莖葉圖讀取數(shù)據(jù)是解決本題的關鍵.變式訓練：某種產(chǎn)品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質量指標值，得到下面試驗結果：A配方的頻數(shù)分布表指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210(1)分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質品率；(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t＜94，,2，94≤t＜102，,4，t≥102.))從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學期望．(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質量指標值落入相應組的概率)四、隨堂練習1．隨機變量X的分布列如下表：則X的數(shù)學期望是（）．A．2.0B．2.1C．2.2D．隨m的變化而變化.2．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？?，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為表示5位乘客在20層下電梯的人數(shù)，則隨機變量X的期望（）A．B.C.2D.3．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2，2張標有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設3張卡片上的數(shù)字之和為，則的數(shù)學期望是（）．A．7.8B．8C．16D．15.64.設某運動員投籃命中概率是0.6，則一次投籃時投中次數(shù)的期望為_____，方差為_______．5．某人參加駕照考試，共考6個科目，假設他通過各科考試的事件是相互獨立的，并且概率都是．若此人未能通過的科目數(shù)的均值是2，則=________.6．某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．假設n＝4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學期望.五、課后作業(yè)．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得分，則得分X的均值與方差分別為()．A．EX=0，DX=1B．EX=，DX=C．EX=0，DX=D．EX=，DX=12.若，且，則的值為（）.A．B．C．D．3.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布列如下表：123？！？請小牛同學計算的數(shù)學期望.盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案=.4.一個盒內有大小相同的2個紅球和8個白球，現(xiàn)從盒內一個一個地摸取，假設每個球摸到的可能性都相同.若每次摸出后都不放回，當拿到白球后停止摸取，則摸取次數(shù)X的數(shù)學期望是．5.某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，若在一年內事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設在一年內事件E發(fā)生的概率P，為使公司收益的期望等于a的百分之十，公司應要求顧客交多少保險金？6.某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率．(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．參考答案2.3第三課時離散型隨機變量的均值與方差（綜合）一、課前準備2．基礎預探1.2.ｐ3.np4.三、典例導析例1變式訓練答案：1解析：由題意可得，解之可得，，再根據(jù)方差公式可知=1.例2變式訓練解：（I）記恰有5名隊員抽到的靶位與其編號相同的事件為A，則P(A)=.(II)（1）記該隊員獲得神槍手稱號的事件為B，則P(B)=.（2）P(=27)=0.53=0.125,P(=28)=,P(=29)=,P(=30)=0.53=0.125.的分布列如下表：27282930P0.1250.3750.3750.125E=27×0.125+28×0.375+29×0.375+30×0.125=28.5.例3變式訓練解：(1)由試驗結果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質品的頻率為eq\f(22＋8,100)＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質品率的估計值為0.3.由試驗結果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質品的頻率為eq\f(32＋10,100)＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質品率的估計值為0.42.(2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質量指標值落入?yún)^(qū)間[90,94)，[94,102)，[102,110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，因此，P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，即X的分布列為X－224P0.040.540.42X的數(shù)學期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.四、隨堂練習1.答案：B解析：因為，所以，所以.2．答案：B解析：因為，所以.3．答案：A解析：的取值為6，9，12，相應的概率為，．4.答案：0.6；0.24解析：投中次數(shù)的取值為0，1，的分布列為01P0.40.6所以，.5．答案：解析：因為通過各科考試的概率為，所以不能通過考試的概率為，易知，所以，解得.6．解：(1)X可能的取值為0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(18,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(8,35)，P(X＝4)＝eq\f(1,C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70).即X的分布列為ξ01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq